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2021级高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.点关于坐标平面对称的点的坐标是()A.B.C.D.2.已知直线与直线平行,则的值为()A.3B.C.3或D.3或43.已知直线,若直线与垂直,则的倾斜角为()A.B.C.D.4.在等比数列中,,则公比的值为()A.1B.C.1或2D.1或5.已知等差数列满足,若数列的前项和为,则()A.B.C.D.6.已知圆与直线,则圆上到直线的距离为1的点的个数是()A.1B.2C.3D.47.等轴双曲线的焦距为()A.2B.C.4D.8.已知点与不重合的点共线,若以为圆心,2为半径的两圆均过点,则的取值范围为()A.B.C.D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.9.设等差数列的前项和为,且,则下列结论正确的是()A.最小B.C.D.10.下列说法正确的是()A.若是四面体的底面三角形的正心,则B.在四面体中,苦,则四点共面C.已知平行六面体的棱长均为1,且,则对角线的长为D.若向量,则称为在基底下的坐标.已知向量在单位正交基底下的坐标为,则在基底下的坐标为11.已知曲线分别为的左、右焦点,点在上,且是直角三角形,下列判断正确的是()A.曲线的焦距为B.若满足条件的点有且只有4个,则的取值范围是且C.若满足条件的点有且只有6个,则D.若满足条件的点有且只有8个,则的取值范围是12.两千多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,其截口曲线是圆锥曲线(如图).已知圆锥轴截面的顶角为,一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为.当时,截口曲线为椭圆;当时,截口曲线为抛物线;当时,截口曲线为双曲线.在长方体中,,,点在平面内,下列说法正确的是()A.若点到直线的距离与点到平面的距离相等,则点的轨迹为拋物线B.若点到直线的距离与点到的距离之和等于4,则点的轨迹为椭圆C.若,则点的轨迹为拋物伐D.若,则点的轨迹为双曲线三、填空题:本大题共4小题,律小题5分,共20分.13.已知的三个顶点分别是点,则的外接圆的方程为__________.14.已知数列的前项和为,且,则__________.15.如图,已知圆的半径为定长是圆所在平面内一个定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时:(1)当点在圆内且不与点重合时,点的轨迹是__________(从圆、椭圆、抛物线中选择一个填写,2分);(2)当__________.(从>,=,<中选择一个填写,3分)时,点的轨迹是双曲线.16.双曲线的左、右焦点分别为.过作其中一条渐近线的垂线,交双曲线的右支于点,若,则双曲线的离心率为__________.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(满分10分)已知拋物线的焦点为,点在上.(1)求的值及的坐标;(2)过且斜率为的直线与交于两点(在第一象限),求.18.(满分12分)已知圆的圆心在直线上,且与轴相交于点和.(1)求圆的标准方程;(2)若过点的直线与圆交于两点,且,试问符合要求的直线有几条?并求出相应直线的方程.19.(满分12分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,侧面底面.(1)若的中点为,求证:平而;(2)若与底面所成的角为,求平面与平面的夹角的余弦值.20.(满分12分)已知数列的首项,且满足.(1)证明:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.21.(满分12分)已知双曲线的实轴长为2,且双曲线上任一点到它的两条渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程;(2)已知过点的直线与双曲线交于两点.(i)当时,能否是线段的中点?若能,求出的方程;若不能,说明理由;(ii)若点不是线段的中点,写出所满足的关系式(不要求证明)22.(满分12分)已知椭圆的离心率是,且过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点,且,求面积的最大值.2021级高二上学期期末考试数学试题参考答案一、单项选择题:1-8CBADABCD二、多项选择题:9.BCD10.ACD11.AC12.BD三、填空题:13.14.15.(1)椭圆(2)>16.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:(1)将代入,得,解得,所以点的坐标为.(2)由(1)得抛物线方程为,直线的方程为,联立消得,解得或,因为在第一象限,所以,所以,所以18.解:(1)由题设,中点为,则圆心在直线上,联立,可得圆心为圆的半径为,综上,圆的标准方程:.(2),在圆外,当直线斜率不存在时,直线方程为,则,显然符合题设;当直线斜率存在时,设为,联立圆可得:若,则,,可得:.此时,直线,即.综上,符合条件的直线有2条,分别为.说明:利用垂径定理是处理圆弦长问题的通用方法,一般不用弦长公式处理圆的弦长问题.19.解:(1)如图,取的中点,连接,分别为的中点,,且,且,四边形是平行四边形,,Q平面平面,平面.说明:也可以取中点G,通过证明平面AEG//平面PCD来证明结论.(2)取中点的,,作,由底面为直角梯形且,,由侧面底面,面面面,在面的投影在直线上,又与底面所成的角为,与底面所成角的平面角,则为等边三角形.以为原点,为轴建空间直角坐标系,如下图示:,则,设平面的法向量则取,得设平面的法向量则取得设平面与平面的夹角为,则平面与平面的夹角的余弦值为.20.解:(1)由,两边取倒数得,即,即故数列是首项为,公比为3的等比数列,所以,即,所以数列的通项公式为(2)由(1)知①②两式相减得:参考答案:(1)(2)(i)不能(参看教材128页第13题)(ii)22.解:(1)由又,解
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