定积分的概念与性质-公开课资料讲解

5.1定积分(jīfēn)的概念与性质

第五章第一页，共26页。新课引入?

我们以前学过一些图形面积的计算，请大家回想一下，你学过哪些图形的面积公式？正方形、矩形(jǔxíng)、三角形、梯形、圆、扇形等。规则(guīzé)图形第二页，共26页。?不规则图形(túxíng)的面积你会求吗？如山东省的面积、济南市的面积、大明湖的面积……下图的面积(miànjī)你会求吗？同学们听说过曹冲称象的故事吗？古代没有那么大的秤，曹冲是怎样秤出大象(dàxiànɡ)的体重的？

我们可不可以把这个不规则的图形分割以后一块一块地求？第三页，共26页。用两组互相(hùxiāng)垂直的平行线分割这个图形：中间这些矩形的面积容易(róngyì)求出，边界处的图形中有一条边为曲边，所以面积不容易(róngyì)求.我们(wǒmen)把边界处的图形叫作曲边梯形.第四页，共26页。由连续(liánxù)曲线所围的平面图形(túxíng)称为曲边梯形。与三条(sāntiáo)直线如何求曲边梯形的面积？用矩形面积近似取代曲边梯形面积基本思路:第五页，共26页。如何(rúhé)才能使这种近似代取更精确？当曲边梯形(tīxíng)的底边趋近于零时,矩形面积无限(wúxiàn)地趋近于曲边梯形的面积求曲边梯形的具体方法:1.将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形2.在每个小曲边梯形的底边上作一个矩形近似代取小的曲边梯形第六页，共26页。1.曲边梯形(tīxíng)的面积(1)分割(fēngē)在区间(qūjiān)[a,b]内,任意插入

n–1个分点(2)近似把区间[a,b]分成n个小区间化整为零以直代曲第七页，共26页。(3)求和(qiúhé)(4)取极限(jíxiàn)令则2.变速(biànsù)直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在[T1,T2]内物体所经过的路程s.已知速度(1)分割将它分成在每个小段上物体经n

个小段过的路程为积零为整精确化第八页，共26页。(2)近似(jìnsì)(3)求和(qiúhé)(4)取极限(jíxiàn)上述两个问题的共性:1解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”2所求量极限结构式相同:

乘积和式的极限令

抛去几何意义和物理意义，我们把具有这两个共性的问题，用定积分来表示：第九页，共26页。5.1.2定积分(jīfēn)的定义任意(rènyì)插入n个把区间(qūjiān)[a,b]分成n个小总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数记怎样分法,f(x)在[a,b]记作分点区间令1定义作乘积并作和也不论怎样取法,如果不论[a,b]上的定积分,即设函数第十页，共26页。其中(qízhōng)—积分(jīfēn)号;—被积函数(hánshù);—

被积表达式;—

积分变量;—

积分限.注(1)叫做f(x)的积分和.的定积分存在,若f(x)在[a,b]上的称f(x)在[a,b]上可积.(2)定积分的值与积分变量的记号无关,仅与f(x)和[a,b]有关.即(3)(4)是数值.是函数,a=

b

时,第十一页，共26页。12函数的可积性如果函数f(x)在区间(qūjiān)[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在区间(qūjiān)[a,b]上可积.定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续(liánxù),则函数f(x)在区间[a,b]上可积.定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.可积的充分条件(chōnɡfēntiáojiàn)第十二页，共26页。13例用定积分表示(biǎoshì)极限解定积分(jīfēn)的定义第十三页，共26页。14

这是因为曲边梯形(tīxíng)面积曲边梯形(tīxíng)面积的负值定积分的几何(jǐhé)意义第十四页，共26页。15各部分(bùfen)面积的代数和定积分(jīfēn)的几何意义曲边梯形(tīxíng)面积曲边梯形面积的负值第十五页，共26页。16例2解oxy例1利用定积分(jīfēn)的几何意义，计算解第十六页，共26页。17三、定积分(jīfēn)的性质性质(xìngzhì)1性质(xìngzhì)2性质3注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立第十七页，共26页。18利用定积分的几何意义，可分别求出解例3第十八页，共26页。19三、定积分(jīfēn)的性质性质(xìngzhì)1性质(xìngzhì)2性质3性质4第十九页，共26页。20如果(rúguǒ)在区间[ab]上f(x)0则性质(xìngzhì)5性质(xìngzhì)6设M及m分别是函数f(x)在区间[a

b]上的最大值及最小值则推论如果在区间[a

b]上f(x)g(x)则第二十页，共26页。21如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续则在积分(jīfēn)区间[ab]上至少存在一个点x使下式成立这是因为,由性质(xìngzhì)6性质7(定积分(jīfēn)中值定理)——积分中值公式

由介值定理,至少存在一点x[a,b],使两端乘以ba即得积分中值公式.第二十一页，共26页。22注:无论从几何上,还是(háishi)从物理上,都容易(róngyì)理解平均值公式(gōngshì)求连续变量的平均值要用到.如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续则在积分区间[a

b]上至少存在一个点x

使下式成立

性质7(定积分中值定理)

——积分中值公式

第二十二页，共26页。23例3

计算(jìsuàn)从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度(s