2021新高考高中数学一题多解经典题型汇编

高中数学一

题多解经典

题型汇编高中数学一题多解经典题型汇编【典例1】设A、B是全集U的两个子集，且AuB,则下列式子成立的是()A.CAuCBu—UB・CUAUCUB=UC・ADCBUD.CuADB“解法一：运算法•:CA=(CA)UGB)nCBuCA,A错误UBUU—UCAUA=U或CBUB=U,B错误UUtAuBnAAB=A，又qBDBC©BDA“,C正确vAuBnADB=AnCvADB珅,D错误解法二：特殊值法由题意，不妨设U={1,2,3},B={1,2},A={1}，则CA=CA={2,3}Un⑶u{2,3}nCB={3}U(CUB)u©A)，A错误uA—{2,3}n(CB)U(CA)={2,3}丰{1,2,3}=U，B错误CB={3}UU1U1JC^B={3},A={1}nC^BDA“，C正确C^A={2,3},B={1,2}nC^ADB={2}，D错误解法三：韦恩图法如右图所示，通过韦恩图直接判断选项的正误.□□方法解读□口

解法一：应用这种解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本运算法则，比较抽象也有难度。解法二：通过取特殊值后，使各式的运算结果一目了然，更便于判断，因此该方法比较简TOC\o"1-5"\h\z、单、干。\\\\解法三：韦恩图更加地形象直观，能够快速、准确的作出判断，此法它利用了数形结合的思想。【典例2】已知(1—i)Z=3+西(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对于的点位于第象限.解法一：复数的四则运算法3+<2i(3+3)(1+i)(3-込)+(3+込)i3-、込3+込.(1-1)z=3+y2inz====+i-i(1-i)(1+i)222•••z=匕2-出21n第四象限.2解法二：利用相等复数法(待定系数法)设复数z=a+bi，则z=a-bin<ln<—(a+b)=<21b=nz=a+bi=:.(1一i)z=3+'&2in(1一i)(a一bi)=3n<ln<—(a+b)=<21b=nz=a+bi=第四象限.3-「2第四象限.-in22□□方法解读□口解法一：先通过解方程得出复数z的共轭复数，再根据复数与共轭复数的关系判断出复数在z复平面内对应点所在的象限，该方法比较直接。解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出a，b的值，这种方法在有些时候非要有用。

y＜2x【典例3】若变量x,y满足约束条件＜2x+y＜1，则z=3x+y的最大值y＞-1解法一：解方程法TOC\o"1-5"\h\zy=2x①将原式的不等号看成等号，得+y=1②y=-1③1由①①，得由①①，得＜4-zy=2由①①，得＜y=2xn<y=-由①①，得＜y=2xn<y=-11x=—2n=3x+y=3-y=-i由①①，得＜2x+y=1y=-1n<x=1nzy=-13=3x+y=3-1+(-1)=2比较Z],z2,z3的大小，得z=3x+y的最大值是2.解法二：作图法解法二：作图法由图可知，只有当待定直线y=-3x+z过点P(1,-1)时，直线的截距b=z才最大，即z=3x+y=3-1+(-1)=2.man

□□方法解读□口解法一：解方程法虽然来得快，但是并不是所有线性规划题型都适用，具有一定的局限性。解法二：作图法比较直观，但是很多同学作图不规范、区域找不准也容易造成丢分。因此一定要掌握好作图法的精髓，避免不必要的丢分。【典例4】当0<x<2时，函数y=x（6-3x）的最大值是解法一：二次函数图像法x(6一3x)=—3x2+x(6一3x)=—3x2+6x2a2-(—3)•••f(x)max=f(1)=3解法二：均值不等式法由不等式ab*〒），a,beR+知“c、1c〃c、1(3x+(6—3x))2y=x(6一3x)=—-3x(6一3x)<--=33\2丿当且仅当3x=6-3x，即x=1时，等号成立故f(x)=f(1)=3.max解法三：单调性法（求导法）

已知函数的定义域为(0,2)，则f(x)=—3x2+6xnf'(x)=-6x+6f(x)>0n-6x+6>0n0<x<1f(x)<0n1<x<2:,f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)单调递减nf(nf(x)max=f(1)=3□□方法解读□口解法一：二次函数图像法在初中阶段就已经深入学习，要用此法一定要充分掌握二次函数TOC\o"1-5"\h\z>>的图像和性质，知道如何求二次函数的对称轴，最值等方法。////<<解法二：观察该函数的结构，可用均值不等式求其最值。但是用均值不等式求最值一定要注意三个前提条件“一正、二定、三相等”，如果无法取到等号那讨论将失去意义，同学们应当特别注意。////:解法三：通过求导得到函数的单调性，再将函数的极值与端点值进行比较，从而得到最值。::【典例5】已知sin“cos«=-j，且于<山，则tan—予)=解法一：解方程组法•/sina+cosa=-①5又丁sin2a+cos2a=1①nsin2a+(-5一sina)2=1n25sin2a+5sina-12=0即(5sina一3)(5sina+4)=0解得sina=3或sina5575=-7575=-7.5<a<-nsina=3cosa=-1-sina=--tana=sinacosatan(a—巴)=4tana-tantana-11+tanatan1+tana=-7.解法二：整体代入法tan(a-中)tana-tansinatana-1cosasina-cosa1+tanatan1+tanasinasina+cosacosa•/sina+cosa=一(sina+cosa)2=1+2sinacosa=nsin2a+2sinacosa+cos2a=——nsinacosa=12252525(sina-cosa)2=sin2a-2sinacosa+cos2a=(sina+cosa)2一4sinacosa124925又•••<a<-nsina一cosa>0sina-cosa=7原式=sina-cosasina+cosa解法三：万能公式法•/sina+cosa=一nn(sina+cosa)2=nsinnsin2a=+tan2—a+2sinacosa+nsin2a=+tan2—25sin2a=2sinacosa=--25•/sinx•/sinx=1+tan2a2tana2.小2tanan12tan2a+25tana+12=025n(3tana+4)(4tana+3)=0冗tana-tan4tana-1解得tana=-4冗tana-tan4tana-1/冗、TOC\o"1-5"\h\ztan(a)=1,+z+冗1+tana.1+tanatan—1+4\o"CurrentDocument"1□□方法解读□口1////解法一：解方程组法是非常常规的方法，是大多数同学普遍使用的方法。但是应用该方法''计算相当繁琐，而且不易计算。\\\\解法二：观察所求式子的结构，采用整体代入法是本题的技巧，但是该方法不是所有题目V都适用，同学们要灵活的运用，不能死记硬背，机械记忆。////解法三：此题也可以用万能公式法，但是很多同学记不住万能公式。因此有些必要的公式还需要同学们加强记忆和巩固，只有基本功扎实了，才能应付灵活多变的数学难题。1Ili【典例6】已知向量OA=(k,2),OB=(-2,3),OC=(3k,-4),且A,B,C三点共线，则k=

解法一：距离公式法A,B,C三点共线n\aB+\BC\=|AC|取O点的坐标为(0,0)，则A(k,2),B(-2,3),C(3k4)n|AB=<(-2—k)2+(3—2)2n|BC|=，［(3k+2)2+(—4—3)2n|AC|=\；(3k—k)2+(—4—2)2由|ab|+|bc|=|ac|，解得k=—3.解法二：共线向量法A,B,C三点共线nA,B,C三点共线nAB//BC//ACAB=OB—OA=(—2,3)—(k,2)=(—2—k,1)①BC=OC—OB=(3k,—4)—(—2,3)=(3k+2,—7)①AB//BCnx1y2—x2y1=0(—2—k)-(—7)—(3k+2)-1=0nk=—3.解法三：斜率法A,B,C三点共线nk=k=kABBCAC又A(k,2)，B(—2,3)，C(3k,—4)——7—4—3—7k——kABBC3k—(-2)3k+kAB3k+2:□□方法解读□口<<解法一：距离公式法属于常规法，容易想到。但应用此法主要的困难是去掉根号这一步,■■■■.要等式两边同时平方两次才能将根号去掉，计算量相当大，一般来说不建议应用此方法。解法二：将三点共线问题转化为共线向量问题，是解决该题最好的方法和思路。因此在以</'后遇到的数学问题当中，转化思想仍然值得每位同学理解和掌握。解法三：斜率法也是解决该题很好的方法，应用此法可以减少很多计算，过程简单，逻辑鲜明。【典例7】已知函数满足f(x—2)—x2+5x+7，则f(x)—.解法一：图像平移法f(x—2)—x2+5x+7是将f(x)的图像向右平移2个单位长度得到因此再将f(x—2)—x2+5x+7的图像向左平移2个单位长度，得f(x+2—2)—(x+2)2+5(x+2)+7—x2+9x+21即f(x)—x2+9x+21.解法二：赋值法为了得到f(x)，不妨令x—x+2，则f(x+2—2)=(x+2)2+5(x+2)+7=x2+9x+21即f(x)=x2+9x+21.解法三：换元法令u=x—2，贝9x=u+2f(x—2)=x2+5x+7f(u+2—2)=(u+2)2+5(u+2)+7=u2+9u+21nf(u)=u2+9u+21即f(x)=x2+9x+21.解法四：构造法f(x—2)=x2+5x+7=(x2—4x+4)+4x—4+5x+7=(x—2)2+9x+3=(x—2)2+(9x—18)+18+3=(x—2)2+9(x—2)+21将x-2看成整体x，即f(x)=x2+9x+21.解法五：待定系数法(特殊值法)由题意知，f(x)为二次函数不妨设f(x)=ax2+bx+c(a工0)，贝V由f(x—2)=x2+5x+7，得当x=2时，有f(0)=22+5-2+7=a-02+b-0+c①当x=0时，有f(—2)=02+5-0+7=a-(—2)2+b-(—2)+c①当x=3时，有f(1)=32+5-3+7=a-12+b-1+c

联立解得a=1,b=9,c=21即f(x)=x2+9x+21.□□方法解读□口解法一：应用图像平移法一定要清楚函数图像平移的原则：左加右减，上加下减。左右平移变化的是双横坐标)，上下平移变化的是丁(纵坐标)。解法二：赋值法的本质是换元法，所以此方法与换元法相一致，值得一提的是x=x+2的意思是将x+2赋给x,这里的等号不是严格意义上的等号，否则出现0=2的逻辑错误。解法三：换元法是求函数解析式最重要的方法之一，同学们一定要熟悉掌握。但此方法也"有局限性，不是所有题目都适用，有些题目只能用其他方法如解方程组法、整体代入法等。////解法四：构造法也叫配凑法，也是求函数解析式常用的方法之一，配凑的原则是“形式一致z性”，只有配凑与函数自变量一致的形式，才能整体换元。解法五：待定系数法最重要的思想是已知函数的类型，从而假设出函数的解析式，进而转变为求函数的系数或参数。【典例8】函数f(x)=ln(x2-9x+20)的单调递增区间是解法一：利用复合函数的求导法则f(x)=ln(x2-9x+20)的定义域为x2-9x+20>0n(x-4)(x-5)>0令u(x)=令u(x)=x2一9x+20，2au(x)在(-也4)单调递减，在(5,+8)单调递增又丁f(u)=lnu在(0,+s)上单调递增故f(x)在(-也4)单调递减，在(5,+8)单调递增解法二：利用导数与函数单调性的关系f(x)=ln(x2一9x+20)的定义域为(一也4)U(5,+»)1x2一1x2一9x+20-(x2一9x+20)'2x-9x2一9x+20f'(x)>0n2x—9>0nx>2nx>59f'(x)<0n2x一9<0nx<nx<4故f(x)在(-也4)单调递减，在(5,+8)单调递增.、TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument":;□□方法解读□口]解法一：复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，即当内、外层函数的单调性相同时，复合函数单调递增；当内、外层函数的单调性不同时，复合函数单调递减。值得一提的是，所有函数都要在定义域的范围之内进行讨论和研究，超出定义域的范围函数没有意义。<<<<解法二：利用导数与函数单调性的关系来求函数的单调性，是中学阶段最重要的思想方法之一。同学们一定要掌握：只要导函数大于零的区间，函数一定单调递增；只要导函数小于零的区间，函数一定单调递减；在导数为零处，函数的增减性无法判断。【典例9】已知直线kx-y+2—3k=0过定点P，则P点的坐标是.解法一：点斜式法由kx一y+2一3k=0y一2=k(x一3)显然，当x=3时，y=2

点(3,2)与直线斜率k无关故直线过定点P(3,2).解法二：解方程组法(特殊直线交点法)TOC\o"1-5"\h\z取k=0时，得y=2①取k=1时，得x-y-1=0①联立□□式，解得x=3,y=2即直线过定点P(3,2).\o"CurrentDocument":□□方法解读□口：XZ'解法一：点斜式法求直线过定点是最直接的方法，这也是最常规的方法。但在有些题型中很难将给定的待定直线写成点斜式，这就要求同学们另寻他法，以求得解。解法二：解方程组法的基本思路是寻找特殊的两条直线的交点，这个交点即为直线所经过的定点。这是目前解决此类问题最好的方法，同学们一定要掌握其精髓，已达到事半功倍•s'、的效果。【典例10】已知AABC为等边三角形，。是BC上的点，AB=4,BD=1,贝^AB-AD=解法一：直接运算法(数量积公式、向量的加法)AB-AD=AB-(AC+CD)=AB-AC+AB-CDf]，2，]]2=AB-AC+AB--CB=1ABIIACIcos60。+TABIICBIcos60。44

解法二：三角函数法（余弦定理法）由余弦定理，得AD2=AC2+CD2—2ACAD2=AC2+CD2—2AC-CD-cos60。=42+32—2x4x3x1=132nAD=v13cosa=AB2+AD2—BD22AB-AD42+(£13)2-1272x4x13213AB-AD=1ABIIADIcosa=4x、13x-^=14.2J13解法三：建立坐标系法取BC的中点为O,建立平面直角坐标系xOy如图所示:A(0,2*3)，B(—2,0)，D(—1,0)460%CAB=(-2,-2备，AD=(-1,-2月)nAB-AD=X]x2+y1y2=—2x(—1)+(-2寸3)x(-213)=14.□□方法解读□口解法一：直接运算法是解决此类题型最常规的方法之一，应用此方法要求熟悉向量的基本运算法则，掌握平行四边形法则和三角形法则，只有基本功扎实了，才能如鱼得水。TOC\o"1-5"\h\z////解法二：三角函数法是利用正弦定理、余弦定理、面积公式以及射影定理等公式结合向量运算规律求解，综合性较强，要求熟悉掌握解三角形的有关知识。在一定程度上也是解题不错的方法。////■<<解法三：建立坐标系法是解决此题的一大亮点，通过建立平面直角坐标系使问题转化为向量的坐标运算，很大程度上减少了运算过程和难度，是同学们应当理解并掌握的解题方法。

【典例11】求过点P(2,l),且与圆(x-1)2+(y+2)2=4相切的直线l的方程是解法一：判别式法由题意知，设直线的方程为y-1=k(x-2)，则Ik(x-2)+3丄yIk(x-2)+3丄nx2一2x+1+(x一1)2+(y+2)2=4=>(1+k2)x2+(-4k2+6k一2)x+4k2一12k+6=0A=b2-4ac=(-4k2+6k-2)2-4(1+k2)(4k2-12k+6)=0n(2k2-3k+1)2-(1+k2)(4k2-12k+6)=0n4k4+2(2k2)(1-3k)+(1-3k)21(4k2-12k+6+4k4-12k3+6k2)=0n4k4+4k2-12k3+(1-6k+9k2)-4k2+12k-6-4k4+12k3-6k2=0n3k2-6k-5=0解得k=上空k=1323故所求直线方程为y-1=_(x-2)或y-1='+&(x-2).解法二：圆切线的性质法由题意知，设直线的方程为y-1=k(x-2)，贝9kx—y+1—2k=0又因为圆心为(1,-2)圆心到直线的距离等于半径，即,IAx+By+ClIk+2+1-2kI宀d=00==r=2A2+B2k2+1=13-kI=2丫k2+1n9-6k+k2=4k2+4n3k2+6k-5=0解得k=上兰6,k=沁61323故所求直线方程为y-1=3—字6(x-2)或y-1=弭；"6(x-2).□□方法解读□口解法一：依据数形结合的思想，直线与圆相切，意味着将直线与圆联立方程后消去y得到的关于x的一元二次方程有唯一的实数根，从而转化为A=0的解方程问题。该方法的思路非常简单，也属于常规法之一。但是应用此方法解题有时候计算量太大，通常不建议应使用该方法。解法二：利用切线的性质是解决此类题型非常好的方法，而且计算量小，过程简单，非常值得每位同学去学习和掌握。解法一：分段函数法□当0<x<1时，logx<0,x一丄<0，此时有f(x)=2-iog2x+x一—=1+x一—=x2xxxxx>0,x—->0，此时有f(x)=2吨2x—(1)x——=x—(1)x一―x(x丿(x丿1x□当x>1时，log2只有D符合题意解法二：特殊值法□取x=，贝9f()=21—\——11=，排除B、C2222□取x=2，则f(2)=21—\2—1\=1，排除A22只有D符合题意解法三：极限法(1)limf(x)=lim2\iog2x\—\x一一\=0xT+8x丿(1)limf(x)=lim2\吨2x\—\x—一\=0xt0xt0(x丿只有D符合题意:、□□方法解读□口<<解法一：观察题目中函数的表达式有绝对值，因此考虑去掉绝对值，方法是将函数区间讨论。解法二：特殊值法是解决函数图像题型最好的方法之一，通过取特殊的自变量值大致知道'函数值，然后将答案一一排除。应用此法应