第3章图像信号的正交变换1

数字图像处理

DigitalImageProcessing

2第3章图像信号的正交变换

主要介绍DFT和DCT以及数字图像信号的正交基表示3第3章图像信号的正交变换3.1离散傅立叶变换3.2离散余弦变换3.3数字图像信号的正交基表示3.4沃尔什变换和哈达玛变换4上节知识点回顾一、图像取样后频谱：二、菱形亚采样三、量化四、分辨率和灰度值五、数字图像表示53.1离散傅立叶变换人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。问题提出：但有些处理在时域上达不到理想要求63.1离散傅立叶变换许多问题在频域中讨论时，便于分析。例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性。7893.1离散傅立叶变换信号处理方法通常有两类：时域分析法(空域)和频域分析法；在频域中最为关键的预处理是变换处理，变换应该是线性的，且是可逆的并满足一定的正交条件；

信号变换方法：经典的傅立叶变换、K-L变换、沃尔什变换、哈达玛变换、余弦变换以及小波变换等10图像变换的前提条件：★首先，提出的变换必须是有好处的，换句话说，可以解决时域中解决不了的问题。

★其次，变换必须是可逆的，可以通过逆变换还原回原时域中。11

定义：设{f(n)｜n=0,…,N-1}为一维信号的N个抽样，其离散傅立叶变换及其逆变换分别为：一、一维离散傅立叶变换DFT12

离散傅立叶变换对的时域函数和频域函数都是周期函数，且是由样点数N决定，但和连续变换对有一定误差，减小采样间隔可以使得离散和连续傅立叶变换等价。一、一维离散傅立叶变换DFT13二、二维离散傅立叶变换DFT

数字图像信号是二维的数字信号，必须采用二维傅立叶变换才能够实现对图像的频域变换。

14二、二维离散傅立叶变换DFT15二维傅立叶变换作用：1.可得出信号在各个频率点上的强度；2.可将卷积运算化为乘积运算。16在DFT变换对中，F(u,v)称为离散信号f(x,y)的频谱，而|F(u,v)|称为幅度谱，φ(u,v)为相位谱，它们之间的关系为：

17(1)变换的可分离性

二维DFT的性质18

引入极坐标：

x=rcosθ,y=rsinθ=>u=ωcosφ

v=ω

sinφ则f(x,y)和F(u,v)分别表示为f(r,θ)和F(ω,φ)f(r,θ+θ0)←→F(ω,φ+θ0)(2)旋转不变性19注意观察对应关系20yN-1N-1f(x,y)0xN-1N-1F(x,v)0xN-1N-1F(u,v)0u行变换列变换vv(3)二维DFT的实现21(3)二维DFT的实现转置

f(x,y)F列［f(x,y)］=F(u,y)－F(u,y)Ｔ

转置

F列［F(u,y)Ｔ］=F(u,v)Ｔ－

F(u,v)回顾：FFT算法图示回顾：性质列表连续傅立叶变换性质离散傅立叶变换x(t)+y(t)←→X(f)+Y(f)线性x(k)+y(k)←→X(n)+Y(n)H(t)←→h(-f)对称性1/N·H(k)←→h(-n)h(t-t0)←→H(f)exp(-j2πft0)

时间域平移H(k-i)←→H(n)exp(-j2πni/N)

h(t)exp(j2πf0t)←→H(f-f0)频率域位移h(k)exp(j2πik/N)←→H(n-i)he(t)←→Re(f)

偶函数he(k)←→Re(n)ho(t)←→jIo(f)

奇函数ho(k)←→jIo(n)h(t)=he(t)+ho(t)奇偶分解H(k)=he(k)+ho(k)y(t)=x(τ)*h(t-τ)

卷积Σx(i)h(k-i)=x(k)*h(k)x(t)*h(t)←→X(f)H(f)时域卷积定理x(k)*h(k)←→X(n)H(n)y(t)=x()h(t+)d=x(t)☉h(t)相关x(i)h(k+i)=x(k)☉h(k)x(t)h(t)←→X(f)*H(f)频率卷积定理x(k)h(k)←→1/N•X(n)*H(n)|H(f)|2df巴什瓦定理|H(n)|224傅立叶性质小结：1、傅立叶变换是线性积分变换，在时间（或空间）域的复数函数和频率域的复数函数间建立起唯一对应。2、傅立叶变换保持奇偶性。3、函数和的傅立叶变换等于它们分别变换再求和（加法定理）。4、平移函数的原点将在傅立叶谱中引入一个相位移（与频率成正比），它改变了谱的实部和虚部的能量分配，但不改变总能量（位移定理）。25傅立叶性质小结：5、两个函数的卷积对应于它们傅立叶变换相乘（卷积定理）。6、压缩一个函数会扩展它的傅立叶变换，反之亦然（尺度变换定理）。7、函数的能量同其傅立叶变换谱的能量相等。8、能量有限的输入信号可被分解为有限多个正余弦函数的和差。9、旋转二维函数，它的傅立叶变换也旋转相同的角度。10、自相关函数的傅立叶变换是能量谱。26二维DFT变换实例二维图像及其傅立叶幅度谱27二维DFT变换实例傅立叶变换幅度谱及其重建28傅立叶变换相位谱及其重建29二维DFT变换的应用1、用于图像滤波：

DFT变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。可在DFT变换图中选择所需的高频或低频滤波。2、用于图像压缩

变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值(小波变换没有提出前用来进行压缩编码）。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往将高频系数置为0，骗过人眼。3、用于计算卷积如果抽象来看，可以认为图像信息经过了滤波器的滤波（如平滑滤波、锐化滤波等）。如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可能的。DFT可将卷积运算转换为点乘运算，由此简化运算提高计算速度。30313.3离散余弦变换问题提出：DFT变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍；收敛速度慢。希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换.323.3离散余弦变换一、一维DCT

基本思想将一个实函数对称延拓成一个实偶函数，因为实偶函数的傅立叶变换也必然是实偶函数，连续函数和离散函数的余弦变换都是基于这一原理。

012…..N-1

xf(x)x-1/2-(N-1)……-1/2-1-1/201/21/2+1……1/2+N-1

g(x)

偶函数延拓33给定实信号序列{f(x)|x=0,1,…,N-1}，可以按下式将其延拓为偶对称序列

34对G(x)求2N点的一维DFT有：进行变量替换，令y=-x,并仍以x表示：353637

将N点的f(x)偶延拓后形成2N点的实偶函数，其DFT也是一个2N点的实偶函数，然而实际有效信息只有一半，所以各取时域和频域的一半作为一种新的变换――离散余弦变换（DCT）。

DCT的本质仍是DFT，f(t)的DCT结果所表现出来的频域特征本质上是和DFT所反映的频域特征是相同的。

38对于N点的离散DCT变换对应于上述2N点的离散DFT有效信息的一半，即一维DCT为39其逆变换为：40二、二维DCT

定义正变换为：41

定义逆变换为：42二维DCT的正反变换的变换核都相同，且是可分离的

:43变换的本质是选用不同的基函数，用基函数的不同线性组合来表示图像的坐标变量。离散余弦变换基函数45由于DCT相当于对带有中心偏移的偶函数进行二维DFT，因此，其谱域与DFT相差一倍。对于DCT，位置（0,0）处对应信号直流系数，(N-1,N-1)对应于信号高频系数，而同阶的DFT中，位置(N/2,N/2)处对应于信号的高频系数。二维DCT的频谱分布的特点：46DCT与DFT频谱的区别(N-1)/2(a)DFTN-10(N-1)/2N-1uv(N-1)/20（N-1)/2N-1N-1(b)DCTuv47DCT变换4849DCT变换实例I=imread(‘Billsface.tif’);I=im2double(I);T=dctmtx(8);B=blkproc(I,[8,8],’p1*x*p2’,T,T);Mask=[11110000;11100000;11000000;10000000;00000000;00000000;00000000;