第2章(下)静电场20140923

电磁场理论

——第2章（下）：静电场耿军平副教授电信学院，电子系，现代天线研究中心电院楼群1－522Email:gengjunp@Tel:342046632014.09.262静电场静电场基本方程电位和电位方程电介质中的电场静电场的边界条件静电场导体系统中的电容静电场边值问题的解法静电场的能量、能量密度和电场力静电场基本方程在电荷的周围存在电场相对于观察者静止的、且其电量分布不随时间变化的电荷所引起的电场，称为静电场4静电场基本方程（2）说明：

静电场是无旋场，满足能量守恒定律，电力线不闭合静电场是无旋场，场源是静止电荷

5静电场静电场基本方程电位和电位方程电介质中的电场静电场的边界条件静电场导体系统中的电容静电场边值问题的解法静电场的能量、能量密度和电场力6

如果设电位的参考点在无限远处，那么真空中一个点电荷在离它r远处的电位为：单位正电荷从无穷远处移到该位置时，外力克服电场力所做的功。电位或7电位－电压8无旋性点电荷Q多个点电荷电位（续）9体电荷面电荷线电荷电位（续）10电位方程Poisson方程是一个二阶偏微分方程，它适用于二阶导数存在的空间上的每一点▽2称为拉普拉斯算符，它代表“梯度的散度”从基本方程推出Poisson方程，不一定可逆Poisson方程11电位方程（续）Laplace方程：没有自由电荷的区域Laplace方程12例2.122说明：线电荷的电场高斯定理：l无限长，上下底面电场有进有出，每个面上抵消，只剩侧面需要考虑

14解法一：任选P0点为电位参考点1516解法二：高斯定理：l无限长，上下底面电场有进有出，每个面上抵消，只剩侧面需要考虑

171819例3.2已知：两块无限大导体平板位于x＝0、a处，电位分别0和V0，导体板间体电荷密度分布

ρ＝ρ0x/a求：导体板间电位和电场分布2021例3.2—特例已知：两块无限大导体平板位于x＝0、d处，电位分别0和V0，求：导体板间电位和电场分布

例3.2—特例23静电场静电场基本方程电位和电位方程电介质中的电场静电场的边界条件静电场导体系统中的电容静电场边值问题的解法静电场的能量、能量密度和电场力24电偶极子的电位、电场强度电偶极子:相距一小段距离的一对等值异号的电荷，称为电偶极子P点的电位等于两个点电荷电位的叠加2526对于一个电偶极子，通常用电偶极矩p来表征，简称电矩p=qd,d的方向，由负电荷指向正电荷

aR是电偶极子指向场点的单位矢量27球坐标系下E在

φ方向是等值同心圆，所以对φ的导数为02829电偶极子电场分布特点：电场强度随R3减小，即当R增大时，电偶极子的电场比点电荷减小得更快。因为在远处正负电荷的电场接近互相抵消具有轴对称性。30电介质中的电场理想的电介质不包含自由电荷，但在电场中放入电介质会使电场变化 因为电介质的分子在电场作用下发生极化现象，介质中出现了电偶极子，电偶极子的电场叠加于原来的电场之上，使得电场发生变化。31电介质中的电场（续）电介质的分子可以分成两类，非极性分子和极性分子非极性分子，如H2，分子内所有正电荷的作用中心和负电荷的作用中心是重合的极性分子，如H2O，分子内正负电荷中心不重合，每个分子都具有电偶极子的性质，只是由于分子热运动，使合成电偶极矩为零，对外宏观电效应相互抵消而不呈现带电现象。32电介质中的电场（续）不同电偶极子的电偶极矩方向是任意的不规则的无外电场作用，电介质所有分子的合成电偶极矩为零，对外不呈现带电现象。外电场作用下， 非极性分子的正负电荷的作用中心发生相对位移， 极性分子的电矩发生转向，这时它们的合成电偶极矩矢量和便不再为零。这种境况，称为电介质的极化， 前者称为位移极化， 后者称为取向极化。331)位移极化，非极性分子的正负电荷的作用中心发生相对位移

2)取向极化极性分子的电矩发生转向

3)总之，在外电场的作用下，非极性分子还是极性分子都将形成电偶极子电场而对外呈现带电现象，影响原来的电场分布。34电介质中的电场（续）极化强度矢量35电介质中的电场（续）注：极化强度矢量P是电偶极矩的体密度，它反映了电介质单位体积内分子电偶极矩的矢量和。对线性，各向同性媒质，极化强度正比于电场强度为无量纲的量，称为电介质的极化率

36电介质中的电场（续）注：若电介质是均匀的，则与空间坐标无关,可得通量的密度37电介质中的电场（续）注：实际上，只有在晶体结构高度对称的物质中，P才取外加电场的方向。一般物质中是一个并矢，对应的介电常数也是一个并矢。

38εr是个无量纲的常数，称为媒质的相对电容率或相对介电常数。它反映了电介质的极化对电场的影响。ε为媒质的绝对介电常数，其单位为法拉每米εr可以是空间坐标的函数。若εr与位置无关，则媒质为均匀媒质。线性、均匀、各向同性媒质称为简单媒质。简单媒质的相对介电常数εr是一个常数。39电介质中的电场（续）介质极化的宏观效应除了可以用电介质的介电常数来表示外，还可以用等效电偶极子来代替。用等效电偶极子定量分析电介质极化对外加电场的影响，关键在于计算出由极化产生的等效电偶极子的电场。40电介质中的电场（续）体积元dv‘电偶极矩为，它产生的电位注：带撇的坐标表示源点的位置，用不带撇的坐标表示场点的位置41电介质中的电场（续）在电介质的体积v‘内进行积分，就可以得到极化电介质产生的电位注：带撇的坐标表示源点的位置，用不带撇的坐标表示场点的位置

其中R是从体积元到固定场点的距离，在笛卡尔坐标中 42由矢量分析恒等式和散度定理电介质中的电场（续）其中a’n为电介质表面面积元ds’的外法线单位矢量43an和▽的撇号已略去

(3-37)

从式(3-37)可以看出，在计算电场时，极化电介质对外电场的影响也可以从和来等效。和有时也称为束缚电荷密度，以表示与自由电荷的区别。电介质中的电场（续）等效极化面电荷密度等效极化体电荷密度44从高斯定理理解

介质中电荷：自由电荷＋束缚电荷束缚电荷以电偶极子形式出现，在闭合区域内电偶极子正负电荷电量等值反号，使得该区域内电偶极子的总电量为0所以D的散度为自由电荷密度（加0）但在外加电场作用下，电偶极子的电矩对外依然显示极化强度，这种作用可用等效的束缚电荷来表征自由电荷＋束缚电荷共同产生介质中的总电场45从高斯定理理解

——介质中电荷：自由电荷＋束缚电荷共同产生介质中的总电场461）简单媒质中，是常数2）各向异性媒质中，是并矢3）的含义——介质极化3）E很大，使电子脱离分子时，介质被击穿说明47静电场静电场基本方程电位和电位方程电介质中的电场静电场的边界条件静电场导体系统中的电容静电场边值问题的解法静电场的能量、能量密度和电场力48静电场的边界条件——D、E静电场的边界条件对于两种理想介质之间的分界面，介质电导率为0切向分量法向分量49静电场的边界条件——D、E理想介质(1)和理想导体(2)的分界面，

E2＝0，D2＝0求解D的一个途径静电场的边界条件——V两媒质界面处电位处处连续表明：若交界面上存在自由电荷，电位导数不连续5152理想媒质分界面53静电场静电场基本方程电位和电位方程电介质中的电场静电场的边界条件静电场导体系统中的电容静电场边值问题的解法静电场的能量、能量密度和电场力静电导体系统中的电容——导体大量自由电荷导体内电场存在，使自由电荷宏观运动导体处于静电平衡状态时，内部电场为0；内部电位相同（内部为等位体，导体面为等位面）；电荷只分布在导体表面静电感应，感应电荷55静电导体系统中的电容——电容孤立导体电容器决定于孤立导体的形状56例3.3已知：同轴线，内外半径a、b，内外导体间填充介质，内外导体间电压U0，外导体接地求：1）内外导体间电位分布；

2）内导体表面上的面电荷密度；

3）单位长度的电容57Laplace方程5859也可以参照第二章的例题问题模型61E的分布62导体电位63介质电位64D的分布65能量密度66静电场静电场基本方程电位和电位方程电介质中的电场静电场的边界条件静电场导体系统中的电容静电场边值问题的解法静电场的能量、能量密度和电场力67静电场边值问题的解法第一类边值（Dirichlet）问题：已知全部边界上电位分布，如导体表面上的电位分布；第二类边值问题（Neumann）问题：已知边界上电位的法向分布，如导体表面上的电荷分布；第三类边值问题，又称混合边值（Robbin）问题：已知部分边界上的电位分布及另一部分边界上电位的法向导数。说明：对上述任一边值问题，满足边界条件的电位Poisson方程和Laplace方程的解是唯一的68静电场边值问题的解法（续）分离变量法

直角坐标系 圆柱坐标系镜像法

接地平面附近的点电荷 线电荷 导体球与点电荷复变函数法有限差分法69直角坐标系中分离变量法Laplace方程

设70直角坐标系中分离变量法若所有x，y，z均满足71直角坐标系中分离变量法（续）分离常数/本征值72直角坐标系中分离变量法（续）常微分方程求解kx＝0,通解73直角坐标系中分离变量法（续）k2x>0,kx＝k实数，通解无限区域有限区域本征函数本征函数74直角坐标系中分离变量法（续）k2x<0,kx纯虚数，

k2x=-k2,

k>0无限区域有限区域75直角坐标系中分离变量法（续）二维情形：k2x>0,k2y<0,|kx|=|ky|=k>076直角坐标系中分离变量法（续）级数形式kn为不同的本征值，正实数77直角坐标系中分离变量法（续）凡是分离常数为实数时，对应解为三角函数形式；凡是分离常数为虚数时，对应解为双曲函数形式；78例3.4已知：横截面为矩形的长金属盒，四条棱线处均有无穷小的缝隙，使四个边壁相互绝缘，边壁上的电位分布如图。求：金属盒内电位分布。798081一实，一虚只有ky取正实数才能满足边界条件，y方向解为正弦或余弦函数ky取正实数？82838485圆柱坐标系中分离变量法Laplace方程与z有关，与Φ、r无关86圆柱坐标系中分离变量法（续）k2z＝0时k2z＝k2>0,k>0时k2z＝(jk)2<0,k>0时87圆柱坐标系中分离变量法（续）k2z＝(jk)2<0,k>0时Laplace方程分离常数分离常数p,实数88圆柱坐标系中分离变量法（续）实数p＝0时实数p≠0时解与前面的方程类似实际问题中，位函数V在场域空间是单值函数，是方位角坐标的周期函数，p应为正实数89圆柱坐标系中分离变量法（续）p＝m时k=0,m=0时，一维方程，通解k=0时，拉氏方程变为欧拉（Euler）方程：通解：带参数k的贝塞尔（Bessel）方程90圆柱坐标系中分离变量法（续）k≠0时，方程通解圆柱坐标系下，电位V的Laplace方程的通解：（kz=jk，p=m）第一类m阶贝塞尔函数第二类m阶贝塞尔函数纽曼（Niumann）函数919293例3.5已知：半径a，高h的中空金属圆罐；罐底与圆柱面罐壁相连，电位为0；罐盖与罐壁间有很小的缝隙使两者绝缘；罐盖电位V0。求：罐内电位及电场分布。9495969798镜象法

电荷置于导体交界面附近地面或导体的影响——感应电荷感应电荷分布复杂镜像法的条件：原电荷为点电荷、线电荷等简单分布导体（或介质）交界面形状较为简单99镜象法（续）

间接求解边值问题方法保持边界条件不变的情况下，将边界移去，在待求场域外部的适当位置上放置一些镜像（等效）电荷100镜象法（续）

将求解有边界的边值问题转换为求解无边界问题唯一性定理要求：原电荷和边界上感应面电荷在待求区域内某点的电位，可由原电荷和镜像电荷在该点产生的电位的叠加代替适用于：静电场、静磁场、部分天线问题；导体边界、介质边界101镜象法(续)——平面导体的镜像102边值问题：镜象法(续)——平面导体的镜像（除q所在点外的区域）（导板及无穷远处）（S为包围

q的闭合面）103镜象法(续)——平面导体的镜像104上半场域边值问题：镜象法(续)——平面导体的镜像（除q所在点外的区域）（导板及无穷远处）（S为包围

q的闭合面）105

用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。

镜像电荷的分布不唯一!!!镜象法(续)——平面导体的镜像106例3-6

求空气中一个点电荷q在地面引起的感应电荷分布情况点电荷q在地面引起的感应电荷的分布pD107108π/2角形区域的镜像电荷的分布109π/3角形区域的镜像电荷的分布110说明：无限大平面相交构成π/n区域，n为正整数，镜像电荷总数（2n－1）个所有镜像电荷位于同一个圆上，圆心在角形边界顶点n不为正整数时，镜像无限多个，镜像法不适用，可用复变函数求解对于线电荷，可看成由无限个连续分布的点电荷组成，再用点电荷镜像的方法处理111镜象法(续)——两种不同介质中的点电荷和线电荷问题点电荷对无限大介质分界面的镜像第一媒质第二媒质112边值问题：(下半空间)(除q点外的上半空间)和113说明揭示了镜像法的核心：“等效”一种介质中的电荷必然在另一介质中引起感应电荷对原始电荷如此，对镜像电荷也如此所有电荷遵循场的唯一性原理，边界条件不变所有电荷遵循基本原理镜像法的本质就是满足原有条件的等效镜像电荷就是等效的假想集中电荷分布电荷等效为集中电荷镜像电荷等效于第二媒质及其域内和界面上的感应电荷114镜像法（续）线电荷的镜像(类比）图：存在两种介质时线电荷的镜像第一媒质第二媒质115镜像法（续）讨论点电荷对金属球面的镜像问题图金属球面的镜像问题116镜像法（续）金属球接地时的镜像法设金属球的球心离点电荷所在处为d，则原来的电场中的电位函数应满足的条件是：除点电荷所在处外，到处都有，以及在金属球面上V=0。117118镜像法（续）119等位面既然是球面，则电位必与θ无关，即与cosθ无关，因而上式左边两项必须分别为零

120

这说明，如果两个点电荷的电量和位置满足式所表达的关系，则在电场中就有一个半径为的球面是零电位的等位面。121由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为点电荷位于接地导体球附近的场图镜像电荷等于负的感应电荷122如果金属球不接地，原先又不带电，则必须同时考虑正负两部分感应电荷的作用。这时球外任意点的场，可以根据下图所示三个点电荷来计算。

镜像法（续）图金属球不接地时的镜像法说明：加入＋q“前，球面已是等位面，加入后，为保持球面为等位面，＋q“须放置在球心123例3.7

试计算不接地金属球附近放置一点电荷q时的电场分布

图点电荷对不接地金属球的镜像说明：加入＋q‘前，球面已是等位面，加入后，为保持球面为等位面，＋q’须放置在球心124125126例3－8（p.72,例3.6)无限大接地导体平面上有一半径为a的半球形导体凸块，附近有一点电荷Q，求其镜像电荷127128129镜像法——导体球腔与金属球接地时类似则原来的电场中的电位函数应满足的条件是：除点电荷所在处外，到处都有，以及在金属球面上V=0。130例3－9一偏心电缆线，内导体半径为a，外导体半径为b，两几何轴线间距离为D，求两等效电轴的位置。131132133镜像法——导体圆柱（接地）与平行线电荷（例3－10）134问题转化为求两个平行的等值异号线电荷的电位和电场135136由正弦定理：137138利用类似球形边界的分析方法，不难求出镜像线电荷镜像线电荷与圆柱轴线的偏心距离为镜像线电荷取代了圆柱形导电体，把问题简化为求两条平行的等值异号线电荷的电位和电场139推论：两个无限长平行带电圆柱导体，可以由两个平行的线电荷代替140镜像法（续）镜像电荷或电流的解是否是唯一的？镜像法求解过程是否可逆？141镜像法引申——等效原理研究有限空间区域：

感兴趣区域不感兴趣区域等效等效源感兴趣区域142等效时，确保全部边界条件得到满足；等效源可在感兴趣区域之外或边界上；等效源的构成方法不唯一；如果两种不同性质的源能在所研究区域内给出同样的解（在这个区域之外可能会给出不同的解），则称它们等效。说明143静电场静电场基本方程电位和电位方程电介质中的电场静电场的边界条件静电场导体系统中的电容静电场边值问题的解法静电场的能量、能量密度和电场力144静电场的能量、能量密度汤姆逊定理：导电物体上建立电场E的电荷，须分布得使能量函数We为最小。最小位能原理145静电场的能量、能量密度（续）区域Ω无电场3个点电荷Q1、Q2、Q3在无穷远处首先考虑离散点电荷系统146把Q1从无穷远处缓慢地移进Ω内p1点，克服电场力做功We1＝0Q1在Ω内建立电位分布Q2从无穷远处缓慢地移进Ω内p2点，克服电场力做功We2＝Q2Φ21外力做的总功为

We＝We1＋We2＝0＋Q2Φ21Φ

21为p1处电荷在p2处产生的电位电位参考点在无穷远处147把3个点电荷从无穷远处缓慢地移到p1，p2，p3处外力做功

We＝We1＋We2＋We3

＝0＋Q2Φ21＋Q3Φ31＋Q3Φ32

＝Q2Φ21＋Q3（Φ31＋Φ32）148逆序重新移3个电荷Q3，Q2，Q1到p3，p2，p1，外力做功为

We＝W3＋W2＋W1

＝0＋Q2Φ23＋Q1（Φ13＋Φ12）

两次外力做功相等149两次做功叠加：

2We＝Q1（Φ12＋Φ13）＋

Q2（Φ21＋Φ23）＋Q3（Φ31＋Φ32）令：

Φ1＝Φ12＋Φ13：p2、p3处的Q2、Q3在p1处产生的电位

Φ2＝Φ21＋Φ23：p1、p3处的Q1、Q3在p2处产生的电位

Φ3＝Φ31＋Φ32：p1、p2处的Q1、Q2在p3处产生的电位

归纳法离散点电荷系统：区域Ω包含n个点电荷150区域Ω包含连续分布体电荷和面电荷(2.221)(2.222)151R→∞

，无穷远处电位为0，R→∞，包含了源作用的所有能量

为以面电荷分布的第i个带电导体表面上的电荷量；