工程力学14-弯曲2

载荷集度、剪力图、弯矩图之间的规律ABCDEFGHIFsF1F2MOF3qq<0>0+++__归纳：(1)图形规律FSq<0

为直线段FS=0>0<0<0<0>0>0=0>0MM(2)突变规律(a)在有集中力作用处,剪力图突变,弯矩图有折转。(b)在有集中力偶作用处,剪力图无变化,弯矩图有突变。(3)绝对值最大的弯矩既可能发生在剪力为零的极值点处,也可能发生在集中力和集中力偶作用处。思考题9-1下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。ABCq2aaFS+M+思考题9-1答案ABCq2aaFS+M+思考题9-2下面的剪力图和弯矩图有无错误，请改正。qaa3aaqa2qaqqFSx+qaqaMx+思考题9-2答案FSxqaqaqa++Mx+qaa3aaqa2qaqq弯曲应力目录§14-4弯曲时的正应力回顾与比较内力应力FSM目录纯弯曲纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲

纯弯曲目录§14-4弯曲时的正应力一、变形几何关系aabbmnnmm´a´a´b´b´m´n´n´平面假设：横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变－－中性层中间层与横截面的交线－－中性轴§14-4纯弯曲时的正应力目录设想梁是由无数层纵向纤维组成胡克定理§14-4纯弯曲时的正应力目录建立坐标二、物理关系(a)(b)aabbmnnmooy三、静力学关系§14-4弯曲时的正应力目录(c)FN、My、Mz正应力公式变形几何关系物理关系静力学关系为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径，§14-4弯曲时的正应力目录正应力分布一、纯弯曲时的正应力目录MM

与中性轴距离相等的点，正应力相等；

正应力大小与其到中性轴距离成正比；

中性轴上,正应力等于零常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面§14-4纯弯曲时的正应力目录二、横力弯曲时的正应力目录弹性力学精确分析表明，当跨度l

与横截面高度h

之比l/h>5

（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。

横力弯曲横力弯曲正应力公式横力弯曲最大正应力目录细长梁的纯弯曲或横力弯曲横截面惯性积IYZ=0弹性变形阶段公式适用范围单辉祖,材料力学教程20§14-5

惯性矩与平行轴定理

静矩与惯性矩简单截面惯性矩

平行轴定理例题单辉祖,材料力学教程21

静矩与惯性矩静矩惯性矩－截面对z轴的静矩－截面对z轴的惯性矩单辉祖,材料力学教程22

简单截面惯性矩矩形截面惯性矩圆形截面惯性矩单辉祖,材料力学教程23平行轴定理平行轴定理Cy0z0－形心直角坐标系Oyz－任意直角坐标系同理得：二者平行单辉祖,材料力学教程24平行轴定理平行轴定理Cy0z0－形心直角坐标系Oyz－任意直角坐标系同理得：二者平行单辉祖,材料力学教程25例题例

14-10已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm试计算：截面

B-B的最大拉应力st,max与压应力sc,max解：1.弯矩计算2.形心位置计算由矩形

1

与矩形

2

组成的组合截面单辉祖,材料力学教程263.惯性矩计算4.最大弯曲正应力弯曲正应力强度条件1.等截面梁弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑与目录§14-6梁的强度条件

FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFSx90kN90kN1.求支反力（压应力）解：例题14-10目录BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正应力C截面弯矩C截面惯性矩目录BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN3.全梁最大正应力最大弯矩截面惯性矩目录BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN4.C截面曲率半径ρC截面弯矩C截面惯性矩目录§14-6梁的强度条件分析（1）（2）弯矩最大的截面（3）抗弯截面系数最小的截面图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知材料的许用应力例14-11目录§14-6梁的强度条件（3）B截面，C截面需校核（4）强度校核B截面：C截面：（5）结论轴满足强度要求（1）计算简图（2）绘弯矩图FaFb解：目录§14-6梁的强度条件分析（1）确定危险截面（3）计算（4）计算，选择工字钢型号某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力起重量跨度试选择工字钢的型号。（2）例题14-12目录§14-6梁的强度条件（4）选择工字钢型号（5）讨论（3）根据计算（1）计算简图（2）绘弯矩图解：36c工字钢目录§14-6梁的强度条件作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足分析：非对称截面，要寻找中性轴位置T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。例题14-13目录§14-6梁的强度条件（2）求截面对中性轴z的惯性矩（1）求截面形心z1yz52解：目录§14-6梁的强度条件（4）B截面校核（3）作弯矩图目录§14-6梁的强度条件（5）C截面要不要校核？（4）B截面校核（3）作弯矩图目录§14-6梁的强度条件梁满足强度要求§14-8提高弯曲强度的措施目录1.降低Mmax

合理安排支座合理布置载荷合理布置支座目录FFF§14-8提高弯曲强度的措施合理布置支座目录§14-8提高弯曲强度的措施目录合理布置载荷F§14-8提高弯曲强度的措施2.增大WZ合理设计截面合理放置截面目录§14-8提高弯曲强度的措施目录合理设计截面§14-8提高弯曲强度的措施目录合理设计截面§14-8提高弯曲强度的措施令目录合理放置截面§14-8提高弯曲强度的措施3、等强度梁

目录§14-8提高弯曲强度的措施目录§14-8提高弯曲强度的措施§14-9挠度和转角挠度：直梁发生弯曲变形时，其横截面的形心在垂直于弯曲前的轴线方向所产生的线位移，如下图所示。ABxy挠曲线v（+）θ（+）转角挠度曲线在小变形情况下1.研究梁的挠度和转角的目的：(1)对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大挠度是否超过按要求所规定的容许值；(2)解超静定梁。如下图所示梁。ABCF1F2FAFCFB2.求梁位移的基本方法根据挠曲线的近似微分方程式通过积分求挠度方程：v=v(x)和转角方程：具体分析，在纯弯曲情况下：ABxyMeMe观察下梁若考虑上图坐标，则正值的M所对应的挠曲线其曲率1/r为负，即对于下图横力弯曲的梁ABxyF1F2(1)由解析几何知识知：一根平缓的曲线v

=

v(x)，其曲率1/r

近似地等于v(x)对于x的二阶导函数，即有则(2)(3)将(3)代入(2)，有因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩方程M=M(x)，将其代入上式，对x连续积分后有：在利用梁的位移条件确定式中的积分常数后，就得转角方程q

=q

(x)=v′(x)和挠度方程v

=

v

(x)，从而也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。求图示悬臂梁的转角方程q=q(x)和挠度方程v=v(x)，并求最大转角qmax及最大挠度fmax。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。F

θ

maxxylxfmax例题9-7F

θmaxxylxfmax解：(1)(2)(3)(4)例题9-7将x=0,v′=0代入(3)式有C1=0(3)固定端处转角为零,即固定端处挠度为零,即x

=

0,v

=

0将之代入(4)式得C2=0则将C1=0，C2=0代入(3)、(4)式有例题9-7(4)例题9-73.按叠加原理计算如果每一种梁的挠度和转角都要具体计算，则比较麻烦。故为工程上方便，列出了一些计算公式。利用这些公式可按叠加原理较方便地计算某些复杂情况下梁的挠度和转角。梁在线性弹性范围内工作，且变形较微小习题：

1、外伸梁受均布荷载作用，q=12kN/m，[σ]=160MPa。试选择此梁的工字钢型号。2、空心管梁受载如图所示。已知[σ]=150MPa，管外径D=60mm，在保证安全的条件下，求内经d的最大值。3、铸铁梁的荷载及横截面尺寸如图所示，已知Iz=7.63×10-6m4，[σt]=30MPa，[σc]=60MPa，试校核此梁的强度。7、铸铁T梁的载荷及横截面尺寸如图所示，C为截面形心。已知Iz=6