2022-2023学年山西大学附属中学高二年级上册学期1月期末考试 数学

山西大学附中2022—2023学年第一学期高二年级1月阶段测试数学试题考察时间：120分钟满分：150分考查内容：解析几何导数单选题（每小题5分，共40分）1．抛物线的焦点坐标为（

）A．B．C．D．2．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．3．已知函数，则（

）A．2 B．1 C．0 D．4．某放射性同位素在衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该同位素的含量.已知时，该同位素含量的瞬时变化率为，则（

）A．24贝克 B．贝克 C．1贝克 D．贝克5．设椭圆离心率为，双曲线的渐近线的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A．B． C． D．6.设定义在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（

）．A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁8．若函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（每小题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分）9．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（

）A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（

）A．B．C．D．11．直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（

）A．B．C．D．12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．D．与之间的距离为4三、填空题全科试题免费下载公众号《高中僧试题下载》（每小题5分，共20分）13．椭圆的长轴长为________.14．函数在点处的切线方程为________.15．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为________.16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为________.解答题（17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知在时有极值0.（1）求常数的值；（2）求函数在区间上的值域.18．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求直线的方程及弦的长.19．已知函数.（1）当时，证明：；（2）讨论的单调性.20．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产万件，还需投入万元的原材料费，全部售完可获得万元，当月产量不足5万件时，；当月产量不低于5万件时，，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完．（1）求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润；（2）月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到）参考数据：．21．已知函数.（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.22．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．

山西大学附中2022—2023学年第一学期高二年级1月阶段测试单选题（每小题5分，共40分）1-:BBDB9.AC10.AD:BBDB9.AC10.AD9.AC10.AD11.AD12.ABC三、填空题（每小题5分，共20分）13．椭圆的长轴长为______．【答案】414．函数在点处的切线方程为______.【答案】【详解】由函数可得，故在点处的切线的斜率为，故切线方程为，即，故答案为：.15．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为___________.【答案】【变式详解】的定义域为，.要使函数有两个极值点，只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反.由得，.令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点.，令得：x>1；令得：0<x<1；所以在上单减，在上单增.当时，；当时，；作出和的图像如图，所以即实数的取值范围为.故答案为：16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.全科试题免费下载公众号《高中僧试题下载》【答案】原题：已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.【原题详解】令，，∴在上单调递增.∵，，∴，∴恒成立，令，只需，，∴单调递增，∴单调递减，时，的最大值为，∴，∴的最小值为.故答案为：解答题（17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知在时有极值0.（1）求常数，的值；（2）求函数在区间上的值域.【详解】（1），可得，-------1分由题时有极值0.可得：即-------3分解得：或，当时，单调，不会有极值，故舍去.经验证成立；-------5分（2）由（1）可知，，，增减增所以函数在和递增，递减.-------7分且，，，，-------9分可得值域为.-------10分18．在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求直线的方程及弦的长.【详解】：（1）根据题意，焦点在轴上，且，，所以，-------3分双曲线的标准方程为；-------4分（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；-------5分当斜率存在时，设直线方程为，设，，则，化简可得，-------6分因为有两个交点，所以化简可得恒成立，-------8分因为恰好为线段的中点，则，化简可得，-------9分所以直线方程为，即.-------10分此时，∴．-------12分19．已知函数.(1)当时，证明：；(2)讨论的单调性.【详解】：（1）当时，令，-------1分，-------2分可得时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增，-------3分时，函数取得极小值即最小值，．-------4分∴，即-------5分（2）函数的定义域为，，-------7分当时，时，，此时函数单调递增，时，，此时函数单调递减；-------9分时，，，此时函数在单调递增；-------10分时，时，，此时函数单调递增区间为；时，，此时函数单调递减．-------12分综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增；20．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x万件，还需投入万元的原材料费，全部售完可获得万元，当月产量不足5万件时，；当月产量不低于5万件时，，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完．(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润；(2)月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到）参考数据：．【详解】：（1）当时；-------1分

当时，------2分

故月利润y关于月产量的函数关系式为-------3分当时，-------4分故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元．-------5分(2)当时，，故时，取得最大值，最大值为8万元；-------7分

当时，，．故时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，-------9分故当时，取得最大值，且．-----10分

因为，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元．-------12分21．已知函数.（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）依题，故，在上是增函数，在上恒成立.-------2分即：在上恒成立.设，则当时，；当时，即在上单调递减；在在上单调递增

-------4分

即的取值范围为：-------5分（2）当时，恒成立，所以在上单调递增，且.-------6分因为，所以，则不等式可化为，-------7分即.令，因为，则问题等价于函数在上单调递增，-------8分即在上恒成立，即，.-------9分令，，则.令，解得，所以当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；所以当时，函数取得最小值，且，所以当时，，-------11分所以.-------12分22．已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过