第9章矩阵特征值和特征向量

第九章矩阵的特征值与特征向量

/*Eigen-valuesandEigen-vectorsofmatrix*/

待求解的问题：矩阵的特征值和特征向量x

0，满足:Ax=xor(I-A)x=0Eigen-valueEigen-vector工程技术中的许多问题例如电磁振荡、桥梁振动、机械振动等，都归结为求矩阵的特征值和特征向量问题----代数计算中的重要课题。②特征向量:已知A的特征值，求齐次线性方程组

的非零解x,（,所以有非零解。）为A对应于的特征向量。

如何求解?特征值：已知A=(aij)nn，求A的特征多项式的根有n个零点（实或复，计重数）：即求解代数方程A的特征值从理论上讲，可利用代数方程求根求出特征值，再利用线性方程组的解法，求出特征向量。

缺点：工作量大且特征向量对矩阵的依赖很高；当矩阵阶数较高时，高次代数方程求根的计算稳定性较差。另外，实际问题中的具体要求不同，有时只要求A的绝对值最大的特征值（主特征值）及相应的特征向量；有时又要求全部的特征值及特征向量。根据这两种不同要求，求矩阵的特征值与特征向量的方法也大致分为两类：迭代法（幂法反幂法）、变换法。关于矩阵特征值及特征向量的一些结论：

Th1.（i=1,…,n）为A的特征值，则有1.2.det(A)=Th2、AB(相似)，即存在可逆阵T，使B=T-1AT,则

1.A与B有相同的特征值。

2.设x是B的关于的特征向量,则Tx是A的关于

的特征向量。Th3、（Gershgorin’s定理,园盘定理）：A=(aij),则A的每个特征值必在下述某个园盘中：

A的每行元素确定一个圆盘，共n个。Th3表明A的任一特征值必在这n个圆盘中的某一个内。证明：设为A的任一特征值，x0为对应特征向量，则有(I-A)x=0,设|xi|=max|xj|,显然xi0,第i个方程：Th3的证明过程表明A的任一特征值必在其对应特征向量模最大的分量的指标所对应的圆盘中。

称为A对应于向量x的Rayleigh商。

Def1.Ann

—实对称阵，0xRn,Th4.Ann

—实对称阵，其特征值依次排序为,对应特征向量组成规范正交系，即，则1.0xRn,2.3.Proof.0xRn,formsanorthogonalbasisofRn,soitispossibletowritexaswherenotallcouldbezero.Thuswehave====2.From1weknow

soweonlyneedtoprovethereexistsan

x0suchthat

Takingx=x1,weget3.Proofissimilarto2.§1幂法与反幂法（按模最大与最小特征值的求法）

幂法：求模最大的特征值—主特征值及相应特征向量的迭代法。用A的乘幂构造迭代序列，因此称为幂法。

条件：ARnn具有线性初等因子

A有n个线性无关的特征向量。

优点：简单，适合稀疏矩阵。

缺点：有时收敛速度很慢。Algorithm1.supposeAhaseigen-values(Thisimpliesisasinglerealrootofthecharacteristicpolynomial;else)，andnindependenteigen-vectors.Takeaninitialvectorstarttheiterationsystem

ConvergenceanalysisofAlgorithm1....

isaneigen-vectorofA,and

isalsoaneigen-vectorcorrespondingtoofA.ThesameisEigen-vectorEigenvalue1Th5.ARnn有n个线性无关特征向量主特征值1满足则做迭代有Principaleigenvalue1summaryiterationsystemeigen-vectorcorrespondingto1收敛速度：主要由来确定，r越小，收敛越快。时收敛可能很慢。2.若有，说明10，

以及都不能作为近似特征向量，需要重新取初始向量再迭代。3.用幂法进行计算时，若

在计算机中会产生“溢出”或“机器零”的情况（超过计算机字长所能表示的精度）noteAlgorithm2(improvementofA.1).ConvergenceanalysisofA.2.Max(x)取出向量x中模最大的分量对应1的特征向量x1的规范化向量Th6.ARnn有n个线性无关特征向量主特征值1满足则做迭代有§2平面旋转矩阵雅可比法的基本思想:设法用一系列简单的正角阵Rk,逐步地将A

化为近似对角阵(非对角元近似化为0)。即选择Rk,令A的全部特征值问题的关键：如何构造正交阵Rk？

平面旋转变换雅可比算法:设Ak-1(k1,A0

=A)未对角化，即非对角元中有较大的元素，设非对角元中按模最大的元素是引入平面旋转矩阵利用Rk(p,q)对Ak-1作旋转变换，使中的非对角元应满足常将限制在对Jacobi算法有几点说明：1.构造旋转矩阵时只需计算sin,cos,为了防止舍入误差扩大，sin,cos按下面公式计算：否则，2.由于Ak是对称阵，因此只要计算上三角（或下三角）元素即可，既节省计算量，有能保证Ak严格对称。3.的计算过程如下：4.Ak中经旋转变换化为零的元素，可能在Ak+1中又成为非零元素，因此不能期望通过有限次旋转变换将原矩阵A对角化，但可证证明Jacobi法的收敛性由前面推论知5.实际计算时，当k充分大或者当时迭代终止，A的全部近似特征值6.特征向量的计算：设经过m次旋转变换迭代结束，则说明Pm的第j列就是j的标准正交特征向量的近似值。实际计算时，并不是保留到最后才形成Pm，而是逐步形成的。令

每一步的计算公式为7.对经典Jacobi法的改进-----避免每次在非对角元中选主元素花费太多时间：循环雅可比法和雅可比过关法。雅可比过关法：1.设阈值T0(一般取为)，在A的非对角元中按行（或列）扫描（只需扫描上（或下）三角元素），即按如下顺序与阈值T0作比较：若|aij|<T0,则过关；否则，作一次旋转变换使aij=0。2.设阈值T1=T0/n,重复上述过程，直到满足精度要求为止。按行扫描按列扫描循环雅可比法：不选主元素，直接将非对角元素按列（或行）的次序扫描并依次化为0。由于前面已化为0的元素在后面又可能成为非零元素，因此要反复多次扫描，直到达到精度要求为止。缺点：对一些已经足够小的元素也要作化零处理。雅可比过关法+循环雅可比法：在前几次循环中使用雅可比过关法，经几次循环后，矩阵非对角元素的绝对值的大小已相差不大，这时再使用几次循环雅可比法，效果更好。例：用雅可比方法计算下面实对称阵的特征值解：(1)A0=A,选非对角元中的主元素a12=-1,因为a11=a22,取(1)选非对角元中的主元素a13=0.707107(3)选非对角元中的主元素a23=-0.627963(5)选非对角元中的主元素a13=0.169525(4)选非对角元中的主元素a12=-0.276837A的近似特征值为13.414209,20.585986,31.999800A的准确特征值为§3Householder法求一般实矩阵的全部特征值Def方阵B若满足：当i>j+1时，bij=0,则称B为上Hessenberg阵(或准上三角阵)，即i=j+1i>j+1理论基础：A是n阶实矩阵，存在正交阵P，s.t.是1阶或2阶方阵。若Aii是1阶的，则它是A的一个实特征值；若Aii是2阶的，则它的两个特征值是A的一对共轭复特征值。定理说明：用正交阵相似变换可将一般实矩阵约化为上Hessenberg阵，将实对称阵约化为对称三对角阵。正交相似变换不改变特征值和特征向量，因此求原矩阵的特征值问题就转化为求上Hessenberg阵或对称三对角阵的特征值问题。问题的关键：如何将一般实矩阵正交约化为上Hessenberg阵，将实对称阵约化为对称三对角阵？初等反射阵Def初等反射阵性质:对称、正交、对合初等反射阵的几何意义Swv=x+yyx-yv’=x-yv’是v关于平面S的镜面反射。初等反射阵将Rn中任意向量关于以w为法向量且过原点的超平面做镜面反射。初等反射阵的作用：对向量作变换Proposition证明：令Corollary

结论推论说明：通过初等反射阵即可将任何非零向量约化成只有一个非0元素的向量。

注意：计算

时可能上溢或下溢，为防止溢出，将x

规范化，用正交相似变换(初等反射阵)约化矩阵为Hessenberg阵(n-1)×(n-1)维令重复这一过程直到

结论设x是c的对应于的特征向量，则有

说明Px是A

对应于的特征向量。A的特征值和特征向量若A是实对称阵，则C也是实对称阵(CT=PTATP=PTAP=C),故C为对称三对角阵，即关于实对称阵§4QR方法是一种变换方法，计算一般中小型矩阵全部特征值的最有效方法之一。主要用于计算：1.上Hessenberg阵的全部特征值;2.对称三对角矩阵的全部特征值。对于一般矩阵或对称阵，先用Ho