第2章控制系统的数学模型及其转换108

第2章控制系统的数学模型及其转换(1)

利用MATLAB描述在控制系统中常见的几种数学模型；(2)

利用MATLAB实现任意数学模型之间的相互转换；(3)

利用MATLAB求解系统经过串联、并联和反馈连接后的系统模型；(4)

利用MATLAB获取一些典型系统的模型；(5)

利用MATLAB实现连续系统的离散化和离散系统的

连续化，以及离散模型按另一采样周期的重新离散化；(6)

利用MATLAB求取系统的特性函数。

本章内容1控制系统计算机仿真是建立在控制系统数学模型基础之上的一门技术。需对系统进行仿真，首先应该知道系统的数学模型，然后才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得原系统的响应达到预期的效果。22.1线性系统数学模型的基本描述方法2.1.1传递函数

传递函数在MATLAB下可以方便的由其分子和分母多项式系数所构成的两个向量唯一确定出来。即num=[b0

b1…bm];den=[1a1a2…an]3例2-1若给定系统的传递函数为

解

可以将其用下列MATLAB语句表示>>num=[612610];den=[12311];>>printsys(num,den)执行结果为num/den=4

当传递函数的分子或分母由若干个多项式乘积表示时，它可由MATLAB提供的多项式乘法运算函数conv()来处理，以便获得分子和分母多项式向量，此函数的调用格式为

c=conv(a,b)其中a和b分别为由两个多项式系数构成的向量，而c为a和b多项式的乘积多项式系数向量。conv()函数的调用是允许多级嵌套的。5例2-2若给定系统的传递函数为解

则可以将其用下列MATLAB语句表示>>num=4*conv([12],[166])>>den=conv([10],conv([11],conv([11],conv([11],[1325]))))6它是一个m×r矩阵函数，即其中各元素都是标量函数，它表征第个输入对第个输出的传递关系。7对具有r个输入和m个输出的多变量系统，可把m×r的传递函数阵G(s)写成和单变量系统传递函数相类似的形式，即

(2-5)式中B0,B1,…,Bn均为m×r实常数矩阵，分母多项式为该传递函数阵的特征多项式。

在MATLAB控制系统工具箱中，提供了表示单输入多输出系统的表示方法，即

num=[B0B1…Bn];den=[1a1

a2

…an]其中分子系数包含在矩阵num中，num行数与输出y的维数一致，每行对应一个输出，den是行向量,为传递函数阵公分母多项式系数。8例2-3对于单输入2输出系统

解则可将其用下列MATLAB语句表示>>num=[0032;1025];den=[3521];92.1.2零极点增益形式

单输入单输出系统的零极点模型可表示为

式中zj(j=1,2,…,m)和pi(i=1,2,…,n)称为系统的零点和极点，它们既可以为实数又可以为复数，而K称为系统的增益。在MATLAB下零极点模型可以由增益K和零、极点所构成的列向量唯一确定出来。即

Z=[z1;z2;…;zm];

P=[p1;p2;…;pn]10例2_4解：ex2_4.m>>K=[3;4];Z=[-12-1;inf-2];P=[-3;-4;-5];11

对于单输入多输出系统：

列向量P中储存为系统的极点；

零点储存在矩阵Z的列中；

Z的列数等于输出向量的维数，每列对应一个输出；对应增益则在列向量K中。12MATLAB工具箱中的函数poly()和roots()可用来实现多项式和零极点间的转换，例如在命令窗口中进行如下操作可实现互相转换。>>P=[1352];>>R=roots(P)

R=-1.2267+1.4677i-1.2267-1.4677i-0.5466>>P1=poly(R)

P1=1.00003.00005.00002.0000132.1.3部分分式形式

传递函数也可表示成部分分式或留数形式，即

(2-8)式中pi(i=1,2,…,n)为该系统的n个极点，与零极点形式的n个极点是一致的，ri

(i=1,2,…,n)是对应各极点的留数；h(s)则表示传递函数分子多项式除以分母多项式的余式，若分子多项式阶次与分母多项式相等，h(s)为标量；若分子多项式阶次小于分母多项式，该项不存在。

在MATLAB下它也可由系统的极点、留数和余式系数所构成的向量唯一确定出来，即

P=[p1;p2;…;pn];R=[r1;r2;…;rn]；H=[h0

h1…hm-n]142.1.4状态空间表达式

设线性定常连续系统的状态空间表达式为

(2-9)式中A:n×n；B:n×r；C:m×n；D:m×r如果传递函数（阵）各元素为严格真有理分式，则D＝0，此时上式可写为(2-10)它们可分别简记为Σ(A,B,C,D)和Σ(A,B,C)15例2-5设系统的状态空间表达式为

解此系统可由下面的MATLAB语句唯一地表示出来>>A=[001;-3/2-2-1/2;-30-4];B=[11;-1-1;-1-3];C=[100;010];D=zeros(2,2);162.2系统数学模型间的相互转换2.2.1状态空间表达式到传递函数的转换在MATLAB控制系统工具箱中，给出一个根据状态空间表达式求取系统传递函数的函数ss2tf()，其调用格式为

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu).其中A,B,C,D为状态空间形式的各系数矩阵，iu为输入的代号，即用来指定第几个输入，对于单变量系统iu=1，对多变量系统，不能用此函数一次地求出对所有输入信号的整个传递函数阵。而必须对各个输入信号逐个地求取传递函数子矩阵，最后获得整个的传递函数矩阵。17

例2-6对于例2-5中给出的多变量系统，可以由下面的命令分别对各个输入信号求取传递函数向量，然后求出这个传递函数阵。解:

利用下列MATLAB语句>>[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1)num1=01.00005.00006.00000-1.0000-5.0000-6.0000den1=1611618>>[num2,den2]=ss2tf(A,B,C,D,2)num2=01.00003.00002.0000

0-1.0000-4.0000-3.0000den2=16116则可得系统的传递函数阵192.2.2状态空间形式到零极点形式的转换MATLAB函数ss2zp()的调用格式为

[Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D,iu)其中A,B,C,D为状态空间形式的各系数矩阵，iu为输入的代号，对于单变量系统iu＝1，对于多变量系统iu表示要求的输入序号，返回量列矩阵P储存传递函数的极点，而零点储存在矩阵Z中，Z的列数等于输出y的维数，每列对应一个输出，对应增益则在列向量K中。20例2_7对于例2_5的状态空间表达式模型，试根据以上函数求取系统的传递函数矩阵。解利用下列MATLAB语句>>[Z1P1K1]=ss2zp(A,B,C,D,1)[Z2P2K2]=ss2zp(A,B,C,D,2)212.2.3传递函数到状态空间表达式的转换

如果已知系统的传递函数模型，求取系统状态空间表达式的过程又称为系统的实现。由于状态变量可以任意地选取，所以实现的方法并不是唯一的，这里只介绍一种比较常用的实现方法。对于单输入多输出系统22适当地选择系统的状态变量，则系统的状态空间表达式可以写成

(2-16)

在MATLAB控制系统工具箱中称这种方法为能控标准型实现方法，并给出了直接实现函数，该函数的调用格式为[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)其中num的每一行为相应于某输出的按s的降幂顺序排列的分子系数，其行数为输出的个数，行向量den为按s的降幂顺序排列的公分母系数。返回量A,B,C,D为状态空间形式的各系数矩阵。232.2.4传递函数形式到零极点形式的转换

MATLAB函数tf2zp()的调用格式为

[Z,P,K]=tf2zp(num,den)2.2.5零极点形式到状态空间表达式的转换

MATLAB函数zp2ss()的调用格式为[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K)2.2.6零极点形式到传递函数形式的转换

MATLAB函数zp2tf()的调用格式为

[num,den]=zp2tf(Z,P,K)242.2.7传递函数形式与部分分式间的相互转换

MATLAB的转换函数residue()调用格式为[R,P,H]=residue(num,den)或[num,den]=residue(R,P,H)其中，列向量P为传递函数的极点，对应各极点的留数在列向量R中，行向量H为原传递函数中剩余部分的系数，num,den分别为传递函数的分子分母系数。252.2.8相似变换

由于状态变量选择的非唯一性，系统传递函数的实现不是唯一的，即系统的状态空间表达式也不是唯一的，在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将状态空间表达式化成相应的几种标准形式。MATLAB控制系统工具箱给出了一个直接完成线性变换的函数ss2ss()，该函数的调用格式为

通过上式不仅可求得系统的各种标准型实现，也可利用系统的结构分解来求取系统的最小实现。26另外利用MATLAB控制系统工具箱提供的minreal()函数可直接求出一个给定系统状态空间表达式的最小实现，该函数的调用格式为

[Am

,Bm

,Cm

,Dm]=minreal(A,B,C,D,tol)其中A,B,C,D为原状态空间表达式的各系数矩阵，而tol为用户任意指定的误差限，如果省略此参数，则会自动地取作eps。而Am

,Bm

,Cm

,Dm为最小实现的状态空间表达式的各系数矩阵。27最小实现是一种模型的实现，它消除了模型中过多的或不必要的状态，对传递函数或零极点增益模型，这等价于将可彼此对消的零极点对进行对消。利用MATLAB控制系统工具箱提供的minreal()函数可直接求出一个给定系统状态空间表达式的最小实现，该函数的调用格式为[Am,Bm,Cm,Dm]=minreal(A,B,C,D,tol)[zm,pm]=minreal(z,p)[numm,denm]=minreal(num,den)其中

A,B,C,D为原状态空间表达式的各系数矩阵，而tol为用户任意指定的误差限，如果省略此参数，则会自动地取作eps。而Am,Bm,Cm,Dm为最小实现的状态空间表达式的各系数矩阵。

2.2.9最小实现28例2-12已知系统的状态空间表达式为求出系统最小实现的状态空间表达式的各系数矩阵。解利用下列MATLAB语句>>A=[-5800;-4700;0004;00-26];B=[4;-2;2;1];>>C=[2-2-22];D=0;>>[Am,Bm,Cm,Dm]=minreal(A,B,C,D)29结果显示

2statesremovedAm=-1.00000.0000-0.00002.0000Bm=4.24262.2361Cm=2.8284-0.8944Dm=030如果原系统模型由传递函数形式num,den给出，则可以直接调用minreal()函数来获得零极点对消最小实现的传递函数NUMm,DENm这里的调用格式为[NUMm,DENm]=minreal(num,den,tol)例2-13对于例2-12中给出的状态空间表达式，可以容易地得出系统的传递函数，然后由传递函数直接进行最小实现运算。解利用下列MATLAB语句>>A=[-5800;-4700;0004;00-26];>>B=[4;-2;2;1];C=[2-2-22];D=0;>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)>>[NUMm,DENm]=minreal(num,den)31结果显示num=010.0000-96.0000302.0000-312.0000den=1-8172-242pole-zeroscancelledNUMm=0.000010.0000-26.0000DENm=1.0000-1.0000-2.0000则可得出零极点对消后的传递函数322.3系统模型的连接

在一般情况下，控制系统常常由若干个环节通过串联、并联和反馈连接的方式而组成，对在各种连接模式下的系统能够进行分析就需要对系统的模型进行适当的处理,在MATLAB的控制系统工具箱中提供了大量的对控制系统的简单模型进行连接的函数。332.3.1串联连接

在MATLAB的控制系统工具箱中提供了系统的串联连接处理函数series()，它既可处理由状态方程表示的系统，也可处理由传递函数阵表示的单输入多输出系统，其调用格式为

[A,B,C,D]=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)和[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)342.3.2并联连接在MATLAB的控制系统工具箱中提供了系统的并联连接处理函数parallel()，该函数的调用格式为

[A,B,C,D]=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)和

[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)其中前一式用来处理由状态方程表示的系统，后一式仅用来处理由传递函数阵表示的单输入多输出系统。352.3.3反馈连接在MATLAB的控制系统工具箱中提供了系统反馈连接处理函数feedback(),其调用格式为

[A,,C,D]=feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,sign)和[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)其中前一式用来处理由状态方程表示的系统，后一式用来处理由传递函数表示的系统，sign为反馈极性，对于正反馈sign取1，对负反馈取-1或缺省。36例2_16对如下两个系统求如图2.5所示方式连接的闭环传递函数37特别地，对于单位反馈系统，MATLAB提供了更简单的处理函数cloop()，其调用格式为[A,B,C,D]=cloop(A1,B1,C1,D1,sign)和[num,den]=cloop(num1,den1,sign)[A,B,C,D]=cloop(A1,B1,C1,D1,outputs,inputs)其中

第三式表示将指定的输出outputs反馈到指定的输入inputs,以此构成闭环系统,outputs指定反馈的输出序号，inputs指定输入反馈序号。

38

例2-17已知系统的方框图如图2-7所示，求系统的传递函数。39解

MATLAB语句如下所示ex2_17.m结果显示num/den=402.3.4将状态增广到状态空间系统的输出中

利用MATLAB的augstate()函数，其调用格式为[Ab,Bb,Cb,Db]=augstate(A,B,C,D)其中（A,B,C,D)为原系统的系数矩阵，(Ab,Bb,Cb,Db)为状态增广后系统的系数矩阵。412.3.5系统的组合MATLAB的组合函数append()的调用格式为

[A,B,C,D]=append(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)422.3.6.根据框图建模利用connect()函数，可以根据系统的方框图按指定方式求取系统模型，其函数调用格式为[A1,B1,C1,D1]=connect(A,B,C,D,Q,inputs,outputs)其中

（A,B,C,D）为由函数append()生成的无连接对角方块系统的状态空间模型系数矩阵；Q矩阵用于指定系统（A,B,C,D）的内部连接关系，Ｑ矩阵的每一行对应于一个有连接关系的输入，其第一个元素为输入编号，其后为连接该输入的输出编号，如采用负连接，则以负值表示；inputs和outputs用于指定系统（A1,B1,C1,D1）的输入和输出的编号；（A1,B1,C1,D1）为在指定输入和输出并按要求的内部连接关系下所生成的系统。

4344454647

2.3.7化简系统在MATLAB中使用ssselect()函数，可根据系统指定的输入和输出产生一个子系统，其函数调用格式为[A1,B1,C1,D1]=ssselect(A,B,C,D,inputs,outputs)或[A1,B1,C1,D1]=ssselect(A,B,C,D,inputs,outputs,states)其中（A,B,C,D）为给定的状态空间模型系数矩阵，inputs和outputs用于指定作为子系统的输入和输出的编号，states用于指定作为子系统的状态的编号。

482.4典型系统的生成1.建立二阶系统模型可利用MATLAB所提供的函数ord2()来建立，其调用格式为[num,den]=ord2(ωn,ζ)或[A,B,C,D]=ord2(ωn,ζ)例2_19>>[numden]=ord2(2.4,0.4)492.具有纯时延系统的padè近似

[num,den]=pade(,n)%对具有时延的系统产生n阶padè逼近；

pade((,n)%对具有时延的系统绘制n阶padè逼近的阶跃响

例2_20建立一个具有0.1s时延的n阶pade逼近

>>[numden]=pade(0.1,3)

pade(0.1,3)

503建立随机n阶模型[A,B,C,D]=rmodel(n)%可得到一个单变量n阶稳定系统模型；[A,B,C,D]=rmodel(n,m,r)%可得到一个r输入m输出的随机n阶稳定模型；[num,den]=rmodel(n)%可得到一个单变量系统的随机n阶稳定模型；[num,den]=rmodel(n,m)%可得到一个单输入m输出的随机n阶稳定模型；drmodel()%可得到稳定的离散时间随机模型。51例2-21生成一个3输入2输出的3阶随机稳定连续系统模型。>>[ABCD]=rmodel(3,2,3)结果显示注释：随机模型，每次结果不同522.5系统的离散化和连续化1.连续系统的离散化在采样周期T下离散化后的状态空间表达式可表示为

53在MATLAB中若已知连续系统的状态模型Σ(A,B)和采样周期T，便可利用函数[G,H]=c2d(A,B,T)方便地求得系统离散化后的系数矩阵G和H。例将例2-21的连续模型离散化对具有输入纯延时τ的连续时间状态系统。(2-24)在采样周期T下离散后的状态空间表达式也可表示为54相应地MATLAB的转换函数c2dt()的调用格式为[G,H,Cd,Dd]=c2dt(A,B,C,D,T,τ)或[G,H,C,D]=c2dm(A,B,C,D,T,‘选项’)

[numd,dend]=c2dm(num,den,T,‘选项’)55式中

选项如表2-5中所示，num,den为连续系统传递函数的分子分母系数，numd,dend为离散化后脉冲传递函数的分子分母系数，其余参数定义同前。可见此函数即可用于状态空间形式又可用于传递函数。

表2-5离散化变换方式选项选项说明Zoh假设输入端加一个采样开关和零阶保持器Foh假设输入端加一个采样开关和一阶保持器。Tustin采用双线性变换（Tustin算法）方法Prewarp采用改进的Tustin变换方法Matched采用SISO系统的零极点匹配法56例2-22对连续系统在

T＝0.1时离散化。解：可对系统按3种方法进行离散化>>K=6;Z=-3;P=[-1-2-5]';T=0.1;[ABCD]=zp2ss(Z,P,K)[G1H1]=c2d(A,B,T)[G2H2C2D2]=c2dm(A,B,C,D,T,'zoh')[G3H3C3D3]=c2dm(A,B,C,D,T,'foh')572.离散函数的连续化在MATLAB中也提供了从离散化系统转换为连续系统各系数矩阵求取的功能函数，其调用格式分别如下

[A,B]=d2c(G,H,T)或[A,B,C,D]=d2cm(G,H,C,D,T,’选项’)其中选项见表2-5。

583.离散时间系统重采样在MATLAB中也提供了将系统离散化后模型按另一采样周期重新离散化的功能函数，其调用格式如下sys1=d2d(sys,T)或sys1=d2c(sys,[],N)其中

第一式将离散时间LTI对象sys（关于LTI对象的定义见第十章）重采样，从而构成新的离散时间系统sys1，采样周期为T，单位秒。该调用等价于命令：sys1=c2d(d2c(sys,T))。第二式给离散时间LTI对象sys将加入输入延时。输入延时必须是采样周期的整数倍，它由N给出。如果N为标量，则各输入通道具有相同的输入延时；如果N为向量，则分别定义各输入通道的输入延时。

59例2-23

离散时间系统在T=0.1时为

现将以上系统在T=0.05时进行重新采样。解：>>K=1;Z=0.7;P=0.5;T=0.1;>>sys=zpk(Z,P,K,T)>>T1=0.05;sys1=d2d(sys,T1)离散时间系统的连续化sys=tf([1-0.7],[1-0.5],0.1)sys1=d2c(sys)602.6系统的特性值

在分析控制系统的时候，经常用到系统的一些特性函数，如系统的增益、阻尼系数和自然频率等等，MATLAB的控制系统工具箱中提供了相应的函数用来计算系统的特性函数，如表2-6所示。

函数名功能damp()求系统的阻尼系数和自然频率ddamp()求离散系统的阻尼系数和自然频率dcgain()求连续控制系统的