广东省广州市沙滘中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析

广东省广州市沙滘中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f（x）﹣a|x|=0（a∈R）有三个不同的实数根，则函数y=f（x）﹣a的零点个数为(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由分段函数知需要讨论，当x≥0时，可得a=，x＞0；令g（x）=，从而求导g′（x）=；从而判断函数的单调性及零点的个数；当x＜0时，方程f（x）﹣a|x|=0可化为﹣x（x+2e﹣a）=0，从而确定a的取值范围；再按分段函数讨论即可．【解答】解：①当x≥0时，方程f（x）﹣a|x|=0可化为ex﹣ax=0，故a=，x＞0；令g（x）=，g′（x）=；故g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；且g（1）=e；故当a=e时，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0时有一个解，当a＜e时，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0时没有解，当a＞e时，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0时有两个解；②当x＜0时，方程f（x）﹣a|x|=0可化为﹣x（x+2e﹣a）=0，故当a＜2e时，方程f（x）﹣a|x|=0在x＜0时有一个解，当a≥2e时，方程f（x）﹣a|x|=0在x＜0时没有解；综上所述，若关于x的方程f（x）﹣a|x|=0（a∈R）有三个不同的实数根，则e＜a＜2e；当x＜0时，令f（x）﹣a=﹣x2﹣2ex﹣a=0，可化为x2+2ex+a=0，由判别式△=4e2﹣4a＞0，及根与系数的关系知，方程有两个不同的负根；当x≥0时，令f（x）﹣a=ex﹣a=0，故x=lna；故函数y=f（x）﹣a的零点个数为3；故选：C．【点评】本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，同时考查了根与系数的关系应用．2.在△ABC中，AB=AC，，则向量与的夹角为（ ）A．

B．

C．

D．参考答案：B∵，，∴，则向量与的夹角为.

3.在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，BC=2，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则（

）A．

B．

C．

D．2参考答案：D设△ABC的外心为O，则点O在AE上，设OE=r,则.设四面体ABCD的外接球半径为R，则.因为所以.故选D.

4.4sin80°﹣等于（）A． B．﹣ C．2 D．2﹣3参考答案：B【考点】三角函数的化简求值．【分析】将所求的关系式通分后化弦，逆用两角差的余弦与两角差的正弦，即可求得答案．【解答】解：4sin80°﹣======﹣，故选：B．5.已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF（O为坐标原点），则|AB|=(

) A． B． C． D．4参考答案：A考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角，利用S△AOF=3S△BOF，求得yA=﹣3yB，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出yA+yB和yAyB，进而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|．解答： 解：设直线的AB的倾斜角为锐角，∵S△AOF=3S△BOF，∴yA=﹣3yB，∴设AB的方程为x=my+1，与y2=4x联立消去x得，y2﹣4my﹣4=0，∴yA+yB=4m，yAyB=﹣4．∴+==﹣2==﹣3﹣，∴m2=，∴|AB|=?=．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题．要注意解题中出了常规的联立方程，用一元二次方程根与系数的关系表示外，还可考虑运用某些几何性质．6.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A．由最大值，最大值为

B．对称轴方程是C．是周期函数，周期

D．在区间上单调递增参考答案：【知识点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C5C4【答案解析】D解析：化简函数得，所以易求最大值是2，周期是，由，得对称轴方程是由，故选D.【思路点拨】由两角差的正弦公式化简函数，再由图象平移的规律得到，易得最大值是2，周期是π，故A，C均错；由，求出x，即可判断B；再由正弦函数的增区间，即可得到g（x）的增区间，即可判断D．7.若直线（）与函数图象交于不同的两点，，且点，若点满足，则（

）A．1 B．2 C．3 D．参考答案：B考点：1.向量的坐标运算；2.函数的奇偶性.【名师点睛】本题考查向量的坐标运算，函数的奇偶性，属中档题；平面向量是高考的重点和热点内容，且常与函数、数列、三角、解析几何等交汇命题，解决此类问题的解题思路是转化为代数运算，其主要转化途径一是利用平面向量平行或垂直的条件，二是利用平面向量的线性运算或数量积的公式及性质.8.（00全国卷）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是（A）2

（B）3

（C）

（D）6参考答案：答案:C9.已知为平面上的定点，、、是平面上不共线的三点，若，则DABC是（

）（A）以AB为底边的等腰三角形 （B）以BC为底边的等腰三角形（C）以AB为斜边的直角三角形 （D）以BC为斜边的直角三角形参考答案：略10.设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（

）A． B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x,y的最小值为

。参考答案：答案:

12.已知是函数图像上的点，是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点作直线，使其与双曲线只有一个公共点，且与轴、轴分别交于点，另一条直线与轴、轴分别交于点。则（1）为坐标原点，三角形的面积为

（2）四边形面积的最小值为

参考答案：（1）12

（2）4813.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)，则该函数的极小值为_______．参考答案：0略14.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有18件，那么此样本的容量n=

。参考答案：81略15.已知两点A（2,2），B（2,1），O为坐标原点，若，则实数t的值为

。参考答案：略16.袋中装有个红球和个白球，.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组的个数为

．参考答案：3 17.如图所示，在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点，将与分别沿ED，EC向上翻折，使A，B重合，则形成的三棱锥的外接球的表面积为________.参考答案：【分析】判定三棱锥的形状，确定外接球的球心位置，找出半径并求解，然后求出球的表面积．【详解】重合为点P，∵∠DAB＝60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD＝OE＝OC＝在直角△POD中：OP2＝PD2﹣OD2＝OP＝∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P＝O'D设O'P＝O'D＝R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2＝O'D2，（OP﹣O'P）2+OD2＝O'D2（﹣R）2+（）2＝R2，R＝，∴面积为4.故答案为：。【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△中，角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求边的长和△的面积.参考答案：解：（Ⅰ）因为，

所以，

……………2分

因为，所以，

所以，

……………4分因为，且，所以．

……………6分（Ⅱ）因为，，所以由余弦定理得，即，解得或（舍），所以边的长为.

……………10分．

……………13分

略19.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的图象与直线恰有两个交点，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ），令得，，．由，在根的左右的符号如下表所示0000减函数极小值增函数极大值减函数极小值增函数

所以的递增区间为与，的递减区间为与．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，要使的图象与直线恰有两个交点，只要或．即，或．略20.(本小题满分12分)已知函数．(1)求实数a的值；(2)证明：存在．参考答案：解:由题意知的定义域为，而对求导得，.因为且，故只需.又，所以得.

-----------------3分若，则.显然当时，，此时在上单调递减；当，，此时在上单调递增.所以是的唯一极小值点，故.综上，所求的值为.

----------------5分（2）由（1）知，．------7分设，则．当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．

----------------9分又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，

----------------10分且当时，；当时，，因为，所以是的唯一极大值点．即是在（0，1）的最大值点，所以成立.--------12分

21.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，P为椭圆上异于A1，A2的点，PA1和PA2的斜率之积为．以M（﹣3，2）为圆心，r为半径的圆与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；（3）若点A的坐标为（0，2），求△ABM的面积．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；函数思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意求出a=2，设P（x0，y0），A1（﹣2，0），A2（2，0），由PA1和PA2的斜率之积为﹣，得到，再由P（x0，y0）在椭圆上，可得b2=4，则椭圆C的方程可求；（2）由A，B两点关于原点对称，可知O是AB的中点，结合垂径定理可知MO⊥AB，进一步得到直线MO的斜率，得到直线AB的斜率，则直线AB的方程可求，联立直线方程和椭圆方程，求出A的坐标由勾股定理得圆的半径，则圆M的方程可求；（3）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+2，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，求得B的坐标，进一步得线段AB的中点E的坐标，求得直线ME的斜率，结合题意列式求得AB的斜率，得到直线AB的方程为y=x+2，求出|AB|，由点到直线的距离公式求得点M到直线AB的距离，代入△ABM的面积公式得答案．解：（1）由题意可知2a=4，即a=2，设P（x0，y0），A1（﹣2，0），A2（2，0），由题意可得，即12﹣，∴，又P（x0，y0）在椭圆上，故b2=4，即椭圆C的方程为；（2）∵A，B两点关于原点对称，∴O是AB的中点，由垂径定理可知MO⊥AB，又M（﹣3，2），∴直线MO的斜率为﹣，故直线AB的斜率为，则直线AB的方程为y=x，联立，解得，由勾股定理得r2=MA2=MO2+OA2=9+4+，∴圆M的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=；（3）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的