高中数学北师大版第三章指数函数和对数函数指数扩充及其运算性质第3章

第三章§2A级基础巩固1．如果x>y>0，则eq\f(xyyx,yyxx)等于eq\x(导学号00814613)(C)A．(x－y)eq\s\up4(\f(x,y)) B．(x－y)eq\s\up4(\f(x,y))C．(eq\f(x,y))y－x D．(eq\f(x,y))x－y[解析]原式＝xy－x·yx－y＝(eq\f(x,y))y－x.2．已知m>0，则meq\s\up4(\f(1,3))·meq\s\up4(\f(2,3))＝eq\x(导学号00814614)(A)A．m B．meq\s\up4(\f(1,3))C．1 D．meq\s\up4(\f(2,9))[解析]由于m>0，所以meq\s\up4(\f(1,3))·meq\s\up4(\f(2,3))＝meq\s\up4(\f(1,3))＋eq\s\up4(\f(2,3))＝m1＝m.3．若a>0，n、m为实数，则下列各式中正确的是eq\x(导学号00814615)(D)A．am÷an＝aeq\s\up7(\f(m,n)) B．an·am＝am·nC．(an)m＝am＋n D．1÷an＝a0－n[解析]由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确．故选D．4．计算(－eq\f(7,8))0＋(eq\f(1,8))－eq\s\up4(\f(1,3))＋eq\r(4,3－π4)的结果为eq\x(导学号00814616)(C)A．π－5 B．π－1C．π D．6－π[解析]原式＝1＋eq\f(1,\f(1,8)eq\s\up4(\f(1,3)))＋π－3＝π.5．化简eq\r(－a)·eq\r(3,a)的结果是eq\x(导学号00814617)(B)A．eq\r(5,－a2) B．－eq\r(6,－a5)C．eq\r(6,－a5) D．－eq\r(6,a5)[解析]由题意可知a≤0，则eq\r(－a)·eq\r(3,a)＝(－a)eq\s\up4(\f(1,2))·aeq\s\up4(\f(1,3))＝－(－a)eq\s\up4(\f(1,2))·(－a)eq\s\up4(\f(1,3))＝－(－a)eq\s\up7(\f(5,6))＝－eq\r(6,－a5)＝－eq\r(6,－a5).6．设函数f1(x)＝xeq\s\up4(\f(1,2))，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2023)))＝eq\f(1,2023).eq\x(导学号00814618)[解析]f1(f2(f3(2023)))＝f1(f2(20232))＝f1((20232)－1)＝((20232)－1)eq\s\up4(\f(1,2))＝2023－1＝eq\f(1,2023).7．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x－y＝\x(导学号00814619)[解析]由已知可得2x＝(23)y＋1，(32)y＝3x－9，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3y＋3＝x，,2y＝x－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝21，,y＝6.))于是x－y＝15.8．求下列各式的值eq\x(导学号00814620)(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))＋－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))－eq\s\up4(\f(2,3))－3π0＋eq\f(37,48)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(3,8)))－eq\s\up4(\f(2,3))＋－eq\s\up4(\f(1,2))－10(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0.(3)eq\r(3,xy2\r(xy－1))·eq\r(xy)·(xy)－1.[解析](1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up4(\f(1,2))＋eq\f(1,＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))－eq\s\up4(\f(2,3))－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.(2)原式＝(－1)－eq\s\up4(\f(2,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))－eq\s\up4(\f(2,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))－eq\s\up4(\f(1,2))－eq\f(10,\r(5)－2)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))－eq\s\up4(\f(2,3))＋(500)eq\s\up4(\f(1,2))－10(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9).(3)原式＝(xy2·xeq\s\up4(\f(1,2))·y－eq\s\up4(\f(1,2)))eq\s\up4(\f(1,3))·(xy)eq\s\up4(\f(1,2))·(xy)－1＝(xeq\s\up7(\f(3,2))yeq\s\up7(\f(3,2)))eq\s\up4(\f(1,3))(xy)－eq\s\up4(\f(1,2))＝(xy)eq\s\up4(\f(1,2))·(xy)－eq\s\up4(\f(1,2))＝(xy)eq\s\up4(\f(1,2))－eq\s\up4(\f(1,2))＝(xy)0＝1.9．(1)已知eq\f(3a,2)＋b＝1，求eq\f(9a·3b,\r(3a))的值.eq\x(导学号00814621)(2)化简(eq\f(1,4))－eq\s\up4(\f(1,2))·eq\f(\r(4ab－1)3,－2a3b－4eq\s\up4(\f(1,2)))(a>0，b>0)．[解析](1)eq\f(9a·3b,\r(3a))＝eq\f(32a·3b,3eq\s\up4(\f(a,2)))＝32a＋b÷3eq\s\up4(\f(a,2))＝32a＋b×3－eq\s\up4(\f(a,2))＝32a＋b－eq\s\up4(\f(a,2))＝3eq\s\up7(\f(3,2))∵eq\f(3,2)a＋b＝1，∴eq\f(9a·3b,\r(3a))＝3.(2)原式＝eq\f(4eq\s\up4(\f(1,2))·4eq\s\up7(\f(3,2)),100)·aeq\s\up7(\f(3,2))·a－eq\s\up7(\f(3,2))·b－eq\s\up7(\f(3,2))·b2＝eq\f(4,25)a0·beq\s\up4(\f(1,2))＝eq\f(4,25)beq\s\up4(\f(1,2)).B级素养提升1．(eq\r(3,\r(6,a9)))4·(eq\r(6,\r(3,a9)))4的结果是eq\x(导学号00814622)(C)A．a16 B．a8C．a4 D．a2[解析](eq\r(3,\r(6,a9)))4·(eq\r(6,\r(3,a9)))4＝(eq\r(3,aeq\s\up7(\f(3,2))))4·(eq\r(6,a3))4＝(aeq\s\up4(\f(1,2)))4·(aeq\s\up4(\f(1,2)))4＝a4.2．计算(2a－3b－eq\s\up4(\f(2,3)))·(－3a－1b)÷(4a－4b－eq\s\up4(\f(5,3)))得eq\x(导学号00814623)(A)A．－eq\f(3,2)b2 B．eq\f(3,2)b2C．－eq\f(3,2)beq\s\up7(\f(7,3)) D．eq\f(3,2)beq\s\up7(\f(7,3))[解析](2a－3b－eq\s\up4(\f(2,3)))·(－3a－1b)÷(4a－4b－eq\s\up4(\f(5,3)))＝eq\f(\f(2,a3beq\s\up4(\f(2,3)))·\f(－3b,a),\f(4,a4beq\s\up4(\f(5,3))))＝eq\f(－6beq\s\up4(\f(1,3)),a4)·eq\f(a4beq\s\up4(\f(5,3)),4)＝－eq\f(3,2)b2.3．若5x2·5x＝25y，则y的最小值是－eq\f(1,8).eq\x(导学号00814624)[解析]由5x2·5x＝25y得5x2＋x＝52y，∴2y＝x2＋x，即y＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x＝eq\f(1,2)(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(1,8)，∴当x＝－eq\f(1,2)时，y取最小值－eq\f(1,8).4．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝eq\f(1,4)，(2α)β＝2eq\s\up7(\f(1,5)).eq\x(导学号00814625)[解析]∵α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，∴α＋β＝－2，α·β＝eq\f(1,5)，∴2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq\f(1,4).(2α)β＝2αβ＝2eq\s\up7(\f(1,5)).5．已知xeq\s\up4(\f(1,2))＋x－eq\s\up4(\f(1,2))＝3，求eq\f(x2＋x－2－2,xeq\s\up7(\f(3,2))＋x－eq\s\up7(\f(3,2))－3)的值.eq\x(导学号00814626)[解析]∵xeq\s\up4(\f(1,2))＋x－eq\s\up4(\f(1,2))＝3，∴两边平方，得(xeq\s\up4(\f(1,2))＋x－eq\s\up4(\f(1,2)))2＝9，∴x＋x－1＝7.对x＋x－1＝7两边平方，得x2＋x－2＝47.将xeq\s\up4(\f(1,2))＋x－eq\s\up4(\f(1,2))＝3两边立方，得xeq\s\up7(\f(3,2))＋x－eq\s\up7(\f(3,2))＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up4(\f(1,2))＋x－eq\s\up4(\f(1,2))))＝27.即xeq\s\up7(\f(3,2))＋x－eq\s\up7(\f(3,2))＝18.∴原式＝eq\f(47－2,18－3)＝eq\f(45,15)＝3.6．化简下列各式：eq\x(导学号00814627)(1)－eq\s\up4(\f(1,3))＋×eq\r(4,2)＋(eq\r(3,2)×eq\r(3))6－eq\r(－\f(2,3)eq\s\up4(\f(2,3)))；(2)eq\f(\r(a3b2·\r(3,ab2)),\r(4,a)\r(b)4\r(3,\f(b,a)))(a＞b，b＞0)．[分析]在指数式运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式．[解析](1)原式＝(eq\f(2,3))eq\s\up4(\f(1,3))＋2eq\s\up4(\f(3,4))×2eq\s\up4(\f(1,4))＋(22×33)－(eq\f(2,3))eq\s\up4(\f(1,3))＝2eq\s\up4(\f(3,4))＋eq\s\up4(\f(1,4))＋4×27＝2＋108＝110(2)原式＝eq\f([a3b2ab2eq\s\up4(\f(1,3))]eq\s\up4(\f(1,2)),aeq\s\up4(\f(1,4))beq\s\up4(\f(1,2))4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up4(\f(1,3)))＝eq\f(aeq\s\up7(\f(3,2))bab2eq\s\up7(\f(1,6)