平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题

七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题〔共13小题〕1．点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，那么点N的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，将线段AB平移，使其一个端点到C〔3，2〕，那么平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为〔1，0〕、〔2，0〕．假设在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，那么转动过程中，经过点〔75，0〕的是〔填A、B、C、D或E〕．4．如图，弹性小球从点P〔0，3〕出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为2，，第n次P碰到矩形的边时的点为Pn，那么点P3的坐标是；点P2021的坐标

是．5．如图，在直角坐标系中，点A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次获得△1、△2、△3、△4，那么△2021的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2021次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，，P2021的地址，那么P2021的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，有假设干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕根据这个规律，第2021个点的横坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有假设干个整数点，其序次按图中“→〞8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2021次，依方向排列，如〔0，1〕，〔0，2〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕，次获得点P1，2，3P2021．那么点2021的坐标是．根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．PPP9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，，〔每个正方形从第三象限的极点开始，按顺时针方向序次，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；〕的中心均在坐标原点O，各边11．如下列图，在平面直角坐标系中，有假设干个整数点，其序次按图中均与x轴或y轴平行，假设它们的边长依次是2，4，6，那么极点A20的坐箭头方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕，，标为．根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．二．解答题〔共27小题〕14．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点〔不与点E重合〕，过点H的直△OA11变换成△22，第三次将△22变换成△33线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．BOABOABOAB：A〔1，3〕，A1〔，〕，2〔，〕，3〔，〕；〔，〕，1〔1〕如图1，试说明：∠HMF=〔∠BHP+∠DFP〕；23A43A83B20B〔4，0〕，B2〔，〕，3〔，0〕．察看每次变换前后的三角形有何变80B16请在以下解答中，填写相应的原因：化，按照变换规律，第五次变换后获得的三角形A5的坐标是，解：过点M作MQ∥AB〔过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平B的坐标是．5行〕．∵AB∥CD〔〕，∴MQ∥CD〔如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行〕．如图，在平面直角坐标系上有点〔，〕，点A第一次向左跳动至∴∠1=∠3，∠2=∠4〔〕13A10点A1〔﹣，〕，第二次向右跳动至点A2〔，〕，第三次向左跳动至点∴∠1+∠2=∠3+∠4〔等式的性质〕11213〔﹣，〕，第四次向右跳动点4〔3，〕，，依次规律跳动下去，即∠HMF=∠1+∠2．A22A2点A第2021次跳动至点A2021的坐标是．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP〔〕∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP〔〕∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=〔∠BHP+∠DFP〕〔等量代换〕．〔2〕如图2，假设HP⊥EF，求∠HMF的度数；〔3〕如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在哪处都有∠EHF=2∠FNQ．

〔2〕请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；〔3〕如图2，连接BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，假设∠ADC=α，请直接写出∠M的度数〔用含α的式子表示〕16．直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．〔1〕假设E是AB，CD内一点．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证连接FE并延伸至点A，连接BA和CA，使∠AEC=∠BAC．明．〔1〕求证：∠BFA+∠BAC=180°；②如图乙所示，假设∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．〔2〕假设E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大体地址，并求∠ENG：∠GND的值．18．小明在学习了“平行线的判断和性质〞知识后，对下面问题进行探究：17．，AB∥CD，点E为射线FG上一点．在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位〔1〕如图1，假设∠EAF=30°，∠EDG=40°，那么∠AED=°；置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．〔1〕当点E分别在如以下列图①、图〔2〕如图2，当点E在FG延伸线上时，此时CD与AE交于点H，那么∠②和图③所示的地址时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠AED、∠EAF、∠EDG之间知足怎样的关系，请说明你的结论；BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③．〔2〕请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证〔3〕如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：中：明．〔3〕运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，2，∠AED=22°，∠I=20°求∠，EKD的度数．CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是

．〔直接写出结果，

动，试探讨∠

E和∠F的数量关系；不

用

写

计

算

过

程

〕〔3〕如图

3，AD和

BC交于点

G，过点

D作

DH∥BC交

AC于点

H，假设AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠

GDC=∠ADH．20．直线AB∥CD．〔1〕如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．〔2〕如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探19究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；〔3〕如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，那么=．〔1〕试说明AB与CD的地址关系，并予以证明；〔2〕如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延伸线上运22．如图，AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：．如图1，MN∥，直线AD与MN、PQ分别交于点、，点B在第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，21PQAD直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．第二次操作，分别作∠ABE1和∠1的平分线，交点为2，DCEE〔1〕求证：∠MAG+∠PBG=90°；第三次操作，分别作∠ABE2和∠2的平分线，交点为3，，DCEE〔2〕假设点C在线段AD上〔不与A、D、G重合〕，连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜测并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；〔3〕假设直线AD的地址如图3所示，〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请证明；假设不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．

第n次操作，分别作∠

ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为

En．〔1〕如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；〔2〕如图②，求证：∠BE2∠；其数量关系；假设改变，请说明原因．C=BEC〔3〕猜测：假设∠En=α度，那∠BEC等于多少度？〔直接写出结论〕．24．，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．23．“一带一路〞让中国和世界更紧密，“中欧铁路〞为了平安起见在某段铁路两旁布置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立刻展转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立刻展转，两灯不停交错照射巡视．假设灯A转动的速度是每秒〔1〕如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，2度，灯B转动的速度是每秒求∠APC．1度．假设主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．〔2〕如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相〔1〕填空：∠BAN=°；交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明原因．〔2〕假设灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯〔3〕如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，B射线到达∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明原因．BQ从前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？〔3〕如图2，假设两灯同时转动，在灯A射线到达AN从前．假设射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，那么在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？假设不变，央求出26．AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．〔1〕如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；．直线∥．〔2〕如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；25ABCD〔1〕如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．〔3〕如图3，在〔2〕问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，〔2〕如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎BF平分∠，平分∠，假设∠∠°，∠∠，DBCBEABDFCB+NCF=180BFC=3DBE样的数量关系？请说明原因．求∠EBC的度数．〔3〕如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．〔1〕求证：EM∥NG；〔2〕连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．

28．，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．〔1〕如图1，假设∠OCD=120°，求∠BOE的度数；〔2〕把“∠AOB=90°〞改为“∠AOB=120°〞，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，〔如图2所示〕，探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；〔3〕在〔2〕的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，假设∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′〔请直接写出答案〕．29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．〔ⅰ〕求∠EOC的度数；〔ⅱ〕求∠OCB：∠OFB的比值；〔ⅲ〕如图③，假设∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．〔在横〔1〕填空：AB与CD的关系为线上填上答案即可〕，∠B与∠D的大小关系为〔2〕如图2，假设∠B=60°，F、E为BC的延伸线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．〔3〕在〔2〕中，假设∠B=α，其余条件不变，那么∠FDG=．31．数学思考：〔1〕如图1，AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的30．：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试答复以下问题：关系，并说明你探究的结论的正确性．〔1〕如图①所示，求证：OB∥AC．〔注意证明过程要写依据〕〔2〕如图②，假设点E、F在BC上，且知足∠FOC=∠AOC，并且OE平分

推广延伸：∠BOF．

〔2〕①如图2，AA1∥BA3，请你猜测∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜测；②如图3，AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠Bn﹣1、∠An的关系．拓展应用：〔3〕①如图4，假设AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γB．β+γ﹣αC.180°﹣α﹣γ+βD.180°+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，那么∠GHM的大小是．

那么第〔2〕题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜测是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜测，并证明．33．阅读以下材料并填空：32．，直线AB∥CD〔1〕探究：平面上有n个点〔n≥2〕且任意3个点不在同一条直线上，〔1〕如图1，点E在直线BD的左侧，猜测∠ABE、∠CDE、∠BED的数经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？量关系，并证明你的结论；我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直〔2〕如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，猜测∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；〔3〕如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画条直线，平面内有n个点时，一共可以画条直线．〔2〕迁移：某足球比赛中有n个球队〔n≥2〕进行单循环比赛〔每两队之间必须比赛一场〕，一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，那么有20个球队时，要进行场比赛．34．假设∠C=α，∠EAC+∠FBC=β

〔1〕如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，假设AM∥BN，那么α与β有何关系？并说明原因．〔2〕如图②，假设∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．〔用α、β表示〕〔3〕如图③，假设α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，那么∠P5=．〔用α、β表示〕35．，AB∥CD，点E为射线FG上一点．〔1〕如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；〔2〕如图2，当点E在FG延伸线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；〔3〕如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠：，∠°，∠I=30，°求∴PQ∥CD〔〕CDI=21AED=20∠EKD的度数．∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC=°；〔2〕解决问题：①如图2，延伸PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样的数量关系并说明原因；②如图3，假设∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，那么∠M的度数为〔直接写出结果〕．37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．〔1〕判断∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；36．AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．〔2〕如图2，假设∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD〔1〕探究发现：〔填空〕与∠AED之间的数量关系；填空：如图1，过P作PQ∥AB，〔3〕将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，假设∠AGD的余∴∠A+∠1=°〔〕角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．∵AB∥CD〔〕3=

°．〔3〕由〔1〕、〔2〕，请你猜测：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光辉m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光辉m与反射光辉n平行．你能说明原因吗？〔4〕如图3，两面镜子的夹角为α°〔0＜α＜90〕时，进入光辉与走开光线的夹角为β°〔0＜β＜90〕．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．．39．EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．〔1〕如图1，假设∠1=60°，那么∠2=度；38．实考据明，平面镜反射光辉的规律是：射到平面镜上的光辉和被反〔2〕如图2，假设∠1=∠B﹣20°．那么∠2=度；射出的光辉与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光辉m射到平面镜〔3〕如图3，延伸AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADNa上，被a反射后的光辉为n，那么入射光辉m、反射光辉n与平面镜a交GH于K，问∠GKD是否为定值，假设是求值，不是说明原因．所夹的锐角∠1=∠2．〔1〕如图2，一束光辉m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．假设被b反射出的光辉n与光辉m平行，且∠1=50°，那么∠2=°，∠3=°．〔2〕在〔1〕中m∥n，假设∠1=55°，那么∠3=°；假设∠1=40°，那么∠40．AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．〔1〕如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．〔2〕如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．1.〔﹣5，2〕或〔5，2〕;2.〔1，3〕或〔5，1〕3.B;4.〔8，3〕，〔5，0〕;5.〔8052，0〕6.〔2007，1〕7.45．8.〔4023，〕．9.〔5，﹣5〕．10.〔﹣5，13〕．11.〔14，10〕;12.〔32，3〕，〔64，0〕;13.〔﹣1009，1009〕七下平行线，平面直角坐标系压轴题参照答案与试题解析一．填空题〔共13小题〕1．点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，那么点N的坐标为〔﹣5，2〕或〔5，2〕．【解析】根据点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，进而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M〔3，2〕与点N〔x，y〕在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．

y=2．∵点N到y轴的距离为5，|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为〔﹣5，2〕或〔5，2〕．故答案为：〔﹣5，2〕或〔5，2〕．【点评】此题考察坐标与图形的性质，解题的重点是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，将线段AB平移，使其一个端点到C〔3，2〕，那么平移后另一端点的坐标为〔1，3〕或〔5，1〕．【解析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为〔1，0〕、〔2，0〕．假设在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，那么转动过程中，经过点〔75，0〕的是B〔填A、B、C、D或E〕．∵C〔3，2〕，A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为〔1，3〕，【解析】根据点〔75，0〕的横坐标是5的倍数，而该正五边形转动5②如图2，当B平移到点C时，次正好一周，由此可知经过〔5，0〕的点经过〔75，0〕，找到经过〔5，0〕的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为〔1，0〕、〔2，0〕．∴按题中转动方法点E经过点〔3，0〕，点A经过点〔4，0〕，点B经过点〔5，0〕，∵C〔3，2〕，A的坐标为〔2，0〕，点B的坐标为〔0，1〕，∵点〔75，0〕的横坐标是5的倍数，而该正五边形转动5次正好一周，∴可知经过〔5，0〕的点经过〔75，0〕，∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为〔5，1〕，∴点B经过点〔75，0〕．故答案为：B．故答案为：〔1，3〕或〔5，1〕．【点评】此题考察坐标系中点、线段的平移规律，重点要理解在平面直【点评】此题考察了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的重点是了角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，进而经过某点的变解正五边形转动5次正好一个轮回，并由此判断经过点〔75，0〕的点就是经过〔5，0〕的点．化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．4．如图，弹性小球从点P〔0，3〕出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为2，，第n次P碰到矩形的边时的点为Pn，那么点P3的坐标是〔8，3〕；点P2021的坐标是〔5，0〕．【点评】此题主要考察了点的坐标的规律，作出图形，察看出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的重点．5．如图，在直角坐标系中，点

A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，对△OAB【解析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2021除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点

连续作旋转变换，依次获得△1、△2、△3、△4，那么△2021的直角极点的坐标为〔8052，0〕．的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点〔0，3〕，当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：〔8，3〕；∵2021÷6=3354，∴当点P第2021次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为〔5，0〕．故答案为：〔8，3〕，〔5，0〕．

【解析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的地址相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2021除以3，根据商为671可知第2021个三角形的直角极点为循环组的最后一个三角形的极点，求出即可．【解答】解：∵点A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2021÷3=671，∴△2021的直角极点是第671个循环组的最后一个三角形的直角极点，∵671×12=8052，∴△2021的直角极点的坐标为〔8052，0〕．故答案为：〔8052，0〕．【点评】此题是对点的坐标变化规律的考察了，难度不大，仔细察看图形，获得每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的重点，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2021次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，，P2021的地址，那么P2021的坐标为〔2007，1〕．

【解析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2021变形，得出结论．【解答】解：根据规律P1〔1，1〕，P2〔2，0〕=P3，P4〔3，1〕，P5〔5，1〕，P6〔6，0〕=P7，P8〔7，1〕每4个一循环，可以判断P2021坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是〔2007，1〕故答案为：〔2007，1〕【点评】此题主要考察了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，表达了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考察本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有假设干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕根据这个规律，第2021个点的横坐标为45．第2021个点是〔45，13〕，所以，第2021个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】此题考察了点的坐标，察看出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的重点．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2021次，依【解析】察看图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数次获得点P，P2，P．那么点P2021的坐标是〔，〕．等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数P1的坐标为〔，〕；在等边三【解析】根据等边三角形的性质易求得等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，1角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2比方：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，个单位〔即等边三角形的边长〕，可根据这个规律求出点P2021的坐标．【解答】解：易得P1〔，〕；右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，1而P1223，∴2〔，〕，〔，〕；3右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，P=PP=2P3P5依此类推，Pn〔﹣，〕，即n〔﹣，〕；2n1+2n2P1当n=2021时，P2021〔，〕．右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，4023∵452，45是奇数，故答案为：〔4023，〕．=2025【点评】考察了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，平时要根∴第2025个点是〔45，0〕，据简单的条件获得一般化规律，然后根据规律求特定的值．∴A20的坐标为〔5，﹣5〕，故答案为：〔5，﹣5〕．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，，〔每个正方形从【点评】此题考察坐标与图形的性质，解题重点是首先找出A20所在的第三象限的极点开始，按顺时针方向序次，依次记为A1，A2，3，4；象限．AAA5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；〕的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，假设它们的边长依次是2，4，6，那么极点A20的坐．如图，在平面直角坐标系中，有假设干个整数点，其序次按图中“→〞10标为〔5，﹣5〕．方向排列，如〔0，1〕，〔0，2〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为〔﹣5，13〕．【解析】由=5易得A20在第四象限，根据4的坐标，8的坐标，12AAA的坐标不难推出A20的坐标．【解析】察看可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点【解答】解：∵=5，的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左∴A20在第四象限，计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．∵A4所在正方形的边长为，【解答】解：〔0，1〕，共1个，24〔0，2〕，〔1，2〕，共2个，A的坐标为〔1，﹣1〕，同理可得：A8的坐标为〔2，﹣2〕，A12的坐标为〔3，﹣3〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕，共3个，，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3++n=，当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，〔13﹣1〕÷2=6，∴第91个点的坐标为〔﹣6，13〕，第90个点的坐标为〔﹣5，13〕．故答案为：〔﹣5，13〕．【点评】此题考察了点的坐标与规律变化问题，察看出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的重点．11．如下列图，在平面直角坐标系中，有假设干个整数点，其序次按图中箭头方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕，，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为〔14，10〕．

【解析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据解析获得的规律求解．【解答】解：把第一个点〔1，0〕作为第一列，〔2，1〕和〔2，0〕作为第二列，依此类推，那么第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n个数．那么n列共有个数，并且在奇数列点的序次是由上到下，偶数列点的序次由下到上．因为105=1+2+3++14，那么第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是〔14，10〕．故答案填：〔14，10〕．【点评】此题考察了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的重点是能正确找出题目中点的规律．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3：A〔1，3〕，A1〔2，3〕，A2〔4，3〕，A3〔8，3〕；B〔2，0〕，B1〔4，0〕，B2〔8，0〕，B3〔16，0〕．察看每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后获得的三角形A5的坐标是〔32，3〕，B5的坐标是〔64，0〕．【解析】寻找规律求解．【解答】解：A、A1、A2An都在平行于X轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：An=2n．因而点A5的横坐标是25=32；B、B1、B2Bn都在x轴上，B5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：Bn=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64．∴点A5的坐标是〔32，3〕，点B5的坐标是〔64，0〕．故答案分别是：〔32，3〕，〔64，0〕．【点评】考察X轴上的点的特点与平行于X轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的重点．13．如图，在平面直角坐标系上有点A〔1，0〕，点A第一次向左跳动至点A1〔﹣1，1〕，第二次向右跳动至点A2〔2，1〕，第三次向左跳动至点

A3〔﹣2，2〕，第四次向右跳动点A4〔3，2〕，，依次规律跳动下去，点A第2021次跳动至点A2021的坐标是〔﹣，〕．．10091009【解析】根据图形察看发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：察看发现，第2次跳动至点的坐标是〔2，1〕，第4次跳动至点的坐标是〔3，2〕，第6次跳动至点的坐标是〔4，3〕，第8次跳动至点的坐标是〔5，4〕，第2n次跳动至点的坐标是〔n+1，n〕，那么第2021次跳动至点的坐标是〔1010，1009〕，第2021次跳动至点A2021的坐标是〔﹣1009，1009〕．故答案为：〔﹣1009，1009〕．【点评】此题考察了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形获得偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的重点．二．解答题〔共27小题〕14．如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点〔不与点E重合〕，过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．〔1〕如图1，试说明：∠HMF=〔∠BHP+∠DFP〕；【解析】〔1〕根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判请在以下解答中，填写相应的原因：断即可；解：过点M作MQ∥AB〔过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平〔2〕先根据HP⊥EF，AB∥CD，获得∠EHP+∠DFP=90°，再根据〔1〕中行〕．结论即可获得∠HMF的度数；∵AB∥CD〔〕，〔3〕先根据题意获得∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平∴MQ∥CD〔如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可相平行〕得出∠EHF=2∠FNQ．∴∠1=∠3，∠2=∠4〔两直线平行，内错角相等〕【解答】解：〔1〕由MQ∥CD，获得∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两∴∠1+∠2=∠3+∠4〔等式的性质〕直线平行，内错角相等；即∠HMF=∠1+∠2．由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，获得∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP〔〕∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP〔角平分线定义〕其依据为：角平分线定义．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=〔∠BHP+∠DFP〕〔等量代换〕．〔2〕如图2，假设HP⊥EF，求∠HMF的度数；〔2〕如图2，∵HP⊥EF，〔3〕如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点∴∠HPE=90°，N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在哪处都有∠EHF=2∠FNQ．∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°〔三角形的内角和等于180°〕又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由〔1〕得：∠HMF=〔∠EHP+∠DFP〕=×90°=45°．〔3〕如图3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°〔三角形的内角和等于180°〕．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=〔∠HFE+∠EFD〕=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2〔90°﹣∠FNQ〕=2∠FNQ，即无论点H在哪处都有∠EHF=2∠FNQ．【点评】此题主要考察了平行线的性质与判断，角平分线的定义以及平

行公义的运用，解决问题的重点是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连接FE并延伸至点A，连接BA和CA，使∠AEC=∠BAC．〔1〕求证：∠BFA+∠BAC=180°；〔2〕请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；〔3〕如图2，连接BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，假设∠ADC=α，请直接写出∠M的度数〔用含α的式子表示〕【解析】〔1〕根据平行线的性质即可获得∠AEC=∠AFM，再根据∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根据∠BFA+∠AFM=180°，可得结论；〔2〕根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可获得与∠CAF相等的角；〔3〕过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，根据平行线的性质，即可获得∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，再根据∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，可得∠CEM+∠FBM=〔∠CED+∠FBD〕，进而获得∠M的度数．【解答】解：〔1〕如图1，∵直线m∥n，∴∠AEC=∠AFM，∵∠AEC=∠BAC，∴∠AFM=∠BAC，又∵∠BFA+∠AFM=180°，∴∠BFA+∠BAC=180°；〔2〕与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．证明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，∵m∥n，∴∠ABF=∠ANC，∴与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；〔3〕如图2，过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，∵BF∥CE，∴DH∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，∴∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°﹣∠ADC=180°﹣α，

∵∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，∴∠CEM+∠FBM=〔∠CED+∠FBD〕=〔180°﹣α〕=90°﹣α，∵MG∥BF∥CE，∴∠CEM=∠GME，∠FBM=∠GMB，∴∠BME=∠GME+∠GMB=∠CEM+∠FBM=90°﹣α．【点评】此题主要考察了平行线的性质的运用，解决问题的重点是作辅助线构造内错角，解题时注意：两直线平行，内错角相等．16．直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．〔1〕假设E是AB，CD内一点．①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，假设∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．〔2〕假设E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大体地址，并求∠ENG：∠GND的值．【解析】〔1〕①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，同旁内角互补进行推导，即可获得∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②过F作FG∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等，即可获得∠MFN=∠1+∠2，再结合①的结论，即可得出3∠MFN+∠MEN=360°；〔2〕①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行推导计算，即可获得∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②设∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，根据8字形构造获得∠GNQ=3α+3β，根据三角形外角性质以及平行线的性质，获得∠GND=∠1=α+β，据此可得∠ENG：∠GND的值．【解答】解：〔1〕①∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．证明：如图甲，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠BME+∠FEM=180°，∠DNE+∠FEN=180°，∴∠BME+∠FEM+∠DNE+∠FEN=180°+180°=360°，即∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②如图乙，过F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠1=∠MFG，∠2=∠NFG，∴∠MFN=∠1+∠2，又∵∠1=∠BME，∠2=∠DNE，∴∠BME=3∠1，∠DNE=3∠2，又∵∠BME+∠DNE+∠MEN=360°，∴3∠1+3∠2+∠MEN=360°，即3∠MFN+∠MEN=360°；〔2〕①∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系为：∠DNE﹣∠BME=∠MEN．原因如下：如图丙，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，

∵∠1是△GFM的外角，∴∠1=∠G+∠GMF=β+α，又∵AB∥CD，∴∠GND=∠1=α+β，∴∠ENG：∠GND=〔3α+3β〕：〔α+β〕=3．【点评】此题主要考察了平行线的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质的运用，过拐点作平行线，正确识图，理清图中各角度之间的关系是解决问题的重点．∴∠DNE=∠FEN，∠BME=∠FEM，17．，AB∥CD，点E为射线FG上一点．又∵∠FEN﹣∠FEM=∠MEN，〔1〕如图1，假设∠EAF=30°，∠EDG=40°，那么∠AED=70°；∴∠DNE﹣∠BME=∠MEN；〔2〕如图2，当点E在FG延伸线上时，此时CD与AE交于点H，那么∠②点G的大体地址如图丁所示：AED、∠EAF、∠EDG之间知足怎样的关系，请说明你的结论；〔3〕如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°求∠，EKD的度数．设MG与NE交于点Q，NG与AB交于点F，设∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，∵∠EQM=∠GQN，∴∠E+∠EMQ=∠G+∠GNQ，即∠GNQ=∠E+∠EMQ﹣∠G=4β+3α﹣β=3α+3β，【解析】〔1〕延伸DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D=∠AHE=40°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可获得∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°；〔2〕依据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可获得∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG；〔3〕设∠EAI=α，那么∠BAE=3α，进而得出∠EDK=α﹣2°，依据∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22+2°α﹣4°，求得∠EDK=16°，即可得出∠EKD的度数．【解答】解：〔1〕如图，延伸DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D=∠AHE=40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°，故答案为：70；〔2〕∠EAF=∠AED+∠EDG．原因：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

〔3〕∵∠EAI：∠BAI=1：2，∴设∠EAI=α，那么∠BAE=3α，∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=α﹣2°，DI平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3α=22°+2α﹣4°，解得α=18，°∴∠EDK=16°，∴在△DKE中，∠EKD=180°﹣16°﹣22°=142°．【点评】此题主要考察了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的重点是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．18．小明在学习了“平行线的判断和性质〞知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的地址探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．〔1〕当点E分别在如以下列图①、图②和图③所示的地址时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：∠B+∠C=∠BEC；图②中：∠B+∠C+∠BEC=360°，图③中：∠C﹣∠B=∠BEC．〔2〕请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．〔3〕运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是130°．〔直接写出结果，不用写计算过程〕【解析】〔1〕依据图①、图②和图③所示的地址，直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系即可；〔2〕过点E作EF∥AB，利用平行线的性质，即可获得∠B和∠C、∠BEC的数量关系；〔3〕由图②的结论可得，∠ABE+∠DCE=360°﹣∠E=360°﹣100°=260°，再根据BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，可得∠PBE+∠PCE=130°，利用四边形PCEB内角和进行计算即可．【解答】解：〔1〕图①：∠B+∠C=∠BEC；图②：∠B+∠C+∠BEC=360°；

图③：∠C﹣∠B=∠BEC．〔2〕选图①证明：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC〔〕，EF∥AB〔辅助线的作法〕，∴EF∥DC〔平行于同一条直线的两直线互相平行〕，∴∠C=∠CEF〔两直线平行，内错角相等〕，∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF〔两直线平行，内错角相等〕，∴∠B+∠C=∠CEF+∠BEF〔等式的性质〕，即∠B+∠C=∠BEC．选图②证明：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC〔〕，EF∥AB〔辅助线的作法〕，∴EF∥DC〔平行于同一条直线的两直线互相平行〕，∴∠C+∠CEF=180°．〔两直线平行，同旁内角互补〕∵EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°．〔两直线平行，同旁内角互补〕，∴∠B+∠C+∠CEF+∠BEF=180°+180°=360°，即∠B+∠C+∠BEC=360°．选图③证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC〔〕，EF∥AB〔辅助线的作法〕，∴EF∥DC〔平行于同一条直线的两直线互相平行〕，∴∠C=∠CEF〔两直线平行，内错角相等〕，∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF〔两直线平行，内错角相等〕，∴∠B﹣∠C=∠CEF﹣∠BEF〔等式的性质〕，即∠B﹣∠C=∠BEC．〔3〕∠BPC的度数是130°．由图②的结论可得，∠ABE+∠DCE=360°﹣∠E=360°﹣100°=260°，又∵BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∴∠PBE+∠PCE=130°，∴四边形PCEB中，∠BPC=360°﹣130°﹣100°=130°，故答案为：130°．

【点评】此题主要考察了平行线的性质的运用，能正确作出辅助线是解此题的重点，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．〔1〕试说明AB与CD的地址关系，并予以证明；〔2〕如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延伸线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；〔3〕如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，假设AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．【解析】〔1〕依据AC平分∠DAB，∠1=∠2，即可获得∠2=∠BAC，进而判断CD∥AB．〔2〕当∠ADC=120°时，∠1=∠2=30°，依据∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F=∠2=30°．〔3〕依据DH∥BC，AC⊥BC，可得DH⊥AC，进而获得∠ADH=∠CDH，据此可适合∠GDC=∠ADH时，∠CDG=∠CDH=∠ADH，即可获得∠CDH=×180°=60°．【解答】解：〔1〕如图，∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAC，∴CD∥AB．〔2〕当∠ADC=120°时，∠1=∠2=30°，∵点E、F分别在CD和AC的延伸线上运动，∴∠2是△CEF的外角，∴∠E+∠F=∠2=30°．〔3〕∵DH∥BC，AC⊥BC，∴DH⊥AC，又∵∠1=∠2，∴∠ADH=∠CDH，

∴当∠GDC=∠ADH时，∠CDG=∠CDH=∠ADH，∴∠CDH=×180°=60°．故当∠CDH为60度时，∠GDC=∠ADH．【点评】此题主要考察了平行线的判断以及三角形外角性质的运用，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．即内错角相等，两直线平行．20．直线AB∥CD．〔1〕如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为∠E=∠END﹣∠BME；〔2〕如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；〔3〕如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，那么=．【解析】〔1〕由AB∥CD，即可获得∠END=∠EFB，再根据∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME；〔2〕由平行线的性质以及三角形外角性质，即可获得∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，再根据三角形内角和定理，即可获得∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2〔∠PMA+∠CNP〕=180°，即可获得∠E+2∠NPM=180°；〔3〕延伸AB交DE于G，延伸CD交BF于H，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可获得∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE；依据∠CHB是△DFH的外角，即可获得∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=〔∠ABE﹣∠CDE〕，进而得出∠F=∠E．【解答】解：〔1〕如图1，∵AB∥CD，

∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，故答案为：∠E=∠END﹣∠BME；〔2〕如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2〔∠PMA+∠CNP〕=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；〔3〕如图3，延伸AB交DE于G，延伸CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=〔∠ABE﹣∠CDE〕，②由①代入②，可得∠F=∠E，即．故答案为：．

【点评】此题主要考察了平行线的性质和角平分线的定义、三角形内角和的运用，解决问题的重点是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．〔1〕求证：∠MAG+∠PBG=90°；〔2〕假设点C在线段AD上〔不与A、D、G重合〕，连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜测并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；〔3〕假设直线AD的地址如图3所示，〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请证明；假设不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．【解析】〔1〕依据平行线的性质以及三角形外角性质，即可获得∠MAG+∠PBG=90°；〔2〕分两种情况议论：当点C在AG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB﹣∠CBG=90°；当点C在DG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB+∠CBG=90°；〔3〕分两种情况议论：当点C在AG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB+∠CBG=270°；当C在DG上时，依据平行线的性质以及三角形外角性质，2∠AHB﹣∠CBG=270°．【解答】解：〔1〕如图1，∵MN∥PQ，∴∠MAG=∠BDG，∵∠AGB是△BDG的外角，BG⊥AD，∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°，∴∠MAG+∠PBG=90°；〔2〕2∠AHB﹣∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，证明：①如图，当点C在AG上时，∵MN∥PQ，∴∠MAC=∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，

∴∠ACB=2〔∠MAH+∠DBH〕，同理可得，∠AHB=∠MAH+∠DBH，∴∠ACB=2〔∠MAH+∠DBH〕=2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=∠CBG+90°，∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB﹣∠CBG=90°；②如图，当点C在DG上时，同理可得，∠ACB=2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，∴2∠AHB=90°﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°；〔3〕〔2〕中的结论不成立．存在：2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB﹣∠CBG=270°．①如图，当点C在AG上时，由MN∥PQ，可得：∴360°﹣2∠AHB=90°﹣∠CBG，∴2∠AHB﹣∠CBG=270°．【点评】此题考察了平行线的性质，角平分线的定义的运用，正确识图并理清图中各角度之间的关系是解题的重点，难点在于利用三角形外角性质进行计算．∠ACB=360°﹣∠MAC﹣∠PBC=360°﹣2〔∠MAH+∠PBH〕，∠AHB=∠MAH+∠PBH，22．如图，AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，又∵∠ACB是△BCG的外角，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，∴∠ACB=90°+∠CBG，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，，∴360°﹣2∠AHB=90°+∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=270°；②如图，当C在DG上时，第n次操作，分别作∠〔1〕如图①，求证：∠

ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为BEC=∠ABE+∠DCE；

En．〔2〕如图②，求证：∠

BE2C=

∠BEC；同理可得，∠ACB=360°﹣2〔∠MAH+∠PBH〕，∠AHB=∠MAH+∠PBH，∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，

〔3〕猜测：假设∠En=α度，那∠BEC等于多少度？〔直接写出结论〕．【解析】〔1〕先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而获得∠BEC=∠ABE+∠DCE；〔2〕先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用〔1〕中的结论，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；〔3〕根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；据此获得规律∠En=∠BEC，最后求得∠BEC的度数．【解答】解：〔1〕如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；以此类推，∠En=∠BEC，∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度．〔2〕如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，【点评】此题主要考察了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，∴由〔1〕可得，内错角相等的运用．解决问题的重点是作平行线构造内错角，解题时注∠CE1∠1∠∠∠∠；1ABE+DCE=B=ABE+DCE=BEC意：从一个角的极点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个∵∠ABE1和∠1的平分线交点为2，角的平分线．DCEE∴由〔1〕可得，∠BE2∠2∠2∠1∠1∠1∠；23．“一带一路〞让中国和世界更紧密，“中欧铁路〞为了平安起见在某段C=ABE+DCE=ABE+DCE=CEB=BEC铁路两旁布置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始〔3〕如图2，∵∠ABE和∠DCE2的平分线，交点为，顺时针旋转至AN便立刻展转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便2E3立刻展转，两灯不停交错照射巡视．假设灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假设主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．〔1〕填空：∠BAN=60°；〔2〕假设灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ从前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？〔3〕如图2，假设两灯同时转动，在灯A射线到达AN从前．假设射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，那么在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？假设不变，央求出其数量关系；假设改变，请说明原因．【解析】〔1〕根据∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可获得∠BAN的度数；〔2〕设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行议论：当0＜t＜90时，根据2t=1?〔30+t〕，可得t=30；当90＜t＜150时，根据1?〔30+t〕+〔2t﹣180〕=180，可得t=110；〔3〕设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=2t﹣120°，∠BCD=120°﹣∠BCD=t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．

【解答】解：〔1〕∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，∴∠BAN=180°×=60°，故答案为：60；〔2〕设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD2t=1?〔30+t〕，解得t=30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?〔30+t〕+〔2t﹣180〕=180，解得t=110，综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；〔3〕∠BAC和∠BCD关系不会变化．原因：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN=180°﹣2t，∴∠BAC=60°﹣〔180°﹣2t〕=2t﹣120°，又∵∠ABC=120°﹣t，∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°，∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣〔180°﹣t〕=t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．【点评】此题主要考察了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决

问题的重点是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．24．，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．〔1〕如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．〔2〕如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明原因．〔3〕如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明原因．【解析】〔1〕先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可获得∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根据∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP进行计算即可；〔2〕过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，进而获得∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=〔∠BAP+∠DCP〕=∠APC，进而获得∠AKC=∠APC；〔3〕过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，进而获得∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=〔∠BAP﹣∠DCP〕=∠APC，进而获得∠AKC=∠APC．【解答】解：〔1〕如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；〔2〕∠AKC=∠APC．原因：如图2，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=〔∠BAP+∠DCP〕=∠APC，

∴∠AKC=∠APC；〔3〕∠AKC=∠APC．原因：如图3，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=〔∠BAP﹣∠DCP〕=∠APC，∴∠AKC=∠APC．【点评】此题主要考察了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的重点是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算．25．直线AB∥CD．〔1〕如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是∠ABE+∠CDE=∠BED．〔2〕如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明原因．〔3〕如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系2∠BFD+∠BED=360°．【解析】〔1〕首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，据此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可．〔2〕首先根据BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CDF=〔∠ABE+∠CDE〕；然后由〔1〕，可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠CDE，据此推得∠BFD=∠BED．〔3〕首先过点E作EG∥CD，再根据AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥

【解答】解：〔1〕∠ABE+∠CDE=∠BED．原因：如图1，作EF∥AB，∵直线AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，即∠ABE+∠CDE=∠BED．故答案为：∠ABE+∠CDE=∠BED．〔2〕∠BFD=∠BED．原因：如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=〔∠ABE+∠CDE〕，由〔1〕，可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=〔∠ABE+∠CDE〕∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠BFD=∠BED．EG，所以∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，据此推得∠ABE+∠〔3〕2∠BFD+∠BED=360°．CDE+∠BED=360°；然后根据∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分别平分原因：如图3，过点E作EG∥CD，，∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360°即可．∵AB∥CD，EG∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，由〔1〕知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠BFD=〔∠ABE+∠CDE〕，∴2∠BFD+∠BED=360°．故答案为：2∠BFD+∠BED=360°．【点评】此题主要考察了平行线的性质和应用，解答此题的重点是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两

条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．26．AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．〔1〕如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系∠A+∠C=90°；〔2〕如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；〔3〕如图3，在〔2〕问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，假设∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．【解析】〔1〕根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；〔2〕先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可获得∠ABD=∠C；〔3〕先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得〔2α+β〕+3α+〔3α+β〕=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可获得∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解答】解：〔1〕如图1，∵AM∥CN，由〔2〕可得∠ABD=∠CBG，∴∠C=∠AOB，∴∠ABF=∠GBF，∵AB⊥BC，设∠DBE=α，∠ABF=β，那么∴∠A+∠AOB=90°，∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠A+∠C=90°，∴∠AFC=3α+β，故答案为：∠A+∠C=90°；∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，〔2〕如图2，过点B作BG∥DM，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得∵BD⊥AM，〔2α+β〕+3α+〔3α+β〕=180°，①∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，由AB⊥BC，可得又∵AB⊥BC，ββα，°②++2=90∴∠CBG+∠ABG=90°，由①②联立方程组，解得α=15°，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABE=15°，∵AM∥CN，BG∥AM，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．∴CN∥BG，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；〔3〕如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，

【点评】此题主要考察了平行线的性质的运用，解决问题的重点是作平行线构造内错角，运用等角的余角〔补角〕相等进行推导．余角和补角计算的应用，经常与等式的性质、等量代换相关系．解题时注意方程思想的运用．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．〔1〕求证：EM∥NG；〔2〕连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P