波动光学习题分析教学内容

波动光学习题分析17、2在劳埃镜实验中，将屏P靠近平面镜M的右边缘L点放置，如图所示。已知单色光源S的波长为λ=720nm，求平面镜右边缘L到第一条明纹的距离。20cm30cmML2mm分析：其计算方法和杨氏双缝干涉雷同，需要注意的是由于在反射时的半波损失，在L点将出现暗纹。解答：d=20cml=30cmMLD=2mm劳埃镜干涉条纹间距为：从L点到第一级明纹，间距为半条纹间距，择有：空气空气nS●ABCd17-3如图所示，由光源S发出的λ=600nm的单色光，自空气射入折射率n=1·23的一层透明物质，再射入空气。若透明物质的厚度为d=1·0cm，入射角θ=300，且SA=BC=5·0cm，求：（1）折射角θ1

为多少？（2）此单色光在这层透明物质里的频率、速度和波长各为多少？（3）S

到C

的几何路程为多少？光程又为多少？分析：考察对光学部分的概念的理解。解：（1）由折射定律可得折射角（2）此单色光在透明介质中的速度波长：频率：（3）S到C的几何路程为:=0·111mS到C的光程为:=0·114m空气空气nS●ABCd17-4一双缝装置的一个缝被折射率为n1=1.40的薄玻璃片所遮盖,另一个缝被折射率为n2=1.70的薄玻璃片所遮盖.在玻璃片插入以后,屏上原来的中央极大所在点,现变为第五级明纹，假定=480nm,且两玻璃片厚度均为d,求d.12o分析：由于放置了玻璃片，两狭缝到O点的光程不再相同，其差值为：根据题意，此光程差为入射波长的5倍！解答：两缝所发光到O点的光程差为：可得：17、5如图所示，用白光照射厚度为d=400nm的薄膜，若膜的折射率n2=1.40，且n1>n2>n3，问反射光中那种波长的光得到加强？n1n2n3dλ分析：要使反射光得到加强，两反射光的光程差应为波长的整数倍，而且还应注意半波损失现象。解答：由于n1>n2>n3，两反射光皆无半波损失现象，两反射光的光程差为：令其为波长的整数倍，得到:对k取不同的值加以讨论。当k取2时，有:当k取其他值时，波长均超出可见光范围。17-6若膜的厚度为d=350nm，且n1>n2<n3，问:(1)、反射光中那几种波长的光得到加强？(2)、透射光中那几种波长的光会消失？分析：在n1>n2<n3的情况下，两反射光的光程差为：另外，当反射加强时，透射对应消失。解答：由于n1>n2<n3，两反射光之一存在半波损失现象，两反射光的光程差为：令其为波长的整数倍，得到:对k取不同的值加以讨论。当k取2时，有:当k取其他值时，波长均超出可见光范围。同样，对于透射消失的波长也为：17-7在折射率n3=1.52的照相机镜头表面涂有一层折射率n2=1.38的MgF2增透膜,若此膜仅适用于波长=550nm的光,则此膜的最小厚度为多少?解：因为，所以反射光经历两次半波损失。反射光相干相消的条件是：代入k=0和n2

求得：分析：波膜等倾干涉问题，当两反射光光程相差为半波长的奇数倍时，反射光相消，而且要注意半波损失现象。17-8图中S1和S2是两个点状、同相、相距4.0m的波源，设二者的发射功率相等，都发射波长为1m的电磁波，若一检波器沿OX的方向由S1向右移动，问发现几个信号最强点，这些点距离S1点多远？4.0mOy/mx/mS1S2分析：所谓的信号最强点，指的是两波源所发射的波列在该点干涉加强；根据干涉加强的条件，能使两波的波程差为δ(x)=kλ的那些点为信号加强点。解答：两波源到x轴上任一点的波程为：两者的光程差为：令其为波长的整数倍，解方程得:当k取0、1、2、3、4时，对应x分别取：x=∞、7.5m，3.0m，1.17m，0m这些位置。由于球面波振幅和半径成反比，所以在无穷远点，信号为零，信号加强点共有四个。17-9如图所示,利用空气劈尖测细丝直径,已知=589.3nm,L=2.88810-2m,测得30条条纹的总宽度为4.29510-3m,求细丝直径d.L=2.88810-2m分析：相邻两明纹处劈尖的厚度差为光在劈尖介质中波长的1/2劈尖角度很小解如果看到全部条纹数目N细丝直径d为：17-10如图所示，将符合标准的轴承钢珠a、b和待测钢珠c一起放在两个平板玻璃之间，若入射光的波长λ=580nm，问钢珠c的直径比标准小多少？dabc分析：是一个典型的劈尖干涉问题，对于劈尖干涉，相邻明纹或暗纹的厚度差为：数一下图中待测钢珠和标准钢珠之间相差几个间隔，乘以相邻明、暗纹的厚度茶即可得两者之间的差距。解答：对于劈尖干涉，相邻两明、暗纹对应的劈尖厚度差为：n为劈尖的折射率。本题中，a、c对应条纹的级数差为k=7。所以，两者的直径差，即对应劈尖的厚度差为：17-11如图（a）所示的干涉膨胀仪，已知样品的平均高度为3·0×10-2

m，用λ=589·3nm的单色光垂直照射，当温度由170C上升到300C时，看到有20条条纹移过，问样品的热膨胀系数α为多少？Δll(a)分析：劈尖干涉问题，移过某一固定观察点的条纹数目N与Δl

的关系为Δl=Nλ/2，解：由题意知，移动的条纹数N=20，由分析可得热膨胀系数α17-12在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中,当用波长为589.3nm的钠黄光垂直照射时,测得第一和第四暗环的距离为r=4.010-3m,当用波长未知的单色光垂直照射时,测得第一和第四暗环的距离为r`=3.8510-3m,求该单色光的波长.分析：暗干涉条纹的半径为：k=0对应牛顿环中心的暗斑,k=1和k=4对应第一和第四暗环。解：设未知波长为λ’，把数据代入的：未知波长为546nm。17-13用波长λ=589.3nm的钠黄光观察牛顿环，测得某一明环的半径为：r1=1.0×10-3m，而其外第四个明环的半径为r2=3.0×10-3m，求平凸透镜凸面的曲率半径。分析：考察牛顿环干涉中条纹半径公式，明纹半径公式为：其中，R为曲率半径，k为条纹级次，λ为入射光波长。解答：设两条明纹的级次分别是k、k+4，有;求解得：17-14在牛顿环实验中，当透镜与玻璃间充满某种液体时．第10个亮环的直径由1.40x10-2m变为1.27×10-2

m，试求这种液体的折射率．分析：当透镜与平板玻璃之间充满某种液体(n2>1),且满足n1>n2<n3或n1<n2>n3时，在厚度为d的地方，两相干光的光程差为Δ=2n2d+λ/2。由此可推导出牛顿环暗环半径和明环半径，必须指出，若介质不均匀或分析的是透射光而不是反射光，那么关于暗环、明环的公式与教材中的公式是不同的。解：当透镜与玻璃之间为空气时，K级明纹的直径为当透镜与玻璃之间为液体时，K级明纹的直径为解得17-15在牛顿环实验中．透镜的曲率半径R=40cm，用单色光垂直照射，在反射光中观察某一级暗环的半径r=2.5mm.现把子扳玻璃向下平移d0=5.0μm．上述被观察暗环的半径变为何值?分析：在平板向下平移后，牛顿环中的空气膜的厚度整体增厚。由等厚干涉原理可知，所有条纹向中间收缩，原来被观察的K级暗纹的半径变小。本题应该首先推导平板玻璃向下平移d0后，牛顿环的暗环半径公式，再结合平板玻璃未平移前的暗环半径公式即可以解得本题结果解：平板玻璃未平移前，被观察的K级暗纹的半径为平板玻璃向下平移后，反射光的光程差为由相消条件可得K级暗纹的半径为解方程得，K级暗纹的半径变为17-16有三个半径分别为R1、R2和R3的凸球玻璃表面．让它们两两(R1与R2、R2与R3、R2与R1)相对地接触(如图所示)形成牛顿环．用λ=546.1nm的单色光垂直照射，测得这三种组合的第25个亮环的半径r分别为8.696mm、9.444mm和10.268mm,求这三个

凸面的半径各为多少?分析：本题应该从等厚干涉的基本原理和几何关系分析，图中r1=r2同时应该注意以下几点:(1)在三种组合中对应k=25的亮环的空气膜厚度分别为d1=d11+d21,d2=d22+d32,d3=d33+d13(2)由几何关系知dij和rj和Ri之间满足dij≈rj2/2Ri(3)不论哪种组合，对应k=25的亮环均满足Δ=2d+λ/2，则d1=d2=d3=d=(25-0.5)λ/2=6.69×10-6m解：由上述分析知，三种组合下第25级亮环的空气膜厚度为又d1=d2=d3=d=(25-0.5)λ/2=6.69×10-6m解以上四式可得：R1=13m,,R2=10m,,R3=20m17-17折射率n＝1.40的薄膜放入迈克尔逊干涉仪的一臂，如果由此产生了7.0条条纹的移动，求膜厚。设入射光的波长为589nm分析：迈克耳逊干涉仪中的干涉现象可以等效为薄膜干涉和劈尖干涉两种情况，本题属于后一种情况，在干涉仪一臂中插入介质片后，两束相干光的光程差改变了，相当于在观察者的视野中的空气劈尖的厚度改变了，从而引起干涉条纹的移动解：插入厚度为d的介质片后，两相干光的光程差的改变量为2(n-1)d,从而引起N条条纹的移动，根据劈尖干涉加强的条件有2(n-1)d=Nλ，得：17-18迈克耳孙干涉仪中的反射镜MI以匀速v平移．用透镜将干涉条纹会聚到光电元件上，把光强的变化转换为电讯号．若测得电讯号变化频率为ν，求入射光的波长λ．分析：由于干涉仪一臂的平移，使得从迈克尔孙干涉仪中射出的两相干光之间的光程差发生变化，从时刻t到t+Δt时刻，其变化量为Δ2-Δ1=2vΔt，由干涉相长条件Δ2=k2λ和Δ=k1λ可得2vΔt=(k2-k1)λ式中(k2-k1)可以理解为在Δt时间内光电元件上感受的干涉相长的变化次数，转变为电讯号后，(k2-k1)/Δt即为电讯号的变化频率，由以上关系可以求得入射光的波长解：由分析知则入射光的波长为讨论：由上述计算可知，光程差变化将引起干涉条纹的级数的变化，且二者同步。17-19

如图所示，狭缝的宽度b=0·60mm，透镜焦距f=0·40m，有一与狭缝平行的屏放置在透镜焦平面处。若以单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O为x=1·4mm处的点P，看到的是衍射明条纹，试求：（1）该入射波的波长；（2）点P条纹的级数；（3）从点P看来对该光波而言，狭缝处的波阵面可作半波带的数目。分析：单缝衍射中的明纹条件为在观察点P确定（即φ确定）后，由于

k只能取整数值，故满足上式的λ只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围LbxPOfφ（下一页）可确定入射光波长的取值。此外，如点P处的明纹级次为

k，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2k+1），它们都与观察点P有关，φ越大，可以划分的半波带数目也越大。解：（1）透镜到屏的距离为d，由于d>>b,对点P而言，有sinφ≈x/d。根据单缝衍射明纹条件bsinφ=（2k+1）λ/2，有将b、d（d≈f）、x的值代入，并考虑可见光的上、下极限有λmin=400nm时，kmax=4·75，λmax=760nm时，kmin=2·27因k只能取整数，故在可见光范围内只允许有k=4和k=3，它们所对应的入射光波长分别为λ2=466·7nm和λ1=600nm。（2）点P的条纹级次随入射光波长而异，当λ1=600nm时，k=3,半波带数目为（2k+1）=7；当λ2=466·7nm时，k=4,（3）当λ1=600nm时，k=3,半波带数目为（2k+1）=7；当λ2=466·7nm时，k=4,半波带数目为9。17-20单缝的宽度b=0.40mm，以波长λ＝589nm的单色光垂直照射,设透镜的焦距f＝1.0m．求：(1)第一级暗纹距中心的距离；(2)第二级明纹距中心的距离；*(3)如单色光U入射角i＝300斜射到单缝上．则上述结果有何变动．解：由单缝衍射的暗纹条件则第一级暗纹距中心的距离为（2）明纹条件则第二级明纹距中心的距离为17-21一单色平行光垂直照射于一单缝,若其第三条明纹位置正好和波长为600nm的单色光入射时的第二级明纹位置一样.求前一种单色光的波长.由衍射明纹条件解LbxPOfφ

T17-22已知单缝宽度b=1·0×10-4m，透镜焦距f=0·50m，用λ1=400nm和λ2=760nm的单色平行光分别垂直照射，求这两种光的第一级明纹离屏中心的距离。若用每厘米刻有1000条刻线的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明纹分别距屏中心多远？这两条明纹之间的距离又是多少？

λ解：（1）当光垂直照射单缝时，屏上第k级明纹的位置当λ1=400nm和k=1时，x1=3·0×10-3m当λ2=760nm和k=1时，x2=5·7×10-3m其条纹间距Δx=x2–x1=2·7×10-3m（2）当光垂直照射光栅时，屏上第k级明纹的位置为而光栅常数d=10-2/10-3m当λ1=400nm和k=1时，x’1=2×10-2m；。当λ2=760nm和k=1时，x’2=3·8×10-2m。其条纹间距Δx’=x2’–x1’=1·8×10-2m讨论：通过计算可以发现，使用光栅后，比用单缝的条纹要远离屏中心，条纹间距也变大，这是光栅的特点之一。。（下一页）17-23迎面而来的两辆汽车的车头灯相距为1.0m,问在汽车离人多远时,它们刚能为人眼所分辨?设瞳孔直径为3.0mm,光在空气中的波长=500nm.解人眼的最小分辨角当a,b两灯对眼睛的张角1大于等于人眼的最小分辨角时能分辨.17-24为了测定一个给定光栅的光栅常数,用=632.8nm的单色平行光垂直照射光栅,已知第一级明条纹出现在380的方向上,试问这光栅的光栅常数为多少?第二级明条纹出现在什么角度?若使用这光栅对某单色光进行同样的衍射试验,测得第一级明条纹出现在270的方向上,问这单色光的波长为多少?对这单色光,最多可看到第几级明条纹?解由光栅方程可得光栅常数k=2时,2/d>1,第二级明条纹不存在若用另一种波长的光照射此光栅,因第一级明纹出现在270的方向上,若用另一种波长的光照射此光栅,因第一级明纹出现在270的方向上,可得用此波长光照射时,屏上出现的最大条纹级次为因k只能取整数,则km=2,故最多只能看到第二级明纹.对这单色光,最多可看到第几级明条纹?17-25、用1.0nm内有500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱（=589nm），设透镜焦距f=1.00m。问：（1）光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱；（2）光线以入射角300入射时，最多能看到第几级光谱;(3)若用白光垂直照射光栅,求第一级光谱的线宽度.分析:(1)首先确定光栅常数,式中N为刻痕数,然后由光线垂直照射光栅时的衍射条件,既可解得结果.(2)如同光线倾斜入射单缝一样,此时光栅衍射的明文条件改变为,由于两侧条纹不再对称,令,可求得km1和km2两个值,其中一个比垂直入射时的km值小,另一个比km值大,因而,在其他条件不变的情况下,倾斜入射时可以观察到较高级次的条纹.（3）用白光照射光栅，除中央明纹仍为白光外，其余出现一系列光谱带，称为光栅光谱。每个光谱带是由同一级次不同波长的明纹依次排列而成。所谓第一级光谱的线宽度是指入射光中最小波长（取min=400nm）和最大波长（取max=760nm)的第一级明纹在屏上的间距。其余波长的第一级明纹均出现在此范围内。对于较高级次的光谱会出现相邻光谱间的交错重叠想象。解：（1）光波垂直入射时，光栅衍射明纹的条件为令可得取整数km=3,即最多能看到第三级光谱。（2）倾斜入射时，光栅明纹的条件是令可得位于中央主极大两侧，能观察到条纹的最大km值分别为km1=5和km2=1（已取整数值）。故在法线两侧能观察到的最大级次分别为五级和一级。（3）白光的波长范围为400nm—760nm，用白光垂直照射时，由和，可得第一级（k=1）光谱在屏上的位置。对应于1=400nm和2=760nm的明纹的位置分别为则第一级光谱的线宽度为本题考察的知识点为光栅光谱17-26、一双缝的间距d=0.01mm，每个透光缝宽b=0.020mm,透镜焦距f=50cm，现用=480nm平行单色光垂直照射双缝，求：（1）屏上干涉条纹的间距；（2）单缝衍射的中央明纹的宽度；（3）在单缝衍射的中央包线内有多少条明纹？分析：求解中注意1、本题应视为一个N=2的光栅或叫双缝衍射。2、光栅衍射实际上可看成多光束干涉与单缝衍射的一种综合效应。其中明条纹的位置由光栅方程决定，但各明纹的强度受单缝衍射效应的调制，透射光能量的大部分将分布在原单缝衍射中央明纹范围（中央包线）内的各明纹上。3、光栅明纹位置由决定。单缝衍射极小位置由决定，当时，光栅明纹位置和衍射极小位置重合，该级明纹将不存在，称之为缺级，此时有如为一整数，则，称规则性缺级，而可决定单缝中央包线的边界，因而可通过缺级计算求出单缝中央包线内的条纹数。解：将本题视为双缝衍射（1）相邻条纹间距（2）单缝衍射中央明纹的宽度（3）由于故k=5,10,15,…时缺级，其中K=5恰为中央包线的边界，故中央包线内呈现的条纹级数为共有9条。本题考察双缝及单缝衍射的知识。17-27、在如图所示的X射线衍射实验中，入射X射线不是单色的，而是含有从0.095nm到0.13nm这一范围内的各种波长。设晶体的晶格常数d=0.275nm，试问对图示的晶面能否产生强反射？450d入射X射线分析:X射线入射到晶体上,干涉加强条件为其中k=0,1,2,…在晶格常数d和掠射角（注意不是入射角）确定的情况下，并不是任意波长的X射线均能产生强反射。本题应结合入射X射线波长范围为1=0.095nm到2=0.13nm这一条件，先求满足上式的k值的取值范围，然后确定k值及相对应的波长。解：由公式以及入射X射线的波长范围，可得满足上式的k的取值范围为代入有关数据后，可得2.99<k<4.09，由于k为整数，故只能取3和4，它们对应的波长为即只有波长为0.097nm和0.13nm的两种X射线能产生强反射。本题考察晶体衍射中反射强度与晶格常数、入射光波长及入射角的关系17-28测得从一池水的表面反射出来的太阳光是线偏振光,求此时太阳处在地平线的多大仰角处?(水的折射率为1.33)is解17-29使自然光通过两个偏振化方向相交600的偏振片,透射光强为I1,今在这两个偏振片之间插入另一偏振片它的方向与前两个偏振片均成30o角,则透射光强为多少?解:入射光通过偏振片I和II后,透射光强为插入偏振片III后,其透射光强为..P1P3300I2..........600P1P2P1I0I1S17-30一束光是自然光和线偏振光的混合,当它通过一偏振片时发现透射光的强度取决于偏振片的取向,其强度可以变化5倍,求入射光中两种光的强度各占总入射光强度的几分之几.解:设入射混合光强为I,其中线偏振光强为xI,自然光强为(1-x)