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广东省揭阳市蓝田中学2021-2022学年高一数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.(5分)代数式sin120°cos210°的值为() A. ﹣ B. C. ﹣ D. 参考答案:A考点: 运用诱导公式化简求值.专题: 三角函数的求值.分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.解答: 原式=sin(180°﹣60°)cos(180°+30°)=﹣sin60°cos30°=﹣×=﹣.故选A点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.2.(本题满分8分)如图,中,分别是的中点,为BF与DE交点,若=,=,试以,为基底表示、、.

参考答案:)解:是△的重心,略3.对于,直线恒过定点,则以为圆心,为半径的圆的方程是(

)A.

B. C.

D.参考答案:B4.利用“长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,四面体A1BC1D”的特点,求得四面体PMNR(其中PM=NR=,PN=MR=,MN=PR=)的外接球的表面积为()A.14π B.16π C.13π D.15π参考答案:A【考点】球的体积和表面积.【分析】构造长方体,使得面上的对角线长分别为,,,则长方体的对角线长等于四面体PMNR外接球的直径,即可求出四面体PMNR外接球的表面积.【解答】解:由题意,构造长方体,使得面上的对角线长分别为,,,则长方体的对角线长等于四面体PMNR外接球的直径.设长方体的棱长分别为x,y,z,则x2+y2=10,y2+z2=13,x2+z2=5,∴x2+y2+z2=14∴三棱锥O﹣ABC外接球的直径为,∴三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为π?14=14π,故选A.5.如图,为正方体的中心,则在该正方体各个面上的射影可能是A.

B.

C.

D.

参考答案:C略6.设且,则下列不等式成立的是(

)A. B. C. D.参考答案:AA项,由得到,则,故A项正确;B项,当时,该不等式不成立,故B项错误;C项,当,时,,即不等式不成立,故C项错误;D项,当,时,,即不等式不成立,故D项错误.综上所述,故选A.

7.已知定义在实数R上的函数y=f(x)不恒为零,同时满足f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,f(x)>1,那么当x<0时,一定有()A.f(x)<-1 B.-1<f(x)<0 C.f(x)>1 D.0<f(x)<1参考答案:D8.化简(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案:D9.已知函数是定义在实数集R上的奇函数,且在区间上是单调递增,若,则的取值范围是(---)A.(0,1)B.(0,10)

C.

(0,5)

D.(0,9)参考答案:B略10.下列函数中周期为π且为偶函数的是A. B.C. D.参考答案:A【分析】对于每一个选项化简再判断得解.【详解】对于选项A,周期为且是偶函数,所以选项A正确;对于选项B,,周期为π且是奇函数,所以选项B错误;对于选项C,y=cosx,周期为2π,所以选项C错误;对于选项D,y=-sinx,周期为2π,所以选项D错误.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)使用周期公式,必须先将解析式化为或的形式;正弦余弦函数的最小正周期是.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是等差数列的前项和,且,则下列结论一定正确的有

________

(1)

(2)

(3)

(4)(5)和均为的最大值参考答案:(1)(2)(5)12.在直角坐标系中,直线的倾斜角

.参考答案:

13.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,用粗线画出了某多面体的三视图,则该多面体最长的棱长为

.参考答案:6考点: 简单空间图形的三视图.专题: 计算题;空间位置关系与距离.分析: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,该几何体为四棱锥.解答: 该几何体为三棱锥,其最长为棱长为=6;故答案为:6.点评: 三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力.14.在平面直角坐标系xOy中,,分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量,已知=+2,=3+4,=2t+(t+5),若与共线,则实数t的值为.参考答案:4【考点】平行向量与共线向量.【分析】先求出=(2,2),=(2t﹣1,t+3),再由与共线,利用向量平行的性质能求出t的值.【解答】解:∵=+2,=3+4,=2t+(t+5),∴=(2,2),=(2t﹣1,t+3),∵与共线,∴,解得t=4.故答案为:4.【点评】本题考查实数值的求不地,是基础题,解题时要认真审题,注意向量平行的性质的合理运用.15.等比数列,已知,且公比为正整数,则数列的前项和***.参考答案:16.以,B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形的形状为

.参考答案:等腰直角三角形17.写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界).

参考答案:答案:(1);(2)三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)一次函数是上的增函数,,已知.(1)求;(2)若在单调递增,求实数的取值范围;(3)当时,有最大值,求实数的值.参考答案:试题解析:(1)∵是上的增函数,∴设…………1分∴…………………3分解得或(不合题意舍去)…………………5分∴………………6分

19.(本小题满分10分)已知为定义在上的奇函数,当时,

(1)证明函数在是增函数(2)求在(-1,1)上的解析式参考答案:解:①任取,

上是增函数②当时,

当时,

略20.已知函数f(x)的定义在R上的偶函数,且当时有.⑴判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性,并用定义证明.⑵求函数f(x)的解析式(写出分段函数的形式).参考答案:(1)单调递增,证明见解析;(2).【分析】(1)运用函数的单调性的定义证明;(2)运用偶函数的定义,求出的表达式,即可得到的解析式.【详解】(1)函数在,上单调递增.证明:设,则,,又,所以,,,所以.则,即,故函数在,上单调递增;(2)由于当时有,而当时,,则,即.则.【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明,函数的解析式的求法,考查运算能力,属于基础题.21.(本小题满分14分)设为实数,函数,,求的最小值.

参考答案:解:①当时,当,则函数在上单调递减,从而函数在上的最小值为.若,则函数在上的最小值为,且.…………4分②当时,函数若,则函数在上的最小值为,且若,则函数在上单调递增,从而函数在上的最小值为.…………8分综上,当时,函数的最小值为,…………10分当时,函数的最小值为,…………12分当时,函数的最小值为.…………14分22.已知函数cos2x+1,(1)求f(x)的图象的对称轴方程;(2)求f(x)在上的最大值和最小值;(3)若对任意实数x,不等式|f(x)﹣m|<2在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围.参考答案:【考点】三角函数的最值;函数的最值及其几何意义;正弦函数的对称性.【分析】(1)化简f(x)的解析式,求出函数的对称轴即可;(2)降幂后利用两角差的正弦函数化积,然后利用x的取值范围求得函数的最大值和最小值;(3)不等式|f(x)﹣m|<2在x∈[,]上恒成立,转化为m﹣2<f(x)<m+2在x∈[,]上恒成立,进一步转化为m﹣2,m+2与函数f(x)在x∈[,]上的最值的关系,列不等式后求得实数m的取值范围.【解答】解:(1)f(x)=2cos2(x﹣)﹣cos2x+1=cos(2x﹣)﹣cos2x+2=sin2x﹣cos2x+2=2sin(2x﹣)+2,对称轴方程是;(2)由(1)得:f(x)=2sin(2x﹣)+2.∵x∈[,],∴2x﹣∈[,],∴当2x﹣=,即x=时,fmin(x)=3.当2x﹣=,即x=

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