特征值和特征向量矩阵的相似对角化

第四章特征值和特征向量、矩阵

的相似对角化工程技术和经济管理的许多定量分析问题，如振动问题和稳定问题、动态经济模型，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量.特征值和特征向量是矩阵的两个重要概念.另外，将矩阵化为简单形式是线性代数的一个重要内容，本章介绍将方阵相似化为对角阵.本章重点：特征值和特征向量(定义、求法、性质)相似的定义和性质方阵相似化为对角阵的条件和方法实对称矩阵关于特征值和特征向量的基本性质1§4.1特征值和特征向量设是一个n元列非零向量，A为n阶矩阵，问题：向量是否会线性相关？换一个角度问：能否找到一个数，使得与相等？一、特征值和特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性质2一、特征值和特征向量的概念Def4.1

设A为n阶方阵，若有数和n元非零列向量，使得成立，则称数是方阵A的特征值，称向量为方阵A的属于(或对应于)特征值的特征向量.特征向量是非零的向量.特征值与特征向量是互相对应的，数是特征值就一定有非零向量与它对应；反之，非零向量是特征向量就一定有一个数与它对应.一个特征向量对应唯一一个特征值.一个特征值对应的特征向量有无穷多个,因此我们关心线性无关的特征向量.3二、特征值和特征向量的求法是齐次线性方程组的解.如果是A的对应特征值的特征向量，则方程组有非零解，因此Def4.2

设n阶方阵令则称为方阵A的特征多项式；令则称上述等式为方阵A的特征方程；线性方程组则称为A的特征方程组.4矩阵A的特征值是特征方程的根,或者说，矩阵A的特征值是矩阵A的特征多项式的根.的非零解；设是方阵A的一个特征值，则矩阵A的属于特征值的特征向量是齐次方程矩阵A的属于特征值的线性无关特征向量就是齐次方程组的基础解系.5求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤：(1)求出n阶方阵A的特征多项式(2)求出特征方程的根，即是A的特征值；(3)对于每个特征值，求齐次方程的基础解系，即是A的属于的线性无关特特征向量,基础解系的线性组合(零向量除外)就是A的属于的全部特征向量.6例1.1求矩阵的特征值和特征向量.解:

这是一道非常简单的求特征值和特征向量的题目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步骤.A的特征多项式所以A的特征值为7当时，解齐次方程组，即得基础解系即A的属于的线性无关的特征向量，因此A的属于的全部特征向量为当时，解齐次方程组，即得基础解系即A的属于的线性无关的特征向量，因此A的属于的全部特征向量为8例1.2求矩阵的特征值和特征向量.解:A的特征多项式所以A的特征值为当时，解齐次方程，9得基础解系所以对应于的全部特征向量为当时，解齐次方程，得基础解系所以对应于的全部特征向量为10例1.3求矩阵的特征值和特征向量.解:A的特征多项式所以A的特征值为当时，解齐次方程，(教材P115，例3)11得基础解系所以对应于的全部特征向量为当时，解齐次方程，得基础解系所以对应于的全部特征向量为多重特征值对应的线性无关特征向量的个数有可能等于重数，也有可能不等于重数.12三、特征值和特征向量的性质1.

特征值的性质Thm4.1

设A是n阶方阵，则与A有相同的特征值.证:所以A与的特征多项式相同，故A与的特征值相同.Thm4.2

设n阶矩阵的n个特征值为则(1)其中是A的主对角元之和，称为方阵A的迹，记作tr(A);(2)13证:因为是A的n个特征向量，则有另外令，即得的根为，所以比较两端的的系数，可得14推论4.1

n阶方阵A可逆的充分必要条件是它的任一特征值不等于零.Thm4.3

设是方阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则(1)是kA的特征值(k是任意常数);(2)是的特征值(k是正整数);(3)是矩阵的特征值(m是正整数)；(4)当A可逆时，是的特征值.且也是矩阵kA，，，的特征向量.15证：根据定义有(1)所以是kA的特征值，且也是kA属于的特征向量.(2)所以是的特征值，且也是属于的特征向量.(3)所以是的特征值，且也是属于的特征向量.16(4)当A可逆时，由推论得，所以是的特征值，且也是属于的特征向量.17例1.4设3阶矩阵A的特征值为求方阵A的行列式=A的全部特征值之积.因为的特征值为，全不为0，所以A可逆，且则有故的特征值为解：因此18例1.5设3阶方阵A的行列式，A有一个特征值为-2,则必有一个特征值为

，必有一个特征值为

，

.解：00192.特征向量的性质Thm4.4

属于不同的特征值的特征向量是线性无关的.证：设是方阵A的互异特征值，是分别属于它们的特征向量，现在证明它们线性无关.设有数，使左乘A，得再左乘A，得如此下去，20因为后面一个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，当不为零时，它可逆，因此因此一定有这就证明了是线性无关的.21Thm4.5

若是方阵A的不同的特征值，而是属于特征值的线性无关的特征向量，则向量组是线性无关的.22例1.6设和是方阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为和，证明不是A的特征向量.证：若是A的特征向量，对应的特征值为，则有从而有这与题意矛盾，因此不是A的特征向量.属于不同特征值的特征向量的线性组合一般不是特征向量.23§4.2相似矩阵相似变换是线性代数中一类十分重要的变换，因为变换之后的矩阵与原矩阵有多不变量,也有很多应用.左乘可逆矩阵PA，是对A施行初等行变换;右乘可逆矩阵AP，是对A施行初等列变换;在线性代数中,这样的乘积,称为对A施行相似变换.一、相似矩阵及其性质二、方阵相似对角化三、方阵相似对角化的应用24一、相似矩阵及其性质Def4.3

设A和B都是n阶方阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得成立，则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似,乘积称为对A施行相似变换，P称为相似变换矩阵.25相似是方阵之间的一种关系，也是一种等价关系：(1)反身性

A与A相似；(2)对称性若A与B相似，则B与A也相似；(3)传递性若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.26相似的矩阵具有一些共性，也称为相似不变性：Thm4.6

若n阶方阵A和B相似，则(1)R(A)=R(B)；(2)A与B有相同的特征多项式和特征值；(3)27若A与B相似，则tE-A与tE-B也相似.若A与对角阵(三角阵)相似，则对角阵(三角阵)的对角元是A的全部特征值.28例2.1设方阵与对角阵相似.试求之值.(教材P128，Ex.5)解：根据相似矩阵的性质知，5，-4是A的特征值，所以由第二个等式得x=4，又tr(A)=tr()，可得y=5.29二、方阵相似对角化方阵相似对角化：讨论是否能寻找到可逆矩阵P，将A相似变换为对角阵.若A与对角阵相似，则称方阵A可相似对角化.方阵可相似对角化的条件：这样的A满足什么条件？首先我们可知是A的特征值.30由此可知，是A的特征向量，而且线性无关(因为矩阵P可逆).31Thm4.7

n阶方阵A与n阶对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证：充分性：设是A的n个线性无关的特征向量,分别属于特征值，则从证明过程可知，如果A可以相似对角化，由线性无关的特征向量构成的矩阵，就可以将A相似变换为对角阵.32推论4.2一个n阶方阵A若有n个不同的特征值，则A一定可相似对角化.根据特征向量的性质：“属于不同特征值的特征向量线性无关”知,若A有n个不同的特征值，则A必有n个线性无关的特征向量，因此A可以对角化.有重特征值的方阵A，有可能可对角化，也有可能不可对角化.方阵A能否对角化,关键在于属于多重特征值的线性无关特征向量的个数.33Thm4.8

设为n阶方阵A的r重特征值，则属于的线性无关的特征向量最多只有r个.证：设A有t个属于的线性无关的特征向量我们可以寻找到另外n-t个向量使得向量组线性无关(这是一定能做到的).令则P是可逆矩阵，且有显然，是后面一个矩阵的特征值，且重数至少为t,由于相似矩阵的特征值相同，因此推导见下页343536Thm4.9

n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是:A的每个特征值对应线性无关的特征向量的最大个数等于该特征的重数.推论4.3

n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是:对于A的每个重特征值，属于特征值恰有个线性无关的特征向量.结论01

n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是:对于A的每个重特征值，矩阵的秩为37例2.2设,问x为何值时,矩阵A可相似对角化.(教材P123,例1)解：显然-1是A的单特征值，1是A的二重特征值.对于特征值-1，一定有即有一个线性无关的特征向量属于-1.对于特征值1，由于所以只有当x=0时，才有这时有两个线性无关的特征向量属于1；由以上讨论知，当x=0时，方阵A可相似对角化.38方阵相似对角化的步骤：(依据Thm4.7的充分性证明)(1)求方阵A的特征值；(2)对应于每个特征值,求属于的线性无关的特征向量,并判断线性无关的特征向量的个数是否等于的重数；(3)若在(2)中求得的线性无关的特征向量的个数等于A的阶数，记线性无关的特征向量构成的矩阵为P；(4)写出对角阵，注意，P的第j列是属于的第j个对角元的特征向量.39例2.3设，求一个可逆矩阵P，使得为对角阵.(教材P124，例2)解：所以A的特征值为对应于特征值2，求(2E-A)X=0的基础解系，得属于2的线性无关的特征向量对应于特征值1，求(E-A)X=0的基础解系，得属于1的线性无关的特征向量记则有40§4.2相似矩阵(续)相似变换是线性代数中一类十分重要的变换，因为变换之后的矩阵与原矩阵有多不变量,也有很多应用.左乘可逆矩阵PA，是对A施行初等行变换;右乘可逆矩阵AP，是对A施行初等列变换;在线性代数中,这样的乘积,称为对A施行相似变换.一、相似矩阵及其性质二、方阵相似对角化三、方阵相似对角化的应用41二、方阵相似对角化方阵相似对角化：讨论是否能寻找到可逆矩阵P，将A相似变换为对角阵.若A与对角阵相似，则称方阵A可相似对角化.方阵可相似对角化的条件：这样的A满足什么条件？首先我们可知是A的特征值.42由此可知，是A的特征向量，而且线性无关(因为矩阵P可逆).43Thm4.7

n阶方阵A与n阶对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证：充分性：设是A的n个线性无关的特征向量,分别属于特征值，则从证明过程可知，如果A可以相似对角化，由线性无关的特征向量构成的矩阵，就可以将A相似变换为对角阵.44推论4.2一个n阶方阵A若有n个不同的特征值，则A一定可相似对角化.根据特征向量的性质：“属于不同特征值的特征向量线性无关”知,若A有n个不同的特征值，则A必有n个线性无关的特征向量，因此A可以对角化.有重特征值的方阵A，有可能可对角化，也有可能不可对角化.方阵A能否对角化,关键在于属于多重特征值的线性无关特征向量的个数.45Thm4.8

设为n阶方阵A的r重特征值，则属于的线性无关的特征向量最多只有r个.证：设A有t个属于的线性无关的特征向量我们可以寻找到另外n-t个向量使得向量组线性无关(这是一定能做到的).令则P是可逆矩阵，且有显然，是后面一个矩阵的特征值，且重数至少为t,由于相似矩阵的特征值相同，因此推导见下页464748Thm4.9

n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是:A的每个特征值对应线性无关的特征向量的最大个数等于该特征的重数.推论4.3

n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是:对于A的每个重特征值，属于特征值恰有个线性无关的特征向量.结论01

n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是:对于A的每个重特征值，矩阵的秩为49例2.2设,问x为何值时,矩阵A可相似对角化.(教材P123,例1)解：显然-1是A的单特征值，1是A的二重特征值.对于特征值-1，一定有即有一个线性无关的特征向量属于-1.对于特征值1，由于所以只有当x=0时，才有这时有两个线性无关的特征向量属于1；由以上讨论知，当x=0时，方阵A可相似对角化.50方阵相似对角化的步骤：(依据Thm4.7的充分性证明)(1)求方阵A的特征值；(2)对应于每个特征值,求属于的线性无关的特征向量,并判断线性无关的特征向量的个数是否等于的重数；(3)若在(2)中求得的线性无关的特征向量的个数等于A的阶数，记线性无关的特征向量构成的矩阵为P；(4)写出对角阵，注意，P的第j列是属于的第j个对角元的特征向量.51例2.3设，求一个可逆矩阵P，使得为对角阵.(教材P124，例2)解：所以A的特征值为对应于特征值2，求(2E-A)X=0的基础解系，得属于2的线性无关的特征向量对应于特征值1，求(E-A)X=0的基础解系，得属于1的线性无关的特征向量记则有52三、方阵相似对角化的应用例2.4设，求(例2.3续)解：53例2.5(人口流动问题)设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流向城市，假定人口总数不变，那么经过多少年后，全国人口将会集中在城市？(教材P125，例3)解：设最初城市和农村人口分别为，第m年末城市和农村人口分别为，则依此推得记下面将A相似对角化，A的特征多项式为所以A的特征值为54它们对应的特征向量分别是令得因而有于是可得因此55显然当时，即当时，城市与农村人口之比为，趋于稳定的分布状态.56§4.3实对称矩阵的相似对角化对称矩阵作为一种特殊矩阵，具有很多独特的性质，有十分广泛的应用，在本节介绍对称矩阵的相似对角化问题：将证明对称矩阵一定可以相似合同对角化.乘积称为对A施行合同变换.一、向量的内积和向量的正交化二、正交矩阵与正交变换三、实对称矩阵特征值和特征向量的性质四、实对称矩阵的相似对角化57一、向量的内积和向量的正交化n元实向量的内积Def4.4

两个n元实向量记实数则称为与内积.根据内积的定义和矩阵乘法的定义有58内积的基本性质：(1)(2)(3)(4)当且仅当时，(5)(6)59向量的长度Def4.5

设，记则称为n元实向量的长度(或模).60Thm4.10

任意两个n元实向量，恒有等号成立当且仅当线性相关.(柯西不等式)向量的长度，具有下述性质:(1)非负性(2)齐次性(3)三角不等式长度为1的向量称为单位向量.是单位向量，这一过程称为将向量单位化(或标准化)61正交向量Def4.6

设两个n元实非零向量，记称为的夹角.Def4.7

设是两个n元实向量，若，则称与正交(或互相垂直)，记作.显然，零向量与任何向量都正交,两个非零向量正交当且仅当这两个非零向量夹角为62Def4.8

一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组叫做正交的单位向量组(或标准正交向量组、规范正交向量组).是规范正交向量组Thm4.11

n元向量组是两两正交非零向量组，则必线性无关.63证:设有数，使得用左乘上式，得因为所以必有同理可推知必有故由此可知线性无关.64现在提出两个问题：对于给定的正交向量组，能否扩充向量，使得它变成一个含有更多向量的正交向量组?对于给定的线性无关的向量组，能否找到一个与它等价的正交向量组？65例3.1已知三元向量试求一个非零向量，使得成为正交向量组.解:容易验证与正交，因此只要求出的与都正交即可.是方程组的非零解.记解方程组由于得方程组AX=0的一个非零解取则就是正交向量组.66施密特(Schimidt)正交化方法Thm4.12

设是一个n元线性无关向量组，令得是一个正交向量组，且与原向量组等价；再将它们单位化即可得原向量组等价的标准正交向量组.6768例3.2用施密特正交化方法将如下向量组化为标准正交向量组.解:显然线性无关，先将它们正交化，令69再将单位化，得标准正交向量组：70二、正交矩阵与正交变换Def4.9

设有n阶实矩阵A，如果，则称A为正交矩阵.Thm4.13

设A,B为n阶正交矩阵，则(1)(2)(3)也是n阶正交矩阵.Thm4.14

方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列(或行)向量组是标准向量组.71例如矩阵可以验证A是正交阵.显然可以看出，A的列向量组是标准正交向量组，A的行向量组也是标准正交向量组.72Def4.10

设U为正交阵，则线性变换称为正交变换.正交变换保持向量的长度不变.这是因为73§4.3实对称矩阵的相似对角化对称矩阵作为一种特殊矩阵，具有很多独特的性质，有十分广泛的应用，在本节介绍对称矩阵的相似对角化问题：将证明对称矩阵一定可以相似合同对角化.乘积称为对A施行合同变换.一、向量的内积和向量的正交化二、正交矩阵与正交变换三、实对称矩阵特征值和特征向量的性质四、实对称矩阵的相似对角化74三、实对称矩阵特征值和特征向量的性质Thm4.15

实对称矩阵的特征值为实数.证：设A是一个n阶实对称矩阵，是A的特征值，是A的属于的特征向量.实对称矩阵的特征向量可以取为实向量.75Thm4.16

实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交.证：设是A的两个不同的特征值，它们对应的特征向量分别是76Thm4.17

设A为n阶实对称矩阵，是A的r重特征值，则A的属于特征值的线性无关特征向量恰有r个.(矩阵的秩为).此结论对于非实对称矩阵不一定成立.77四、实对称矩阵的相似对角化Thm4.18

对于任意一个n