第8章：一维杆件系统的振动

第二篇连续系统的线性振动第二篇

连续系统的线性振动第8章一维杆件系统的振动分析描述离散系统的运动方程——常微分方程组描述连续分布系统的运动方程——偏微分方程(组)偏微分方程(组)所描述的是一个场的问题：位移场应力场温度场电磁场关键问题：控制方程、边界条件一维问题：弦、杆、梁等结构一个空间坐标x和一个时间坐标t二维问题：薄膜、薄板、中厚板、薄壳等结构两个空间坐标x、y和一个时间坐标t三维问题：重力坝、厚板、厚壳等结构三个空间坐标x、y、z和一个时间坐标t第8章一维杆件系统的振动分析

第8章一维杆件系统的振动分析§8-1弦的振动图8.1.1弦单元体的受力分析弦，是指极易弯曲，在轴向可以承受很大张力的非常细的杆。y方向的平衡条件:几何关系:§8-1弦的振动

第8章一维杆件系统的振动分析自由振动方程(波动方程)：横波沿弦传播的波速：波动方程的一般解：第一项表示振动波形以波速c沿x轴的正方向传播分离变量法解波动方程，设：上标“′”表示对x的偏导数波动方程与分离变量法

第8章一维杆件系统的振动分析左边仅是x的函数，右边仅是t的函数。A1与A2由边界条件确定，B与α由初始条件确定。若弦在x=0和x=l两端固定，边界条件为：非零解：波动方程的解

第8章一维杆件系统的振动分析第n阶固有振型:振型函数的正交性：一般解答：初始条件：初始条件与自由振动解

第8章一维杆件系统的振动分析弦的受迫振动:引入广义坐标Yn(t)，应用振型叠加法，设解：结论：一个弹性系统相当于具有无穷多个自由度，具有无穷多个固有频率，每个固有频率都对应一个振型。常采用模态截断：受迫振动解答

第8章一维杆件系统的振动分析共振原理：当激振力频率等于弦的固有频率ωn

，出现共振峰。工程应用：测试弦的固有频率推算弦的索力。斜拉桥通过拉索将桥面荷载经主塔传入地基，当桥建成并投入运行一段时间后，由于桥本身结构的自我调整，拉索的张力会有所变化，但不允许变化太大，这就需要采用某种比较实用的方法来进行监测。影响fn的因素:(1)

ρ

的取值问题;(2)钢绞线抗弯刚度EI的影响；索力公式

第8章一维杆件系统的振动分析四川宜宾小南门大桥四川宜宾小南门大桥为跨径240m的中承式肋拱，是我国该种桥型的最大跨径。

第8章一维杆件系统的振动分析1.索的振动2.索的振动控制弦的振动及影视资料洞庭湖斜拉桥

第8章一维杆件系统的振动分析济南黄河公路桥济南黄河公路桥位于济南市北郊，距济青高速公路约2km，全长2033.44m

,主桥长488m，为5孔40+94+220+94+20(m)连续的预应力混凝土双塔斜拉桥。引桥长1535.44m，采用51孔30m跨度的先张法预应力组合槽形梁。主梁断面为闭口双室箱梁，梁高2.75m，采用挂篮悬浇施工。

第8章一维杆件系统的振动分析铜陵长江大桥铜陵长江大桥位于铜陵市羊山矶下游600米处，桥型为预应力钢筋混凝土双塔索面斜拉桥，是世界上同类型第3位大跨径桥梁。全长2592米，主桥长1152米，最大跨径为432米，桥面宽度23米，其中4车道15米，人行道5米，通航净高24米。

第8章一维杆件系统的振动分析芜湖长江大桥芜湖长江大桥芜湖长江大桥是一座公铁两用低塔斜拉特大桥，正桥共有15个桥墩。大桥为双层，铁路在下层，公路在上层。铁路桥为I级，双线，全长10511米，正桥长2193米，桥宽21米(设四车道宽18米，两侧人行道各宽1.5米)，芜湖岸引桥长2038米，无为岸引桥长1449米。全桥混凝土总量约为55万立方米，结构用钢材约11万吨。

第8章一维杆件系统的振动分析弦的振动及影视资料安庆长江大桥施工情况

第8章一维杆件系统的振动分析都江堰安谰桥都江堰安谰桥(1)

第8章一维杆件系统的振动分析云南永平县霁虹桥云南永平县霁虹桥云南永平县霁虹桥，跨澜沧江，是中国现存最古、最宽、铁索最多的铁索桥，桥净跨57.3m，全长113.4m，桥宽约4.1m。桥底有索16根，左右栏杆索共两根，桥位于通往印度、缅甸的千年古道上。

第8章一维杆件系统的振动分析西藏拉萨达孜桥西藏拉萨达孜桥达孜桥位于西藏拉萨市东郊25km处，跨越拉萨河，建于1984年。为跨径500m的悬索桥。由于一侧的塔架和鞍座设在山上，桥面长度仅415m。桥面宽4.5m，为单车道桥。

第8章一维杆件系统的振动分析江阴长江大桥悬索－吊杆特写江阴长江大桥悬索－吊杆特写

第8章一维杆件系统的振动分析润杨大桥全景图润杨大桥全景图润扬长江公路大桥是长江上第一座由悬索桥和斜拉桥组成的组合型桥梁，于2000年10月20日开工建设，她跨江连岛，北起扬州，南接镇江，全长35.66公里，主线采用双向6车道高速公路标准，设计时速100公里。

第8章一维杆件系统的振动分析汕头海湾大桥汕头海湾大桥全景位于广东汕头游览风景点妈屿岛处跨越汕头海湾，面对台湾海峡，全长2420米，悬索桥主跨452米，采用预应力钢筋混凝土加劲梁，桥面宽23.8米。1999年荣获全国第八届优秀工程设计银质奖，国家科技进步二等奖，中国建筑工程鲁班奖。

第8章一维杆件系统的振动分析图8.2.1杆纵向振动时单元体的受力分析§8-2直杆的纵向振动和扭转振动8.2.1直杆纵向振动的微分方程力学模型:单元体受力分析:轴向的平衡条件:虎克定律:等截面杆自由振动方程:运动微分方程:§8-2直杆的纵向振动和扭转振动

第8章一维杆件系统的振动分析8.2.2轴扭转振动的微分方程图8.2.2轴扭转振动时单元体的受力分析力学模型:单元体受力分析:转动平衡条件:内力—变形关系：等截面杆自由振动方程：运动微分方程：8.2.2轴扭转振动的微分方程

第8章一维杆件系统的振动分析8.2.3直杆的纵向自由振动自由振动方程:分离变量法：类似得到解答：边界条件：①x=0固支，x=l自由的杆与弦的方程在数学上相似，一个是横向振动，一个是纵向振动。8.2.3直杆的纵向自由振动

第8章一维杆件系统的振动分析振型函数：②两端固支的杆：③两端自由的杆：一般解：边界条件与振型函数

第8章一维杆件系统的振动分析8.2.4振型函数的正交性振型函数：

分别满足特征方程：第一式两边乘以φn(x),从0到l积分，并分部积分：不管两端是固定还是自由，都能保证右边第一项为零。8.2.4振型函数的正交性

第8章一维杆件系统的振动分析

同理有：两式相减：振型函数的正交性m=n：

模态刚度：模态质量：

第8章一维杆件系统的振动分析初始条件：任意初始干扰下的一般解：一般解与初始条件由正交条件得:

第8章一维杆件系统的振动分析有一根两端固定的杆，在中央处作用一个集中轴向力F0，现将突然撤去F0

，求杆的自由振动。【例8.2.1】解：先求u(x,0)，由对称性，左半部的拉应变与右半部的压应变在数值上相等。取单元体：初始条件：问题：集中力作用在任意位置？例8.2.1

第8章一维杆件系统的振动分析自由振动位移：例8.2.1续

第8章一维杆件系统的振动分析8.2.5变截面杆纵向振动的数值解法

运动微分方程：等截面杆:梁的理论：荷载q、剪力FQ和弯矩M的关系:降阶处理：相似关系:实杆虚梁固定端简支边自由边界滑动支座8.2.5变截面杆纵向振动的数值解法

第8章一维杆件系统的振动分析具体计算过程:以一端固定，另端自由等截面杆为例。将虚梁离散，结点编号，表中第一列为结点号；假定初始振型，见表中的第二列；由虚梁上分布荷载q(x)计算等效结点荷载(第三列);根据虚梁的边界条件和结点荷载计算虚梁上各结点的剪力和弯矩，分别列在第四和第五列;将u的结果归一化得修改后振型，可依次迭代下去。计算过程

第8章一维杆件系统的振动分析表8.2.1x=0

固定，x=l

自由的等截面杆一阶频率系数a1的迭代过程结点00.000000.39393-60.718970.000000.0000010.195092.33358-58.3853960.718970.1950820.382684.57296-53.81243119.104360.3826730.555576.64536-48.16707172.916790.5555640.707118.45811-38.70896220.083860.7071050.831479.94569-28.76327258.792820.8314760.9238811.05106-18.71221288.556090.9238870.9807911.73178-5.98043305.268300.9807981.000005.980430.00000311.248731.00000相乘因子1表8.2.1

第8章一维杆件系统的振动分析可以证明，逐次迭代将收敛于第一阶振型φ1

证明：设初始振型为φ1，迭代后振型为由迭代过程知:不考虑共同相乘因子ρω2l2/E，存在关系：同理：对任意初始振型u0(x)，作展开：

振型迭代法的收敛性证明

第8章一维杆件系统的振动分析迭代后振型：为求高阶频率和振型，采用清除法消除低阶振型影响。【例8.2.2】一端固定一端自由等截面杆，自由端带附加集中质量，求一阶频率系数。解质量比：运动微分方程：第一次迭代过程见表8.2.2。例8.2.2

第8章一维杆件系统的振动分析表8.2.2自由端带附加质量的等截面杆一阶频率系数a1

的第一次迭代结果结点00.0000.3935-70.34220.000000.0000010.1952.333-68.009270.34220.1812320.3834.581-63.4282138.35140.3564530.5566.6501-56.7781201.77960.5187640.7078.459-48.3191258.55770.6661450.8329.9511-38.368306.87680.7906360.92411.053-27.315345.24480.8894870.98111.734-15.581372.55980.9598681.0005.981+9.60.000388.14081.00000相乘因子11/961/961/768388.1408/768计算频率系数：再经三次迭代得精确解：表8.2.2

第8章一维杆件系统的振动分析表8.2.3阶梯形杆一阶频率系数a1

的第一次迭代结果结点010.000.39-36.917510.000000.00000110.192.26-34.6575136.91750.1715210.364.30-30.3575171.57500.33249310.515.9325-24.42501101.93250.4735240.750.635.615-18.81002126.35750.5869850.50.764.7175-14.09252163.97750.7617460.50.895.315-8.77752192.16250.8926770.50.975.795-2.98252209.71750.9742280.51.002.98250.00002215.26751.00000相乘因子11/961/961/768215.2675/768【例8.2.3】求阶梯形杆的第一阶频率系数。一次：两段杆的长度相等，A1/A2=2，中间结点处的A取平均值。

三次:精确:例8.2.3

第8章一维杆件系统的振动分析【例8.2.4】求楔形杆的第一阶频率系数:解：离散化后各段内的剪力为常量;乘上因子1/A(x)=l/(l－x)后，求M时进行数值积分;在自由段的一段，为消除奇异性，假定剪力在该段内按抛物线分布，并保证自由端的剪力为零。

Bessel函数求解已得精确解:第一次迭代：第三次迭代：例8.2.4

第8章一维杆件系统的振动分析结点010.000.29625-20.1687510.000000.0000017/80.161.6475-18.521258/721.545290.1636623/40.332.9275-15.593754/344.38580.3371735/80.503.7025-11.891258/567.130410.5099441/20.663.9125-7.97875288.358060.6711953/80.803.5575-4.421258/3106.72080.8106861/40.912.69875-1.72254121.06210.9196271/80.991.4650-0.25758130.613670.99218801.000.25750.0000131.643671.00000相乘因子11/961/961/768131.64367/768表8.2.4楔形杆一阶频率系数a1

的第一次迭代结果表8.2.5给出了分段数对结果的影响，收敛速度也较快。表8.2.4

第8章一维杆件系统的振动分析表8.2.5几种不同分段情况下楔形杆的一阶频率系数a1

分段数n(计算值)(精确解)相对误差62.39355712.4048256-0.47%82.3996868-0.21%102.4037304-0.05%【例8.2.5】求喇叭形杆的二阶频率:一阶频率系数迭代结果：精确解：一阶振型：φ1

为求二阶频率，设u0为任意初始振型。清除后的迭代矢量:按辛卜生公式计算迭代四次结果：精确解:例8.2.5

第8章一维杆件系统的振动分析§8-3欧拉梁的横向振动图8.3.1梁的横向振动8.3.1自由振动微分方程

力学模型：边界条件：①简支：②固支：③自由：内力与横向位移y之间的关系:§8-3欧拉梁的横向振动

第8章一维杆件系统的振动分析图8.3.1梁的横向振动动平衡方程:§8-3欧拉梁的横向振动平衡微分方程:

第8章一维杆件系统的振动分析应用哈密顿原理建立系统的运动方程①梁的动能：②梁的势能：③外荷载的功：哈密顿原理：哈密顿原理建立运动方程将有关表达式代入并进行变分运算得：

第8章一维杆件系统的振动分析分部积分，并考虑梁的边界条件和δy(t1)=δy(t2)=0

自由振动方程δy的任意性自由振动方程：

第8章一维杆件系统的振动分析

8.3.2等截面欧拉梁的无阻尼自由振动

EI和m均为常量:分离变量法:8.3.2等截面欧拉梁的无阻尼自由振动

第8章一维杆件系统的振动分析①两端简支的梁，边界条件为:简支梁边界条件与振型函数频率方程:振型函数:

第8章一维杆件系统的振动分析②悬臂梁：x=0固支，x=l自由悬臂梁边界条件与振型函数齐次方程的非零解条件:频率方程:

第8章一维杆件系统的振动分析频率方程:频率系数:振型函数:③其他几种常见边界条件的梁:见表8.3.1两端自由的梁有两个刚体模态，对应a=0

说明：两个独立的刚体模态:其他几种常见边界条件的梁

第8章一维杆件系统的振动分析支承情况两端自由两端固定一端固定,一端简支边界条件,,,,,,频率方程固有振型(刚体模态)n＞2时，

表8.3.1几种常见边界条件的梁的固有频率及振型函数

表8.3.1

第8章一维杆件系统的振动分析8.3.3振型函数的正交性与主坐标的初始条件

任意初始条件所激发的自由振动:φn(x)为满足相应边界条件的振型函数。8.3.3振型函数的正交性与主坐标的初始条件

Cn和αn由初始条件确定;

关键:将初始条件按振型展开;

振型函数的正交性。

第8章一维杆件系统的振动分析1.振型函数的正交性m阶振型函数:n阶振型函数:第一个方程两边乘以φn(x),从0到l积分，分部积分并考虑两端边界条件：1.振型函数的正交性自由振动方程：

第8章一维杆件系统的振动分析同理:两式相减得:正交条件:等截面梁正交条件:正交性证明续

第8章一维杆件系统的振动分析初始条件：自由振动响应:自由振动响应

第8章一维杆件系统的振动分析引入广义坐标Yn(t):

Ym(t)的初始条件:自由振动响应

第8章一维杆件系统的振动分析8.3.4有阻尼欧拉梁的自由振动和受迫振动介质阻尼,可以归并入横向荷载

:结构阻尼,内阻尼应力与应变速率成正比:分布阻尼力截面上的弯矩M:

内阻尼力矩MD:合力矩:8.3.4有阻尼欧拉梁的自由振动和受迫振动

第8章一维杆件系统的振动分析单元体及动平衡条件：受迫振动的运动方程：解函数：解(8.3.53)代入式(8.3.52)：单元体及动平衡条件

第8章一维杆件系统的振动分析自由振动：受迫振动：根据初始条件和杜哈美积分解方程(8.3.57)求Yn(t);按振型叠加由式(8.3.53)求出梁的动力响应。模态分析的求解过程

第8章一维杆件系统的振动分析§8-4特殊因素影响下梁的横向振动8.4.1考虑剪切变形与转动惯量的影响横向位移：中性轴挠度曲线的切线y1(x,t)由弯曲变形引起；y2(x,t)由剪切变形引起；存在关系：弹性方程：A－横截面面积G－剪切弹性摸量k－剪力修正系数EI－抗弯刚度§8-4特殊因素影响下梁的横向振动

第8章一维杆件系统的振动分析单元体及动平衡条件：竖向力平衡方程：力矩平衡方程:I=Ar2－单位长度梁的转动惯量；m=ρ

A单位长度梁的质量；

r－截面的惯矩半径。

8.4.1考虑剪切变形与转动惯量的影响

第8章一维杆件系统的振动分析竖向力平衡方程：力矩平衡方程:运动方程：消去θ

，得关于位移y的运动微分方程:8.4.1考虑剪切变形与转动惯量的影响

第8章一维杆件系统的振动分析第一项为基本项；第二项代表剪切变形的影响；第三项代表转动惯量的影响；第四项代表综合影响;运动方程与综合影响F(x,t)=0时代表自由振动。

第8章一维杆件系统的振动分析自由振动，令F(x,t)=0:运动方程与综合影响两端简支梁，设：

第8章一维杆件系统的振动分析前两项代表欧拉梁的简单结果，第三项代表剪切变形和转动惯量的主要影响：略去式中最后一项：简支梁的振动频率

第8章一维杆件系统的振动分析Timoshenko梁振型函数的正交性位移y的振型函数为φn(x)，转角θ的振型函数为ψn(x)

证明：两式相加，沿梁长积分，根据边界条件并分部积分得Timoshenko梁振型函数的正交性

第8章一维杆件系统的振动分析互换下标m和n两式相减:正交性证明

第8章一维杆件系统的振动分析8.4.2轴向力对横向振动的影响

设梁受横向荷载F(x,t)和轴力FN(x,t)的共同作用单元体及平衡条件：图8.4.2梁横向振动时受轴向力的作用8.4.2轴向力对横向振动的影响

第8章一维杆件系统的振动分析等截面梁自由振动：自由振动的解：两端简支的梁：两端简支压杆失稳的欧拉临界力。自由振动解答与振动频率

第8章一维杆件系统的振动分析压力：张力：张紧的弦，FN较大，杆比较细长且抗弯刚度较小：考虑拉索的抗弯刚度时索力的修正公式：m为单位长度的质量，fn为振动的自然频率。索力修正公式

第8章一维杆件系统的振动分析8.4.3支座激振

支座激励时，支座的位移是随时间变化的;考虑梁的横向振动，有竖向线位移y和角位移θ

；共有四个支座位移，令其为δi(t)

(i=1,2,3,4)。柔度函数:δi=1时所引起的梁的弹性挠度曲线gi(x)。

支座移动引起的梁的位移：梁的总挠度：拟静力位移：动位移：8.4.3支座激振

第8章一维杆件系统的振动分析等效荷载运动方程动位移yd仍按无支座位移时梁的某种振型函数来展开：支座移动的边界条件由ys

(x,t)来满足;梁的初始条件由yd(x,t)和ys

(x,t)共同满足。等效激励运动微分方程

第8章一维杆件系统的振动分析【例8.4.1】图示悬臂梁，m和EI均为常数，两端作用有与时间有关的边界条件，试确定由支座移动引起的位移。解：为保证自由端的竖向边界条件，自由端必作用一竖向力，由y(x,t)确定。边界条件：柔度函数:例8.4.1图8.4.3悬臂梁的支座激励

第8章一维杆件系统的振动分析例8.4.1(续)yd(x,t)应满足的齐次边界条件:φn(x)应取x=0固定，x=l简支时梁的振型函数。

第8章一维杆件系统的振动分析【例8.4.2】图示简支梁，m和EI均为常数，两端作用有与时间有关的边界条件，试确定由支座移动引起的位移。图8.4.4简支梁的支座激励边界条件：例8.4.2解：柔度函数:

第8章一维杆件系统的振动分析因为：则：φn(x)仍取x=0固定，x=l简支时梁的振型函数！特点：柔度函数gi(x)由原结构的边界条件确定；

yd的振型函数φn(x)由齐次边界条件确定；

yd的展开系数Yn(t)由初始条件和等效激振力Feq(x,t)确定。柔度函数与边界条件

第8章一维杆件系统的振动分析如果支座发生的位移与支座的约束条件相一致，则yd中振型函数φn(x)的边界条件与实际结构相一致。图8.4.5简支梁的支座激励y(x,t)和ys(x,t)要满足的边界条件一样:yd(x,t)应满足的边界条件为:所以，φn(x)应取两简支梁的振型函数。其它边界条件及支座激励情况，做法一样，见习题。支座位移与支座约束相一致的情况

第8章一维杆件系统的振动分析8.4.4弹性地基上梁的振动图8.4.6弹性地基上梁的振动设梁由连续弹性基础支撑。梁横向振动的微分方程:自由振动的解：自由振动,F(x,t)=0:两端简支的地基梁:自由振动一般解:8.4.4弹性地基上梁的振动

第8章一维杆件系统的振动分析§8-5瑞雷—里兹法求梁的固有频率

对于变截面梁和一般支撑情况，通常采用能量法。8.5.1瑞雷法图8.5.1具有附加弹簧和集中质量的变截面梁变截面梁：集中质量:集中弹簧:梁的横向位移:

动能:§8-5瑞雷—里兹法求梁的固有频率

第8章一维杆件系统的振动分析势能:最大动能:最大势能:对于一个合理假定的振型，只要满足所有几何边界条件，便能得到一个较好的固有频率的近似值。8.5.1瑞雷法

第8章一维杆件系统的振动分析等截面悬臂梁，长为l，m和EI皆为常量，在自由端有一个集中质量块，其质量为M=2ml。试确定梁横向振动的基频。【例8.5.1】解：取Y(x)为悬臂梁在自由端集中力作用下的挠度曲线精确解：M相对ml较小时，Y(x)常取均匀荷载作用下的挠度曲线若取Y(x)为等截面悬臂梁的第一固有振型φ1(x)高0.02%高1.2%例8.5.1

第8章一维杆件系统的振动分析8.5.2瑞雷—里兹法

8.5.2瑞雷—里兹法瑞雷法的不足：(2)精度不好控制，取决于振型Y(x)的选择。(1)只能求一阶频率，通常是基频；瑞雷—里兹法：(1)诸Yr(x)相互独立，且满足梁两端几何边界条件；(2)诸参数br是任意的，根据能量原理确定。

第8章一维杆件系统的振动分析极值条件：方法(1)瑞雷商与极值条件

第8章一维杆件系统的振动分析方法(2)最小势能原理的驻值条件：矩阵形式：固有频率ωi和广义坐标固有振型bi

特征值问题：特征矢量：最小势能原理的驻值条件

第8章一维杆件系统的振动分析【例8.5.2】用瑞雷—里兹法解例8.5.1，求前两阶固有频率。解：Y1(x)和Y2(x)分别为自由端无集中质量时等截面悬臂梁的第一和第二阶归一化振型函数。例8.5.2振型函数满足关系：

第8章一维杆件系统的振动分析特征方程：频率方程：分别比精确值高0.18%和2.1%例8.5.2续

第8章一维杆件系统的振动分析【例8.5.3】例8.5.3图示等截面梁，单位长度的质量为m，右端支座B有一刚度系数为k的线性弹簧。试用瑞雷—里兹法求第一和第二阶固有频率。图8.5.2弹性支承的简支梁位移函数:解：取前两项:

第8章一维杆件系统的振动分析精确值:

分别高0.25%和6.21%。若仅取一项：约高出精确解50%绕支座的刚体转动结论：增加级数的项数对提高低阶频率的精度较明显。例8.5.3续

第8章一维杆件系统的振动分析§8-6链状结构的传递矩阵法

§8-6链状结构的传递矩阵法

8.6.1梁弯曲振动的传递矩阵法

8.6.2Riccati变换和系统方程的求解

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.18.1一根长为l，两端固定并张紧的弦，在x=a处用力提起，使弦成为图示的三角形初始状态，求当力突然撤去时弦的自由振动。题8.1图

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.28.2在图(8.2.3)中，(1)若集中轴向力F0作用在x=2l/3处；(2)F0作用在x=l/4处，同时有一大小相等且方向相反的力-F0作用在x=3l/4处；(3)F0沿杆长方向均匀分布，荷载强度=F0/l。求当这些力突然撤去时杆的自由振动。(2)(1)(3)

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.3题8.3图8.3一等直杆，长为l，单位体积质量为ρ，用一刚度为k的弹簧悬挂，如图所示。求系统纵向振动的频率方程。

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.48.4有一根以常速度v0沿x轴正方向运动的杆在下列位置处突然停止：(1)x=l/2；(2)x=l。试求由此产生的自由振动表达式。

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.58.5两端固定杆，假定一常数集中轴向力F0突然作用在下列位置：(1)x=l/2处；(2)F0作用在x=l/4处，同时有一大小相等且方向相反的力-F0作用在x=3l/4处。试确定两种情况下杆从静止位置起计算的纵向动力反应。(2)(1)

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.68.6x=0固定，x=l自由的杆，作用下列轴向荷载：(1)在x=l/2处突加常力荷载F0；(2)在x=l/2处作用简谐干扰力F(t)=F0sinpt；(3)均匀分布简谐干扰力f(x,t)=(F0/l)sinpt。试确定上述几种情况下杆的纵向强迫动力反应。(3)(1)(2)

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.78.7一根两端固支的杆，受支座激励产生强迫振动：(1)x=0受简谐支座运动u0(t)=U0sinp1t，右端支座不动；(2)x=l受简谐支座运动ul(t)=Ulsinp2t，左端支座不动；(3)两端同时受简谐支座运动u0(t)和ul(t)。试确定上述几种情况下杆的纵向强迫动力反应。(1)(2)(3)

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.8题8.8图8.8如图所示，梁的左端固支，右端弹性支承，弹簧的刚度系数为k。梁的抗弯刚度EI，单位长度质量均为常数m，试建立梁横向振动的频率方程。

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.98.9在例8.8中，梁还在右端固定一个集中质量M=ml，试建立梁横向振动的频率方程。题8.9图

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.108.10两端简支的等截面梁，因下列荷载作用而产生挠曲：(1)在跨中作用的集中力Fp；(2)承受强度为q的均布荷载。试求荷载突然移去后梁的自由振动。(1)

第8章一维杆件系统的振动分析习题8.108.10两端简支的等截面梁，