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克莱默法则的引入a11x1a12x2a13x3如果三元线性方程组

x

x

xb a31x1a32x2a33x3 的系数行D

D1

D2

a23,D3

b2

则三元线性方程组的解为xD1

,x3

D3D非齐次与齐次线性方程组的a11x1a12x2a1nxn x x 设线性方程组

若常数项b1,b2,,bn不全为零, 齐次线性方程组;若常数项b1,b2,,bn全为零,一、克拉默如果线性方a11x1a12

a1nxn

2n

annxn

的系数行列式不等于零，即D

a2n an

xD1, D2, D2,, Dn 其中Dj是把系数行Dj列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即a11a1,j a1,j1Dj

an1an,j an,j1例 用克拉默则解方程 2x1x25x3x4x 3x

6

2x2x32x44x27x36x4212110710r110022r402214607D

c1c3

3

8819020681190 046DD1

121812218121819109022D4021406140 xD181

xD2108

xD327

xD427

定理1如果线性方程组的系数行列式D这就是克莱则1一定有解,且这就是克莱则定理2如果线性方程组1无解或有两个不同的定定理1的逆否定齐次线性方程组的相关定a11x1a12

a1n a x

2

ann 定 如果齐次线性方程组2的系数行列D0则齐次线性2没有非零 系数行Da11x1a12x2a1nxn x x 有非零例2用克拉默法则解方程3x15x22x3x43x4

x2x3x4116,x23x32x456. D

467

1

67

D2

3321040411111153321040411111152D

D

4 11 5

116 53 x 3x 1

2

x 3

2

x4 4

例3问取何值时，齐次方1x12x24x 0, 2 3 x1x21x 0,有非 如果齐次线性方程组2有非零解,则它系数行D解14D23解14D231111 1 113341213132

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