第四章特征值与特征向量(研究生矩阵论)

第四章特征值与特征向量4.1特征值与特征向量4.2特征多项式与Hamilton-Caley定理4.3最小多项式4.44特征值的圆盘定理4.1特征值与特征向量哪些矩阵相似的矩阵.相似是矩阵的使得可以对角化，即存在可逆矩阵则由的第是对角矩阵？表示个列向量，等价关系.称为与用按分块矩阵的乘法可得是数域于是上的特征向量.如果存在非零向量是的个线性无关的使得阵，【定义4.1.1】设阶矩则称为矩阵的特征根或特征值(eigenvalue),非零向量称为的属于特征值相应的多项式可对角化的充称为的特征多项式(characteristicpolynomial),一般记为有要条件是【定理4.1.1】阶矩阵个线性无关的特征向量.【命题4.1.1】的属于不同特征根的特征向量线性无关.的特征向量.而代数方程能.然而，任何方阵都可以三角化.★注意矩阵的对角化问题和所限定的数域阵可以对角化，但在实数域内则不可以对角化.有有密切联系.这是因为，在较小的数域内，矩阵【推论4.1.1】如果

阶矩阵个不同的特征值，则可能没有足够的特征值.例如，在复数域上，矩阶矩阵都相似于上三角矩证明：当时，定理自然成立.现假设复阶方阵.则都相似于一个上三角矩阵.是数域上任何【定理4.1.2】在复数域

阶方阵上，任何阵.设以及相应的特征向量有特征值将扩充成的一组基，设为令则因若令这里由归纳法假设，存在一个使得是上三角矩阵.令方阵则是上三角矩阵.使得【例4.1.2】设间，记为则称如果存在非零向量是满足条件【定义4.1.2】设

上的线性空间，是数域是属于的特征向量.的特征值，此时集合的一个子空构成则当时，是属于特征值1的特征子空间.而当与个1.的各一组基因此这里有是属于0的特征子空间.选取则是与的一组基，且有下的矩阵为对角矩阵集合时，在这组基4.2特征多项式与Hamilton-Caley定理阶矩阵的所有互异的特征根.是的特征多项式称为特征值的代数重数，而每个特征值的几何重数.的解空间的维数线性方程组为特征值称这里，所对应的线性无关的特征向量的个数等于齐次察3阶矩阵的情形.为了进一步了解特征多项式的各项系数，先考其中解：【例4.2.1】求其中一般地，用例4.2.1的办法可得出下面的普遍结果.阶矩阵有【命题4.2.1】对表示A的全部k阶主子式之和.重数不超过代数重数.★特别地，阶矩阵的特征值的几何【命题4.2.2】证：设是的几何重数为的特征值，设是属于特征值征向量.将向量组的线性无关的特扩充成的一的一组基并令因此，则可逆，且有其中故从而矩阵与有相同的特征多项式.由于因此，重特征值.的相似于对角矩阵阶矩阵至少是其每个特征值的代数重数等于几何重数【定理4.2.1】所有特征值的几何重数之和等于【命题4.2.3】设的个特征值为是一多项式，则的个特征值为均满足的任一特征值【例4.2.2】计算行列式则对【推论4.2.1】设是一多项式，若其中因此，解：设值为从而则个特征值为故因此多项式恰好有有个特征值为0,另有一个特征值为的特征另有一个特线性无关，所以【例4.2.3】设为三维列向量，为三阶矩阵，由于试计算行列式解：由线性无关，可得到于是的三个特征值为0，-1，4.故所以据此立得：的三个特征值为5，7，-123.故【例4.2.4】设阶矩阵列都是齐次线性方程组的每一证明：（1）解：由满足可逆.（2）的解向量，另一方面,因此,故得（1）.或【定理4.2.2】(Hamilton-Caley)设矩阵则有而故的特征值只能是由证：在复数域上有得（2）得证.的特征值不能是零.从的特征多项式为又相似于上三角矩阵即有可逆矩阵使得从而为设因此因此的特征值因此向量，因此上面的乘积等于0，即有自左向右逐个相乘，每乘一个因子至少增加一列零【例4.2.5】求则有解：其中的特征多项式为【命题4.2.4】(Sylvester)设矩阵，分别是与与则证明：由于相似矩阵有相同的特征多项式，所以据此得★上述命题又称为特征多项式的降阶计算公式.【例4.2.6】设(Householder初等矩由此知，维单位列向量，求是阶实镜像矩阵阵）的特征值及它的迹和行列式.是解：重根，而中的向量保持不动.换言之，将子空间而将其正交补空间上的线性变换：是则中的向量映到它的负向量，是以超平面★注考虑实线性空间重根，因此，的所有阶数大于阶矩阵，试求其解：由于的特征多项式为为对称面的反射，故其矩阵称为实镜像矩阵.特征多项式.的【例4.2.7】设是秩的子式都等于零，利用命题4.2.1，可得4.3最小多项式【定义4.3.1】设多项式.如果是由Hamilton-Caley定理，任何矩阵的特征多项称其中唯一的首一多项式为则称的零存在的.并且存在无穷多个次数最低的零化多项式，式是该矩阵的零化多项式，因此零化多项式总是是是非零阶方阵，化多项式.的最小多项式.【命题4.3.1】设是的零化多项式，则是整除的最小多项式，阶矩阵的最小多项式.【例4.3.1】求下列解：直接计算可知但的最小多项式为因此的特征多项式.恰好是【例4.3.2】试求下列分块矩阵的最小多项式：★最小多项式为解：【例4.3.3】试求下列分块矩阵的最小多项式：的最小多项式为与的最小公倍式的最小多项式为的最小多项式.就是★分块对角矩阵的最小多项式等于各个子块的最最小多项式的最小公倍式.是上任意方阵，的最小多是域的特征值则【命题4.3.2】设式是的零点.证明：充分性是显然的，因为的特征是多项式的因式.必要性：设是的特征值，是相应的特征向量，由于故只有的最小多项式也是的特征多项式为【命题4.3.5】求下列矩阵的最小多项式：解：故的最小多项式是的最小多项式是整除的零化多项同理，证明：设矩阵【命题4.3.3】相似矩阵具有相同的最小多项式.式，于是与相似，即存在可逆矩阵使得设与是的最小多项与则也整除式分别为即故由于它们都是首一多项式，所以的所有的不同的特征值.证明：【定理4.3.1】故阶矩阵与的最小多项式没有重根.是与对角矩阵相似具有相同的最小多项式.而多项式其中设显然零化没有重根.的最小多项式没有重根.这只要证明因为的几何重数为只需证明则需要证明设事实上，令记就有都为与阶方阵，则反复利用不等式：设即这就证得则【推论4.3.1】设阶矩阵，根，所以可对角化.对合矩阵因式的多项式.若证：幂等矩阵可对角化.的零化多项式为也没有重根，因此也可对角化.没有重是没有【例4.3.6】幂等矩阵与对合矩阵均可以对角化.的零化多项式4.4特征值的圆盘定理设在复平面上，称集合是一般地，称的所有圆盘的并形成的区域个圆盘.为矩阵为阶复方阵，记的第的关于行的盖尔圆盘.盘之内.的每个特征值都落在是证明：设【命题4.4.1】（Gerschgorin圆盘定理）的某个圆设是阶复方阵，则它的特征值至少是它的特征向量.则即满足下列不等式之一：换句话说，的特征值，令将第则两边取模得个方程改写成所以即特征值落在第个圆盘.【例4.4.3】设阶矩阵证明：使得的特征值，则存在那么证明：设满足对角占优矩阵是【例4.4.2】求表明【命题4.4.4】在圆盘组成的连通部分任取一个，如个特征值.且只含有个圆盘组成，则该连通部分必含有果它是由的所有特征值都不是零，故的圆盘，其中它们构成3个连通部分（如下图所示）：解：由第2个圆盘组成，含且仅含一个特征值.第二部分：由第1第一部分：由第4个圆盘组成,含且仅含一个特征值；圆盘的并集组成，含且仅含两个特征值；第三部分的圆盘有四个:（1）个圆盘与第3个（3）（2）（4）【例4.4.5】求解：由圆盘定理可知【推论4.4.1】若的每个特征值均为实数.其余圆盘相离，则的每个圆盘都与阶实矩阵的所有特征值都落在下列的圆盘，其中圆盘中：;则第一个连通部分为第二个连通部分为其中这样有两个特征值不能分离.但若作相似变换，;的圆盘为：由于与的每个圆盘中都有一个特征值，它们都是实数.相似，从而有相同的特征值，故;;分别落在上述三个圆盘中，且它们都是特征值.的特征值全部位于以从几何上看，矩阵【定义4.4.1】设体称为矩阵称是阶矩阵，它的特征值全的谱半径.记为的谱，记为为原点为圆心，谱半径为半径的圆盘内.【命题4.4.2】设是阶复矩阵.令则习题4选解2.设是为简单.的线性变换，设它的特征多项式试求的一组基，使得解：令在该基下的矩阵较下的矩阵具有简单形式：

属于的线性无关的特征向量为：则属于特征值为在基的特征向量为试求的一组基，使得线性空间为在该基下的矩阵3.已知的线性变换较为简单.解：是的一组基.令则所对应的线性无关的特征向量为的特征值为：所对应的线性无关的特征向量为在基下的矩阵具有简单形式：解：问的特征值为的迹，行列式以及是否为对称矩阵？求4.设对应的特征向量为并且有是对称阵.化的矩阵：6.求下列矩阵的零化多项式并指出其中可以对角无重根，该矩阵可以对角化.该矩阵的特征多项式解：该矩阵的特征多项式无重根，故可对角化.该矩阵特征值的特征多项式为故小于其代数重数该矩阵不能对角化.的几何重数是2，因此该矩阵可以对角化.该矩阵的特征多项式所以特征根的几何重数为特征值