初中数学浙教版八年级上册第2章特殊三角形2．3等腰三角形的性质定理(q)

2．3等腰三角形的性质定理(一)1.等腰三角形的周长为16，其中一边长为6，则另两边长为5，5或6，4．2．如果等腰三角形的一个内角为70°，那么它的顶角为70°或40°．(第3题)3．如图，△ABC是等边三角形，延长BC至点D，使AB＝CD，连结AD，则∠BAD＝90°．4．一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，则其顶角的度数为(D)A．20°B．30°C．80°D．120°5．等腰三角形的顶角为80°，则一腰上的高与底边的夹角为(B)A．10°B．40°C．50°D．80°6．等腰三角形的一个外角为140°，则顶角的度数为(D)A．40°B．40°或70°C．70°D．40°或100°7．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.若BD＋CE＝9，则线段DE的长为(A)A.9B.8C.7D.6(第7题)(第8题)8．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是(A)A．100°B．80°C．70°D．50°(第9题)9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AE，BC＝BD，求∠DCE的度数．【解】∵AC＝AE，∴∠ACE＝∠AEC＝90°－eq\f(1,2)∠A.∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝90°－eq\f(1,2)∠B，∴∠DCE＝∠ACE＋∠BCD－∠ACB＝90°－eq\f(1,2)∠A＋90°－eq\f(1,2)∠B－90°＝90°－eq\f(1,2)(∠A＋∠B)＝90°－eq\f(1,2)×90°＝45°.(第10题)10．如图，已知AB∥EF，CE＝CA，∠E＝65°，求∠CAB的度数．【解】∵CE＝CA，∴∠EAC＝∠E＝65°.∵AB∥EF，∴∠EAB＝180°－∠E＝115°，∴∠CAB＝∠EAB－∠EAC＝50°.(第11题)11．如图，已知D是等腰三角形ABC的底边BC上一点，它到两腰AB，AC的距离分别为DE，DF，请指出当D在什么位置时，DE＝DF，并加以证明．【解】当D在BC的中点时，DE＝DF.证明：当BD＝CD时，∵∠B＝∠C，∠DEB＝∠DFC＝90°，∴△DBE≌△DCF(AAS)，∴DE＝DF.(第12题)12．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE且∠DAB＝∠EAC，则DE∥BC吗？为什么？【解】DE∥BC.理由如下：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠D＝∠E.∵∠DAB＝∠EAC，∴∠B＋∠DAB＝∠C＋∠EAC，∴∠AFG＝∠AGF，∴∠AFG＝eq\f(1,2)(180°－∠EAD)．又∵∠D＝eq\f(1,2)(180°－∠EAD)，∴∠AFG＝∠D，∴DE∥BC.(第13题)13．如图，已知AB＝AC＝BD，那么∠1与∠2之间满足的关系是(D)A．∠1＝2∠2B．∠1＋3∠2＝180°C．2∠1＋∠2＝180°D．3∠1－∠2＝180°【解】∵AB＝BD，∴∠BDA＝∠1，∴∠B＝180°－∠1－∠BDA＝180°－2∠1.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝180°－2∠1.∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴180°－2∠1＋180°－2∠1＋∠1＋∠2＝180°，∴3∠1－∠2＝180°.(第14题)14．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AE于点E，请你猜想AD与BE的大小关系，并说明理由．【解】分别延长BE，AC交于点F.∵∠ACD＝90°，∴∠BCF＝90°，∠CAD＋∠ADC＝90°.∵BE⊥AE，∴∠BED＝90°，∴∠CBF＋∠BDE＝90°.∵∠BDE＝∠ADC，∴∠CAD＝∠CBF.又∵∠ACD＝∠BCF，AC＝BC，∴△ACD≌△BCF(ASA)，∴AD＝BF.∵AE平分∠BAC，AE⊥BE，∴BE＝FE＝eq\f(1,2)BF，∴BE＝eq\f(1,2)AD，即AD＝2BE.15．在△ABC中，AB＝AC.(1)如图①，若∠BAD＝30°，AD是BC边上的高线，AD＝AE，则∠EDC＝15°；(2)如图②，若∠BAD＝50°，AD是BC边上的高线，AD＝AE，则∠EDC＝25°；(3)通过以上两题可以发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：∠BAD＝2∠EDC；(4)如图③，若AD不是BC边上的高线，AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请说明理由．(第15题)【解】(4)仍有．理由如下：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADE＋∠EDC＝∠B＋∠BAD.同理，∠AED＝∠EDC＋∠C.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.∴∠EDC＋∠C＋∠EDC＝∠C＋∠BAD.∴∠BAD＝2∠EDC.(第16题)16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB，BD与CE交于点O，∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系？若∠1＝eq\f(1,3)∠ABC，∠2＝eq\f(1,3)∠ACB，则∠BOC与∠A的大小有什么关系？若∠1＝eq\f(1,n)∠ABC，∠2＝eq\f(1,n)∠ACB，则∠BOC与∠A的大小有什么关系？【解】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠1＝∠2.∴∠BOC＝180°－2∠1，∠A＝180°－2∠ABC，即∠1＝eq\f(1,2)(180°－∠BOC)＝90°－eq\f(1,2)∠BOC，∠ABC＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq\f(1,2)∠A，∴90°－eq\f(1,2)∠A＝2×(90°－eq\f(1,2)∠BOC)，∴∠BOC＝eq\f(1,2)∠A＋90°.同理，当∠1＝e