初中数学浙教版九年级下册第2章直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(j)

直线与圆的位置关系(三)1.如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连结OA，OB.若∠ABC＝65°，则∠A等于(B)A.20°B.25°C.35°D.75°(第1题)2.如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD＝2，tan∠OAB＝eq\f(1,2)，则AB的长是(C)(第2题)A.4B.2eq\r(,3)C.8D.4eq\r(,3)3.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连结BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是(D)A.15°B.30°C.60°D.75°(第3题)4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连结AC.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为eq\r(3).(第4题)(第5题)5.如图，半圆O与等腰直角三角形ABC的两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上.若BG＝eq\r(2)－1，则△ABC的周长为4＋2eq\r(2).(第6题)6.如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA.一动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A停止，则当点P的运动时间为1或5s时，BP与⊙O(第7题)7.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连结BE.(1)若∠C＝30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线.(2)若BE＝eq\r(3)，BD＝1，求△DEC外接圆的直径.【解】(1)∵DE垂直平分AC，∴∠DEC＝90°，AE＝CE，∴DC为△DEC外接圆的直径.(第7题解)取DC的中点O，连结OE，如解图.∵∠ABC＝90°，∴BE为Rt△ABC斜边上的中线，∴EB＝EC.∵∠C＝30°，∴∠EBC＝30°，∠EOB＝2∠C＝60°，∴∠BEO＝90°，∴OE⊥BE.∵OE为⊙O的半径，∴BE是△DEC外接圆的切线.(2)∵BE为Rt△ABC斜边上的中线，∴AE＝CE＝BE＝eq\r(3)，∴AC＝2eq\r(3).∵∠ECD＝∠BCA，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴△CED∽△CBA，∴eq\f(CE,CB)＝eq\f(CD,CA).∵CB＝CD＋BD＝CD＋1，∴eq\f(\r(3),CD＋1)＝eq\f(CD,2\r(3))，解得CD＝2或CD＝－3(舍去).∴△DEC外接圆的直径为2.8.如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，连结AT，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D.(1)求证：AT平分∠BAC.(2)若AO＝2，AT＝2eq\r(3)，求AC的长.(第8题)【解】(1)连结OT，如解图.(第8题解)∵PQ是⊙O的切线，∴OT⊥PQ.∵AC⊥PQ，∴OT∥AC，∴∠TAC＝∠OTA.∵OT＝OA，∴∠OTA＝∠OAT，∴∠TAC＝∠OAT，∴AT平分∠BAC.(2)连结BT，如解图.∵AB为直径，AC⊥PQ，∴∠ATB＝∠ACT＝90°.又∵∠BAT＝∠TAC，∴△ABT∽△ATC，∴eq\f(AT,AC)＝eq\f(AB,AT)，即eq\f(2\r(3),AC)＝eq\f(2×2,2\r(3))，∴AC＝3.9.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(A)A.eq\f(13,3)B.eq\f(9,2)C.eq\f(4,3)eq\r(13)D.2eq\r(,5)【解】连结OD，OE，OF，ON，OG.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.又∵OE＝OF＝OG，∴四边形AFOE，四边形FBGO都是正方形.∴AF＝BF＝AE＝BG＝2.∵AD＝5，∴DE＝3.∵DM是⊙O的切线，∴∠OND＝90°.在Rt△ODN与Rt△ODE中，∵OD＝OD，ON＝OE，∴Rt△ODN≌Rt△ODE(HL).∴DN＝DE＝3.同理，MN＝MG.∴CM＝5－2－MN＝3－MN.在Rt△DMC中，∵DM2＝CD2＋CM2，∴(3＋MN)2＝(3－MN)2＋42，∴MN＝eq\f(4,3).∴DM＝3＋eq\f(4,3)＝eq\f(13,3).(第9题)(第10题)10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4eq\r(3).若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)运动，过点D作DE⊥AC交AB边于点E.(1)当点D运动到线段AC的中点时，DE＝eq\r(3).(2)若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(3\r(3),2)时，⊙C与直线AB相切.【解】(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4eq\r(3)，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝2eq\r(3)，AC＝6.∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC.∵D为AC的中点，∴E为AB的中点，∴DE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3).(2)过点C作CH⊥AB于点H.又∵∠A＝30°，AC＝6，∴CH＝3.分为两种情况：①如解图①.∵CF＝CH＝3，∴AF＝6－3＝3.∵点A和点F关于点D对称，∴AD＝DF＝eq\f(1,2)AF＝eq\f(3,2).∵DE⊥AC，∠A＝30°，∴DE＝AD·tan30°＝eq\f(\r(3),2).(第10题解①)(第10题解②)②如解图②.同理可得DE＝eq\f(3\r(3),2).(第11题)11.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝8，O是斜边AB上一点，以点O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E.(1)当AC＝2时，求⊙O的半径.(2)设AC＝x，⊙O的半径为y，求y关于x的函数表达式.【解】(1)连结OE，OD.∵AC＝2，AC＋BC＝8，∴BC＝6.∵以点O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，∠C＝90°，∴四边形OECD是正方形，∴OD∥BC.∴tanB＝tan∠AOD＝eq\f(AD,OD)＝eq\f(2－OD,OD)＝eq\f(1,3)，解得OD＝eq\f(3,2).∴⊙O的半径为eq\f(3,2).(2)∵AC＝x，∴BC＝8－x，∴tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(x,8－x)，tan∠AOD＝eq\f(AD,OD)＝eq\f(x－y,y)，∴eq\f(x,8－x)＝eq\f(x－y,y)，∴y＝－eq\f(1,8)x2＋x.12.如图①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.(第12题)(1)试判断△ABC的形状，并说明理由.(2)如图②，若线段AB，DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2－eq\r(3)，求⊙O的半径和BF的长.【解】(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：(第12题解①)如解图①，连结OE.∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE.∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠OEB＝∠C.∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠B，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形.(第12题解②)(2)如解图②，过点O作OG⊥AC于点G，连结OE，则四边形OGDE是矩形.∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝75°，∴∠A＝180°－75°－75°＝30°.设OG＝x，则DG＝OE＝OB＝OA＝2x，AG＝eq\r(3)x.∵AB＝AC，∴4x＝eq\r(3)x＋2x＋2－eq\r(3)，解得x＝1.∴OE＝OB＝2，即⊙O的半径为2.在Rt△OEF中，∵∠EOF＝∠A＝30°，∴OF＝eq\f(OE,cos∠EOF)＝2÷eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3)，∴BF＝OF－OB＝eq\f(4\r(3),3)－2.13.如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB的延长线交于点E.(第13题)(1)求证：∠1＝∠2.(2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长.【解】(1)连结OD.∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，即∠2＋∠ODC＝90°.∵OC＝OD，∴∠C＝∠ODC，∴∠2＋∠C＝90°.∵OC⊥OB，∴∠C＋∠CFO＝90°.∴∠2＝∠CFO.又∵∠1＝∠CFO，∴∠1＝∠2.(2)∵OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，∴OF＝1.∵∠1＝∠2，∴EF＝DE.设DE＝x，则EF＝x，OE＝x＋1.在Rt△ODE中，∵OD2＋DE2＝OE2，∴32＋x2＝(x＋1)2，解得x＝4.∴DE＝4，OE＝5.∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE＝90°＝∠ODE.又∵∠OED＝∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴eq\f(DO,AG)＝eq\f(DE,AE)，即eq\f(3,AG)＝eq\f(4,3＋5)，∴AG＝6.14.如图，射线QN与等边三角形ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t(s)，以点P为圆心，eq\r(3)cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上)，请写出t可取的一切值：t＝2或t＝8或3≤t≤7(单位：s).(第14题)【解】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝AM＋MB＝4cm，∠A＝∠C＝∠B＝60°，∴△ABC的高线长为2∵QN∥AC，AM＝BM，∴N为BC的中点，∠BMN＝∠BNM＝∠C＝∠A＝60°，∴MN＝eq\f(1,2)AC＝2cm，∴△BMN的高线长为eq\r(3)cm，∴MN与AC间的距离为2eq\r(3)－eq\r(3)＝eq\r(3)(cm).分为三种情况：①如解图①.(第14题解①)当⊙P切AB于点M′时，连结PM′，则PM′＝eq\r(3)cm，∠PM′M＝90°.∵∠PMM′＝∠BMN＝60°，∴M′M＝1cm，PM＝2MM′＝∴QP＝4－2＝2(cm)，即t＝2.②如解图②.(第14题解②)当⊙P切AC于点A时，连结PA，则∠CAP＝∠APM＝90°，∠PMA＝∠BMN＝60°，AP＝eq\r(3)cm，∴PM＝1cm，∴QP＝4－1＝3(cm