微专题一　特殊三角形中的分类讨论

第四章三角形微专题一特殊三角形中的分类讨论特殊三角形中的分类讨论主要针对于等腰三角形和直角三角形的角和边不确定引起的讨论，本专题主要对等腰三角形角和边的不确定、直角三角形直角顶点的不确定进行了分类讨论.本专题知识在河南中考中常以填空题或解答题中的特殊三角形的存在性形式呈现.

类型条件图示分类讨论等腰三角形顶角和底角不确定已知等腰三角形的一个角为α，求另外两个角的度数需分α为顶角或底角两种情况进行讨论，计算结果需用三角形的内角和进行检验类型条件图示分类讨论等腰三角形腰和底边不确定已知点A，B和直线l，在直线l上找一点P，使△PAB为等腰三角形（1）以AB为腰.①当AB＝AP时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，交直线l于点P1，P2，如图所示，即为所求；②当AB＝BP时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆，交直线l于点P3，P4，如图所示，即为所求；（2）以AB为底.作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P5，如图所示，即为所求.简记为“两圆一线”类型条件图示分类讨论等腰三角形腰和底边不确定解题方法（1）代数法：设出P点的坐标，再分别表示出线段AB2，BP2，AP2的长，分AB2＝AP2，AB2＝BP2，AP2＝BP2三种情况，列方程求解；（2）几何法：分AB＝AP，AB＝BP，AP＝BP三种情况，根据几何图形的性质（线段相等）求出相应的未知量即可类型条件图示分类讨论直角三角形的直角顶点不确定已知点A，B和直线l，在直线l上找一点P，使△PAB为直角三角形（1）当∠BAP＝90°时，过点A作AB的垂线，交直线l于点P1，如图所示，即为所求；（2）当∠ABP＝90°时，过点B作AB的垂线，交直线l于点P2，如图所示，即为所求；（3）当∠APB＝90°时，以线段AB的中点O为圆心，OA的长为半径画圆，交直线l于点P3，P4，如图所示，即为所求.简记为“两线一圆”类型条件图示分类讨论直角三角形的直角顶点不确定解题方法（1）代数法：设出P点的坐标，再分别表示出线段AB2，BP2，AP2的长，分∠BAP＝90°，∠ABP＝90°，∠APB＝90°三种情况，每种情况下分别用勾股定理列方程求解.若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在.（2）几何法：分∠BAP＝90°，∠ABP＝90°，∠APB＝90°三种情况，利用两直线垂直，k1·k2＝－1，求得与AB垂直的直线解析式，此解析式和已知直线联立即可得到答案.（3）一线三垂直法：作辅助线构造一线三垂直模型，利用两三角形全等或相似，即可得到答案（此方法详见微专题四

一线三等角模型）

▶类型1：等腰三角形顶角和底角不确定【例1】如果一个等腰三角形的一个外角为130°，那么其顶角的度数为（

D

）DA.50°B.80°C.130°D.50°或80°▶类型2：等腰三角形腰和底边不确定

思路点拨▶类型3：直角三角形的直角顶点不确定

思路点拨

▶类型1：等腰三角形顶角和底角不确定1.等腰三角形的一个角是80°，则它另外两个角的度数是

80°，20°或50°，50°

⁠.

▶类型2：等腰三角形腰和底边不确定2.已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（

B

）A.13B.17C.13或17D.13或1080°，20°或50°，50°

B

∴分BC＝BP和BC＝CP两种情况进行讨论：

▶类型3：直角三角形的直角顶点不确定

5.如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点D为抛物线对称轴上一动点，当△BCD是直角三角形时，求点D的坐标.解：在y＝x2－2x－3中，令x＝0，得y＝－3，∴C（0，－3）.令y＝0，即x2－2x－3＝0，

∴分∠BCD＝90°，∠DBC＝90°和∠BDC＝90°三种情况进行讨论：①当∠BCD＝90°时，如图1.此时DC2＋BC2＝DB2，即t2＋6t＋10＋18＝t2＋4，解得t＝－4.∴D1（1，－4）；图1图2图1图2②当∠DBC＝90°时，如图2.此时BC2＋DB2＝DC2，即18＋t2＋4＝t2＋6t＋10，解得t＝2.∴D2（1，2）；③当∠BDC＝90°时，如图3