第四章导热数值解法基础

1第四章导热数值解法基础引言§4-0引言求解导热问题的三种基本方法：(1)理论分析法；(2)数值计算法；(3)实验法

三种方法的基本求解过程

(1)

所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；

(2)

数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；2引言

(3)

实验法就是在传热学基本理论的指导下，通过实验获得所求量的方法3三种方法的特点

(1)分析法

a能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；

b局限性很大，对复杂的问题无法求解；

c分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见

3(2)

数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低(3)实验法:

是传热学的基本研究方法，a适应性不好；

b费用昂贵数值解法：有限差分法（finite-difference）、有限元法（finite-element）、边界元法（boundary-element）、分子动力学模拟（MD）

本章重点介绍有限差分法4§4-1导热问题数值解法的基本思想

及内节点离散方程的建立

对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热问题的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些点的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。

5导热问题数值求解的一般步骤

建立所研究问题的控制方程及定解条件区域离散化建立节点物理量的代数方程设立迭代初场求解代数方程组对解进行分析这一基本思想可用求解过程的框图来表示，其图为6建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程建立温度场的迭代初值求解代数方程解的分析是否收敛？是否改进初场7二维稳态导热问题研究实例物理模型控制方程定解条件xy08物体的离散xy9区域离散xy用一组平行于坐标轴的直线（网格线）将研究区域划分为若干份；网格线的交点为节点；物体内部的节点称为内节点，边界上的节点称为外节点；两节点之间的距离称为步长；10给节点编号用m表示x方向的位置，n表示y方向的位置，各节点的位置如图；每个节点均代表一个元体，如（m，n）节点代表图中虚线所示的元体；xym,nm+1,nm-1,nm,n-1m,n+111建立节点物理量的代数方程

建立节点物理量的代数方程有两种方法

1.泰勒级数（Taylor）展开法

2.热平衡法12建立节点方程的泰勒级数展开法函数的泰勒级数展开式为对节点(m+1,n)及(m-1,n)分别写出函数对(m,n)点的泰勒级数展开式13+14二阶导数的差分表达式x方向的二阶导数差分表达式y方向的二阶导数差分表达式上述差分格式称为中心差分格式15二维稳态导热内部节点的节点方程建立控制方程节点方程16用热平衡法建立内部节点方程

采用这种方法时，对每个节点所代表的元体建立能量平衡关系式，即可得到该节点的节点方程式。此时把节点看成是元体的代表。通过元体的界面所传导的热流量可以对有关的两个节点应用傅立叶定律写出。而且根据能量守恒定律，对于没有内热源稳态导热，从各个方向进入元体的导热量之和为零。17二维稳态导热内部节点方程式的建立从左面进入微元体的热量从右面进入微元体的热量从下面进入微元体的热量从上面进入微元体的热量m,nm-1,nm+1,nm,n-1m,n+118二维稳态导热内节点方程当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向进入微元体的热量之和为零

将各热量计算表达式带入，整理后得到上式即为二维稳态没有内热源导热问题的内节点方程19

二维稳态导热平直边界上节点方程的建立从左面进入微元体的热量从右面进入微元体的热量从下面进入微元体的热量从上面进入微元体的热量m,n-1m,nm-1,nm,n+120二维稳态导热平直边界上节点方程当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向进入微元体的热量之和为零

将各热量计算表达式带入，整理后得到21外角点节点方程建立从左面进入微元体的热量从右面进入微元体的热量从下面进入微元体的热量从上面进入微元体的热量m,nm-1,nm,n-122外角点节点方程当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向进入微元体的热量之和为零

将各热量计算表达式带入，整理后得到23内角点节点方程建立从左面进入微元体的热量从右面进入微元体的热量从下面进入微元体的热量从上面进入微元体的热量m,nm-1,nm+1,nm,n-1m,n+124内角点节点方程当物体内没有内热源时，根据能量守恒定律，从各个方向进入微元体的热量之和为零即将各热量计算表达式带入，整理后得到252.节点方程组的求解写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，n个代数方程式：26代数方程组求解代数方程组的求解方法有两种：

1.直接求解法

2.迭代求解法在传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用此法求解时需要对被求的温度场预先假定一个解，称为初场，并在求解过程中不断改进。27直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解;

矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯-赛德尔迭