微分方程模型

微分方程模型第一页，共三十一页，2022年，8月28日

描述对象特征随时间(空间)的演变过程分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段

根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程动态模型微分方程建模第二页，共三十一页，2022年，8月28日§3.1微分方程的简单应用问题例1（物体达到的最大高度）在地面上以初速度v0铅直向上发射一质量为m的物体，设地球引力与物体到地心距离的平方成正比，求物体可能达到的最大高度.若物体脱离太阳系，则v0应为多少？模型建立记地球半径为R，假设空气阻力不计.设在时刻t物体上升的高度为s=s(t)，则根据Newton（牛顿）的万有引力定律知，物体受地球的引力为：第三页，共三十一页，2022年，8月28日

又当物体在地面上时，s=0,F=-mg又物体在上升过程中满足Newton(牛顿)第二定律这是一个二阶微分方程第四页，共三十一页，2022年，8月28日

模型求解第五页，共三十一页，2022年，8月28日

由于物体到达最大高度时，v=0，所以由此即第二宇宙速度第六页，共三十一页，2022年，8月28日

例2液体的浓度稀释问题在甲、乙两个大桶内各装有100L的盐水（两桶均为装满），其浓度均为5g/L.现用一根细管将净水以2L/min的速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合溶液仍以2L/min的速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中均不会溢出）；然后用细管以1L/min的速度从乙桶将混合溶液输出.问时刻t时乙桶盐水的浓度是多少？模型建立与求解设y1(t)和y2(t)分别表示时刻t时甲、乙两桶内含盐的数量先分析甲桶第七页，共三十一页，2022年，8月28日

两边同除以△t,并令△t→0,得甲桶内含盐的数学模型：分析乙桶同理在任意时间段[t,t+△t]内乙桶内含盐量的变化为：两边同除以△t,并令△t→0,得乙桶内含盐的数学模型：第八页，共三十一页，2022年，8月28日

这是一阶线性微分方程，第九页，共三十一页，2022年，8月28日

例3凶手作案时间的推断问题某天在一住宅发生一起凶杀案，下午16：00刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为30°C，室内环境温度为20°C.已知在环境温度20°C状况下尸体最初2小时其温度下降2°C.若假定室内环境基本为恒温，试推断这一凶杀作案时间.第十页，共三十一页，2022年，8月28日

问题分析该问题属于物理上的冷却现象，需要运用Newton（牛顿）冷却定律：“物质在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比.”而“冷却速度就是温度对时间的导数.”模型建立记Tt为时刻t物体的温度，T0为初始时刻t0物体的温度（即被害者被害时的体温），Te为介质（环境）的温度，则由牛顿冷却定律，得：（其中λ>0为比例系数）第十一页，共三十一页，2022年，8月28日

模型求解现在的问题是λ如何求？方法一利用已知介质（环境）温度Te下物体在最初时间段t1-t0其温度下降为Td这一条件来确定λ.第十二页，共三十一页，2022年，8月28日

应用第十三页，共三十一页，2022年，8月28日

方法二利用现场过一段时间，再增加一次温度测定，从而增加一个条件来确定λ.第十四页，共三十一页，2022年，8月28日

例4马王堆一号墓入葬年代的测定问题湖南长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳—14平均（C—14）原子蜕变数为29.78次/分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中碳—14的原子蜕变数为38.37次/分钟，又知碳—14的半衰期为5730年，试由此推断墓人入葬的大致年代.问题分析放射性元素的衰变的速度不受环境的影响，它总是和该元素当前的量成正比.运用C—14测定文物或化石年代的理由：第十五页，共三十一页，2022年，8月28日

（1）宇宙射线不断袭击大气层，使大气层中产生C—14，而同时C—14又不断衰变，从而大气层中C—14的含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上不变；（2）C—14被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的C—14也处于动态平衡中，其含量自古至今也都是一样的；（3）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取C—14，从而其体内C—14含量将由于衰变而不断减少.碳定年代法就是根据C—14的减少量来判断生物体的大致死亡时间.运用C—14测定文物或化石年代的理由：第十六页，共三十一页，2022年，8月28日

建立模型设t时刻生物体中C—14的含量为x(t)，x0为生物体死亡时间t0时所含C—14的含量，放射性物质的半衰期为T，则C—14衰变规律的数学模型为：模型求解运用分离变量法，得：第十七页，共三十一页，2022年，8月28日

模型应用把T=5730,x0=38.37,x(1972)=29.78代入上式得：即马王堆墓入葬的年代大约在公元前123年左右的西汉中期。第十八页，共三十一页，2022年，8月28日

§3.2运动轨迹问题例1航迹曲线设河边点O的正对岸为点A，河宽OA=h,两岸为平行直线，平行于河岸的水流速度为常数v1,有一小船从A点出发，驶向点O.设小船速度为v2(静水中速度），且|v2|>|v1|.小船在航行中船头恒指向O点，求小船航行的轨迹.模型建立设O为坐标原点，河岸沿y轴方向延伸,如右图.小船航行的轨迹为y=y(x).第十九页，共三十一页，2022年，8月28日

设小船t时刻位于点(x,y)处，则有：第二十页，共三十一页，2022年，8月28日

第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日

模型求解这是一阶齐次微分方程第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日

这就是小船的航行轨迹曲线.第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日

例2追踪问题在南海海域，我缉私舰雷达发现在距离舰艇dnmile(海里）处有一艘走私船正以匀速anmile(海里）朝垂直方向逃窜，缉私舰立即以最大的速度vnmile(海里）追赶.在雷达的指引下，缉私舰的速度方向始终指向走私船.试求缉私舰的追踪轨迹及追上所用的时间.模型建立如果v≤a,则缉私舰不可能追上走私船，因此假设v>a.以缉私舰发现走私船的位置记为坐标原点O，走私船逃窜的方向为y轴方向，建立坐标系，走私船的起点位置为A（d,0),如图.第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日

第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日

对该式两边求导并整理，即得追踪曲线模型模型求解这是一个二阶微分方程第二十六页，共三十一页，2022年，8月28日

第二十七页，共三十一页，2022年，8月28日

缉私舰追上走私船的时间第二十八页，共三十一页，2022年，8月28日§3.3

火车弯道缓和曲线的设计问题火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力F=mv2/R.在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接处，列车受到的离心力若由0突然变到F，会损坏路轨和车辆，并使乘客赶到不适，甚至发生危险.为此火车轨道在弯道处采取“外轨超高”的办法，使产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行.为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从0均匀地增大到F，外轨的超高也从0逐渐增大到h.所加的曲线称为缓和曲线.试求满足上述要求的缓和曲线的模型.第二十九页，共三十一页，2022年，8月28日

模型建立如图，设铁路轨道沿x负半轴直到原点为直线，从第一象限的B处开始，是半径为R0的圆弧，OB弧是所求的缓和曲线，OB弧的总长度为l0.当列车行驶