金融经济学第3章组合前沿的数学课件

第3章组合前沿的数学《金融经济学基础》本章大纲偏好与分布资产组合前沿资产组合前沿的一些数学性质1、偏好与分布一般来说，仅仅用资产组合的预期回报率和预期回报率的方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为资产组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。对于任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期收益（率）和方差这两个元素来描述。所以均值－方差分析的运用是存在限制条件的。均值－方差分析方法的使用条件和范围考察未来收益分布为任意分布的情况此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值和方差完全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以表达为。此时于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变量的两个中心矩来定义二次型效用函数对于经济行为主体的偏好关系的刻画存在着以下两个主要的缺点：第一，二次型效用函数显示经济行为主体对于收益或财富具有餍足性，即个体收益的总效用存在着极大值，超过这点之后，收益增加的边际效用为负。第二，递增的绝对风险厌恶与现实中经济行为主体行为存在矛盾。风险资产的报酬率服从于多元正态分布的情形在任意偏好的情况下，如果三阶及三阶以上高阶矩可以表示为均值和方差的函数，则我们就可以使用均值－方差分析来考察经济行为主体的效用函数。在正态分布的条件下，前面泰勒展开式的三阶及三阶以上高阶矩可以表示为一阶矩和二阶矩（均值和方差）的函数。因此，就可以完全地由均值和方差表示。正态分布对于加法运算保持不变，即多个正态分布变量之和仍为正态分布。

前沿组合前沿资产组合：如果在所有具有相同预期收益率的资产组合中，这一资产组合具有最小的方差值，则该资产组合就是前沿资产组合。资产组合p是一支前沿资产组合当且仅当是它的资产组合权重wp

是下面二次规划问题的解

s.t.

。其中：e表示N种风险资产的预期回报率所构成的向量，表示资产组合的预期回报率，i表示分量为1的N维向量。构造一个拉格朗日函数，是以下函数式的解：（其中，和是两个正值的常数。）求解可得

其中

且B＞0，C＞0，并且可以断定D＞0。我们可以得出一个预期收益率为的前沿资产组合的唯一权重集合其中

从以上（3.9.4）式人们可以看出，是预期收益率为0的前沿资产组合的权重向量；是预期收益率为1的前沿资产组合的权重向量。均值－方差平面中的前沿组合关系式（8.11a）也可以等价地写成最小方差资产组合的收益率和其他任意资产组合（不单是前沿资产组合）的收益率的协方差，总是同最小方差资产组合收益率的方差相等。有效资产组合：在整个资产组合前沿曲线中，所有那些预期收益率严格大于最小方差资产组合收益率的资产组合称之为有效资产组合；无效资产组合：那些既不是有效资产组合，又不是最小方差组合的资产组合称之为无效资产组合。前沿资产的线性组合也落在资产前沿上。任意一支有效资产组合的凸组合仍然是一支有效资产组合。因此有效资产组合的集合是一个凸组合。从几何学的角度看，的位置的确定：在标准差－预期收益率的坐标系平上是过资产前沿组合的切线在预期收益率坐标轴上的截距。任意资产组合（不要求是前沿组合）的预期收益率与一个前沿资产组合的预期收益率之间的关系特征：其中：是之外的任意一个前沿资产组合，上式也可以写成

（3.16.2）、（3.16.3）、（3.16.5）是等价的关系式。我们总可以将资产组合的收益率写成其中引入无风险资产的情形现假定是一支由所有N＋1种资产组合而成的前沿资产组合，表示这支前沿资产组合中的风险资产权重的N维向量。这样，是以下规划问题的解其中仍然表示风险资产的预期收益率的N维向量，表示无风险资产的收益率。

情形1：

这是图3.18.1表示的图形。（图见下页）在图中点是射线与风险资产的组合前沿相切的切点。线段上任意一支资产组合都是风险资产组合和无风险资产的凸组合。在线段之外的射线上资产组合都涉及卖空无风险资产并将收益买入风险资产组合的投资行为。在射线上的资产组合涉及卖空风险资产组合，同时以其收益买入无风险资产的投资行为。如果经济行为主体是风险厌恶者，资产投资组合的有效集位于射线。情形2：

这是图3.18.2表示的图形。（图见下页）射线上资产组合是通过卖空风险资产并运用收益买入无风险资产组合而得。在射线上的资产组合涉及正值地购买风险资产组合。如果经济行为主体是风险厌恶者，资产投资组合的有效集位于射线。情形3：

这是图3.18.3表示的图形。（图见下页）包括无风险资产在内的所有资产的资产组合前沿的预期