数字信号处理-0601二十四

1第6章IIRDF的设计方法6.1引言6.2利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器

6.2.1冲激响应不变法

6.2.2双线性变换法滤波器设计就是设计H(s)\H(z),对应H(jΩ)H(ejw)6.1引言一、数字滤波器的滤波原理二、数字滤波器的分类三、性能指标四、数字滤波器设计方法概述一、数字滤波器的滤波原理DF是一种具有频率选择性的线性时不变离散时间系统，它在数字信号处理中有着广泛的应用。

输入序列x(n)，通过一个单位冲激响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为：将上式两边经过傅里叶变换，可得：

式中，Y(ejω)、X(ejω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数，H(ejω)是系统的频率响应函数。

只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H(ejω)，使得滤波后的Y(ejω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。二、数字滤波器的分类理想数字滤波器的幅频特性

1、从功能上分类2、从单位冲激响应分类无限冲激响应滤波器(IIR)

系统函数：

差分方程：有限冲激响应滤波器(FIR)

系统函数：

差分方程：FIR滤波器可以对给定的频率特性直接进行设计IIR滤波器目前最通用的方法是利用已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计。（P237例6.4.2）式中，称为幅频特性，称为相频特性。本章主要研究由幅频特性给出性能指标的滤波器的设计。三、性能指标

在进行滤波器设计时，首先需要确定其性能指标。假设数字滤波器的频率响应用下式表示：

理想滤波器在物理上是不可实现的。（由于通带和阻带之间具有突变）要物理可实现，应在通带和阻带之间设置一个过渡带，且通带内频率响应的幅值不可能严格设置为1，阻带内传输函数的幅值也不可能严格设置为0，都应该给予较小的误差容限。?h(n)非因果例：数字低通滤波器的技术指标DF设计中应给出截止频率和衰减程度通带、阻带的技术指标往往由通带允许的最大衰减阻带应达到的最小衰减给出。通带内允许的最大衰减：阻带内应达到的最小衰减：

式中均假定：，即归一化如：由于在DF中ω用rad表示，而实际上给出的频率要求往往是实际频率f（Hz），因此在DF设计中除了应给出截止频率和衰减程度外，还应给出抽样频率fs(Ts).四、数字滤波器设计方法概述

设计一个数字滤波器，大致可分为3步：（1）根据实际要求确定滤波器的性能指标。（2）用一个因果稳定的H(z)去逼近这些指标(我们)。（3）用一个有限精度的运算去实现这个H(z)。

6.2IIR滤波器的

设计设计模拟低通滤波器滤波器变换s→z频带变换z→zDesiredIIRfilter优势：技术成熟，有章可循目前IIR数字滤波器设计的最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，有完整地设计公式和图表共查询设计思想：首先按照技术指标设计一个模拟滤波器，得到模拟滤波器的系统函数，再按一定的转换关系将转换成数字滤波器的系统函数。

设计的关键问题：找出从到的转换方法。

总之：满足的基本要求：（1）的频率响应要能模仿的频率响应，即平面的虚轴必须映射到平面的单位圆上，也就是频率轴要对应。（2）因果稳定的应能映射成因果稳定的，也就是说平面的左半平面必须映射到平面单位圆的内部。

主要问题对IIR数字滤波器的相位特性没有任何控制能力.因此IIR滤波器设计仅作为幅度设计原型模拟低通滤波器：要设计IIRDF，首先要设计符合要求的模拟滤波器要设计模拟滤波器，一般都有现成的数据表格可查。模拟滤波器有各种类型而且同种类型截止频率各不相同，因而一般只给出归一化原型滤波器的设计数据。(截止频率已经归一化成1的低通滤波器。)对于其他高通、带通、带阻滤波器，可通过频率变换由归一化原型滤波器求得。?设所给的实际频率为，归一化后的频率为，对低通模拟滤波器，令巴特沃斯模拟低通滤波器阶次的确定：巴特沃斯模拟低通滤波器幅频响应的特点P222缺点是IIR数字滤波器相位非线性，且选择性越好，相位非线性越严重。与FIR数字滤波器相比，IIR数字滤波器可以用较低的阶数获得较高的选择性，而且所用存储单元少。经济效率高。IIR滤波器的设计方法有：脉冲响应不变法，双线性变换法等。IIR数字滤波器的设计：6.2.1冲激响应不变法

设计IIR滤波器

冲激响应不变法是一种时域上的转换方法，使得数字滤波器的单位冲激响应与模拟滤波器的单位冲激响应“相似”。

数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足h(n)=ha(nT)式中,T是采样周期。T—抽样周期T—抽样周期先由要求的技术指标，得到模拟滤波器的技术指标；据此设计模拟滤波器的系统函数Ha(s);根据s→z的映射关系，得到要设计的数字滤波器的系统函数H(z)?根据前面抽样定理部分：

即：数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应之间的关系为：可见，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折叠频率以内时，才不会产生频率混叠。

因此，模拟滤波器的频率特性应满足条件：

当时，

那么，

此时用冲激响应不变法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频率响应。

任何一个实际模拟滤波器的频率响应都不是严格带限的，这样就一定会发生程度不同的混叠失真。

冲激响应不变法的频率混叠现象冲激响应不变法的映射关系：

冲激响应不变法的映射关系

从图中可以得到以下结果：（1）平面上每条宽度为的水平带都重叠地映射到整个平面上。所以说平面到平面的映射不是唯一的而是多点到一点的映射。（2）映射到映射到映射到

（3）由于平面的整个左半平面都映射到平面的单位圆内，所以一个因果稳定的模拟滤波器映射为一个因果稳定的数字滤波器。

冲激响应不变法：特点1、数字角频率与模拟角频率间是线性关系2、s平面与z平面不是一一对应的，可能发生频谱混叠

3、用于对时间特性要求严格的低通滤波器设计，或模拟滤波器的频率范围满足4、冲激响应不变法不宜用于设计高通和带阻数字滤波器（高频部分会发生混叠），一般仅适合低通和带通数字滤波器的设计。

设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次，则可将展开成部分分式：相应数字滤波器的系统函数为：

冲激响应不变法一阶系统最基本的转换关系是：二阶系统最基本的转换关系是：

数字滤波器的频率响应与采样间隔成反比。当较小时，即采样频率较高时，滤波器增益就会太高。为避免这一现象，可做修正，令则有：

例：用冲激响应不变法将模拟系统函数转换成数字系统函数，令采样间隔。

解：

冲激响应不变法的优缺点：（1）优点数字滤波器的单位冲激响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，即时域特性逼近好。模拟频率和数字频率之间呈线性关系，如果不考虑频率混叠现象，用该方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性。

（2）缺点会产生频率响应的混叠现象。所以，该方法只适用于带限的模拟滤波器，如衰减特性很好的低通或带通滤波器。阻带衰减越大，则混叠效应越小。至于高通和带阻滤波器，由于其在高频部分不衰减，必定产生严重的频谱混叠现象。除非先对高通和带阻滤波器进行预滤波，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用冲激响应不变法转换为数字滤波器，当然这样会进一步增加设计复杂性。

P237-例6.4.26.2.2双线性z变换法

设计IIR滤波器

冲激响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，它的缺点是会产生频率响应的混叠失真，这是因为从s平面到z平面是多值映射的关系。为了克服这一缺点，采用双线性变换法。双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。

双线性变换法的映射关系

平面的虚轴映射到平面的单位圆是以一种一对一的方式进行的，因此，在频域不存在混叠。

平面和平面的映射关系为：

由于在双线性变换法中，到之间的变换是简单的代数关系，故可将模拟滤波器的系统函数直接转换为数字滤波器的系统函数，即：也可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数（子系统函数相加）或级联的子系统函数（子系统函数相乘），使每个子系统函数都变成低阶的，然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。

模拟角频率与数字频率之间的变换关系为：映射关系分析

平面的左半平面映射到平面的单位圆内，平面的右半平面映射到平面的单位圆外，平面的虚轴映射到平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

双线性变换法s平面与z平面的对应关系

平面的正、负虚轴分别映射到平面单位圆的上半部分（辐角为正）及下半部分（辐角为负）。频率轴是单值变换关系，时，为折叠频率。故不会有高于折叠频率的分量，避免了冲激响应不变法的频率响应混叠现象，这就是双线性变换法的最大优点。

优缺点优点：避免了频率响应的混迭现象s平面与z平面为单值变换缺点：

除了零频率附近，与之间严重非线性1）线性相位模拟滤波器非线性相位数字滤波器2）模拟滤波器的幅频响应会产生畸变结论σ<0|z|<1,σ=0|z|=1,σ

>0|z|>1整个左半平面映射到单位圆内，使稳定变换.虚轴映射到单位圆是以一对一的方式进行，不存在混叠.w

与Ω

是非线性关联

ω=2tan-1(ΩT/2)↔