广东省广州市豪贤中学2023年高二数学理联考试卷含解析

广东省广州市豪贤中学2023年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

若x2+y2＞1，则下列不等式成立的是（）A．|x|＞1且|y|＞1B．|x+y|＞1C．|xy|＞1D．|x|+|y|＞1参考答案：D

解：取x=0.5，y=﹣2，则|a|＜1排除A，取x=0.5，y=﹣1，则|x+y|＜1排除B，取x=0.5，y=﹣2，则|xy|=1排除C，故不等式成立的是D．故选D．法二：画出不等式表示的平面区域即得。2.已知，，，则的大小关系是（）A．

B. C．

D．参考答案：C3.将参数方程(??为参数)化为普通方程为(

)．A．y＝x－2

B．y＝x＋2

C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)参考答案：C4.如果，那么的最小值是（

）A．4

B．

C．9

D．18参考答案：D5.如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】67：定积分．【分析】先联立y=x2与y=的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可．【解答】解：由于曲线y=x2（x＞0）与y=的交点为（），而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为S=，所以围成的图形的面积为S==（x﹣x3）|+（x3﹣x）|=．故答案选D．【点评】本题考查了定积分在研究平面几何中的应用，主要是利用定积分求曲线围成的图形面积，关键是要找到正确的积分区间．6.（2016?湖北模拟）某学校高一、高二、高三年级分别有720、720、800人，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查．先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001，002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为（）A．001，041，…761 B．031，071，…791 C．027，067，…787 D．055，095，…795参考答案：D【考点】系统抽样方法．【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】由系统抽样得到的数据特征应成等差数列，经计算答案中的数据795﹣055=740不是40的整数倍，即可得出结论．【解答】解：由系统抽样得到的数据特征应成等差数列，经计算答案中的数据795﹣055=740不是40的整数倍，因此这组数据不合系统抽样得到的，故选D．【点评】本题主要考查系统抽样方法．根据系统抽样的定义确定抽取间距，利用等差数列的通项公式进行求解是解决本题的关键．7.已知正四棱柱ABCD—A1B1ClD1中，AA1=2AB，E是AA1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为（

） A． B． C． D．参考答案：C略8.已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C9.曲线在点处的切线方程为（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知命题，，则(

) A．，

B．， C．，

D．，参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，则实数a的取值范围为．参考答案：a=﹣e或a＞0【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据导数判断单调性：f（x）在（0，）的单调递增，在（1，），（1，+∞）的单调递减，画出图象判断即可．【解答】解：∵y=，定义域为：（0，1）∪（1，+∞）∴y′=，①当＞0时，即0，②当＜0时，即＜x＜1，x＞1，③当=0时，即x=，∴f（x）在（0，）的单调递增，在（1，），（1，+∞）的单调递减，f（）=﹣e，∵曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，∴a=﹣e或a＞0，12.若直线和圆O：没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为

.参考答案：213.函数的单调递减区间为____________.参考答案：(0,1]14.图（1）为相互成120°的三条线段，长度均为1，图（2）在第一张图的线段的前端作两条与该线段成120°的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每一线段前端生成两条线段，长度为其一半，重复前面的作法至第n张图，设第n个图形所有线段长之和为an，则

．

（1）

（2）

（3）

参考答案：15.空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是．参考答案：3πa2【考点】球内接多面体．【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积．故答案为：3πa216.正方体的棱长为1，分别为，的中点，则点到平面的距离为

．参考答案：取CC′的中点O,连接D′O,OE,OF,D′F,则△D′FO的面积.点F到平面A′D′E的距离=点F到平面OD′E的距离h,由等体积可得，即∴h=.

17.已知命题的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是▲

．参考答案：若是的必要不充分条件，则集合是集合的子集，据此可得：实数的取值范围是.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．参考答案：【考点】等可能事件的概率；随机事件．【分析】（1）由分步计数原理知这个过程一共有8个结果，按照一定的顺序列举出所有的事件，顺序可以是按照红球的个数由多变少变化，这样可以做到不重不漏．（2）本题是一个等可能事件的概率，由前面可知试验发生的所有事件数，而满足条件的事件包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），根据古典概型公式得到结果．【解答】解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）（Ⅱ）本题是一个等可能事件的概率记“3次摸球所得总分为5”为事件A事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3由（I）可知，基本事件总数为8，∴事件A的概率为19.在数列中，，且.(Ⅰ)求，猜想的表达式，并加以证明；(Ⅱ)设，求证：对任意的自然数都有.参考答案：解：（1）容易求得：，----------------------（1分）故可以猜想，

下面利用数学归纳法加以证明：显然当时，结论成立，-----------------（2分）假设当；时（也可以），结论也成立，即，--------------------------（3分）那么当时，由题设与归纳假设可知：-----------（5分）即当时，结论也成立，综上，对,成立。----（6分）（2）（8分）所以------（10分）ks5u所以只需要证明（显然成立）所以对任意的自然数，都有-------（12分）略20.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半粙为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.设M点极坐标为，且，，.（Ⅰ）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）①求M点的直角坐标；②若直线l与曲线C交于A，B两点，求.参考答案：（Ⅰ）直线,曲线（Ⅱ）①②【分析】（Ⅰ）利用参数方程化普通方程，利用极坐标化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求出，即得点M的直角坐标；②利用直线参数方程t的几何意义解答.【详解】解（Ⅰ），曲线.（Ⅱ）①，，.②将代入，得，，，【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21.已知函数.(Ⅰ)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（5分）(Ⅱ)若，证明：，总有.（7分）参考答案：(Ⅰ)由题意得，…………（1分）若函数存在单调减区间，则………………（2分）即存在取值区间，即存在取值区间………（4分）所以.…………（5分）(Ⅱ)当时，…（6分）由有，从而，要证原不等式成立，只要证对恒成立（7分）首先令，由，可知，当时单调递增，当时单调递减，所以，有………（9分）构造函数，，因为，可见，在时，，即在上是减函数，在时，，即在上是增函数，所以,在上，，所以.所以，，等号成立当且仅当时，……（11分）综上：，由于取等条件不同，故，所以原不等式成立.………………（12分）22.（1）已知等比数列{an}中，a1=﹣1，a4=64，求q与S4（2）已知等差数列{an}中，a1=，d=﹣，Sn=﹣15，求n及an．参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n