高中数学人教A版3第一章计数原理排列与组合 精品

1．组合(一)[学习目标]1．理解组合及组合数的概念．2．能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．[知识链接]1．排列与组合有什么联系和区别？答排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果．2．两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？答两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何．[预习导引]1．组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．3．组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，m≤n).要点一组合概念的理解例1判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？(3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？解(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为Ceq\o\al(2,10)＝45.(2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为Ceq\o\al(2,10)＝45.(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为Ceq\o\al(3,10)＝120.(4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为Aeq\o\al(3,10)＝720.规律方法排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪演练1判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有Ceq\o\al(3,7)个．(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共写了Aeq\o\al(2,8)个电子邮件．(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有Aeq\o\al(2,4)种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有Ceq\o\al(2,4)种票价．要点二组合数公式的应用例2(1)计算：Ceq\o\al(97,99)＋Ceq\o\al(98,99)＋Ceq\o\al(99,100)；(2)求值：Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)；(3)解方程：Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18).解(1)Ceq\o\al(97,98)＋Ceq\o\al(98,99)＋Ceq\o\al(99,100)＝Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(99,100)＝Ceq\o\al(99,101)＝Ceq\o\al(2,101)＝5050；(2)由组合数定义知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤5－n≤n，,0≤9－n≤n＋1，))∴4≤n≤5，又∵n∈N*，∴n＝4或5.当n＝4时，Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)＝Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(5,5)＝5；当n＝5时，Ceq\o\al(5－n,n)＋Ceq\o\al(9－n,n＋1)＝Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝16.(3)由原方程及组合数性质可知3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－(4n－2)，∴n＝2，或n＝8，而当n＝8时，3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．因此n＝2.规律方法(1)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)，一般用于求值计算；(2)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(m，n∈N*，且m≤n)，一般用于化简证明．在具体选择公式时要根据题目特点正确选择．(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)，能起到简化运算的作用，需熟练掌握．跟踪演练2(1)计算：Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)求Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)的值；(3)证明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1).(1)解Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝4950＋200＝5150.(2)解由组合数定义知：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤38－n≤3n，,0≤3n≤21＋n.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(19,2)≤n≤38，,0≤n≤\f(21,2).))∴eq\f(19,2)≤n≤eq\f(21,2)，∵n∈N*，∴n＝10，∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝Ceq\o\al(2,30)＋Ceq\o\al(1,31)＝eq\f(30×29,2×1)＋31＝466.(3)证明eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(（n－1）！,m！（n－1－m）！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)＝Ceq\o\al(m,n).要点三组合的简单应用例3一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？解(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：第一步，从7个白球中任取4个白球，有Ceq\o\al(4,7)种取法；第二步，把1个红球取出，有Ceq\o\al(1,1)种取法．故不同取法的种数是：Ceq\o\al(4,7)·Ceq\o\al(1,1)＝Ceq\o\al(4,7)＝Ceq\o\al(3,7)＝35.(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是Ceq\o\al(5,7)＝Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(7×6,2×1)＝21.规律方法基本组合问题的解法：(1)判断是否为组合问题；(2)是否分类或分步；(3)根据组合相关知识进行求解．跟踪演练3现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第一类，选出的2名是男教师有Ceq\o\al(2,6)种方法；第二类，选出的2名是女教师有Ceq\o\al(2,4)种方法．根据分类加法原理，共有Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,6)种，从4名女教师中选2名的选法有Ceq\o\al(2,4)种，根据分步乘法计数原理，共有选法Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(种).1．已知Ceq\o\al(2,n)＝10，则n的值等于()A．10B．5C．3D．2答案B2．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中是组合问题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案C3．下列等式不正确的是()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)B．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1)D．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)答案D4．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种________种．(结果用数值表示)答案7解析设餐厅至少还需准备x种不同的素菜．由题意，得Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,x)≥200，从而有Ceq\o\al(2,x)≥20.即x(x－1)≥40.又x≥2，所以x的最小值为7.1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．关于组合数的计算：(1)涉及具体数字的可以直接用公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)计算；(3)计算时应注意利用组合数的性质Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)简化运算.一、基础达标1．下列计算结果为21的是 ()A．Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6) B．Ceq\o\al(7,7) C．Aeq\o\al(2,7) D．Ceq\o\al(2,7)答案D2．下面几个问题中属于组合问题的是 ()①由1，2，3，4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组合无重复数字的两位数的方法．A．①③ B．②④ C．①② D．①②④答案C3．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为 ()A．3 B．4 C．12 D．24答案B解析Ceq\o\al(3,4)＝4.4．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ()A．Aeq\o\al(3,10)种 B．Ceq\o\al(3,10)种C．Ceq\o\al(3,10)Aeq\o\al(3,10)种 D．30种答案B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即Ceq\o\al(3,10).5．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．答案96解析甲选2门有Ceq\o\al(2,4)种选法，乙选3门有Ceq\o\al(3,4)种选法，丙选3门有Ceq\o\al(3,4)种选法．∴共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,4)＝96(种)选法．6．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．答案70解析根据结果分类：第一类，两台甲型机，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＝30；第二类，两台乙型机，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝40.根据分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,3)＝70.7．直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解第1步，涂A区域有Ceq\o\al(1,5)种方法；第2步，涂B区域有Ceq\o\al(1,4)种方法；第3步，涂C区域和D区域；若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有Ceq\o\al(1,3)种涂法，则D区域有Ceq\o\al(1,3)种涂法．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)·(4＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3))＝260种不同的涂色方法．二、能力提升8．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有 ()A．35 B．70 C．210 D．105答案B解析先从7人中选出3人有Ceq\o\al(3,7)＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2Ceq\o\al(3,7)＝70.9．(2023·山东)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ()A．243 B．252 C．261 D．279答案B解析所有三位数的个数为9×10×10＝900.没有重复数字的三位数有Ceq\o\al(1,9)Aeq\o\al(2,9)＝648，所以有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.10．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.答案1∶2解析∵m＝Ceq\o\al(2,4)，n＝Aeq\o\al(2,4)，∴m∶n＝1∶2.11．设x∈N*，求Ceq\o\al(x－1,2x－3)＋Ceq\o\al(2x－3,x＋1)的值．解由题意可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3≥x－1，,x＋1≥2x－3，))解得2≤x≤4，∵x∈N*，∴x＝2或x＝3或x＝4.当x＝2时原式的值为4；当x＝3时原式的值为7；当x＝4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.12．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次