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文档简介
广东省佛山市华材职业高级中学2022年高二数学文联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.在三角形中,,则的大小为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A2.设A,B是抛物线上两点,抛物线的准线与x轴交于点N,已知弦AB的中点M的横坐标为3,记直线AB和MN的斜率分别为和,则的最小值为(
)A. B.2 C. D.1参考答案:D【分析】设,运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式,可得,再由基本不等式可得所求最小值.【详解】设,可得,相减可得,可得,又由,所以,则,当且仅当时取等号,即的最小值为.故选:D.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程和性质,考查直线的斜率公式和点差法的运用,以及中点坐标公式,考查方程思想和运算能力,属于基础题.3.定义在上的函数满足,现给定下列几个命题:
①;②不可能是奇函数;③不可能是常数函数;④若,则不存在常数,使得恒成立.在上述命题中错误命题的个数为(
)个
A.4
B.3
C.2
D.1参考答案:D4.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上().A.k2+1
C.B.(k+1)2
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2参考答案:D5.《九章算术》是我国古代的数学专著,其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数.如图程序框图的算法思路源于“更相减损术”,若输入的a,b,i分别为18,14,0,则输出的i,a分别为(
)A.6,4 B.6,2 C.5,4 D.5,2参考答案:B循环依次为,结束循环输出,选B.
6.把正方形沿对角线折起,当以,,,四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线和平面所成的角的大小为(
). A. B. C. D.参考答案:C折叠后的三棱锥如图,易知当平面垂直于平面时三棱锥的体积最大,设的中点为,则即为所求,而是等腰直角三角形,所以,故选.7.圆上到直线的距离为的点有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个参考答案:B试题分析:圆方程变形得:,即圆心,半径,圆心到直线的距离,所以,则到圆上到直线的距离为的点得到个数为2个,故选B.考点:直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系,其中解答中圆的标准方程及圆心坐标、半径,点到直线的距离公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中得出圆心坐标和半径,利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离是解答的关键,试题比较基础,属于基础题.8.设是内一点,且,定义,其中分别是的面积,若,则的最小值是(
).A.
B.18
C.16
D.9参考答案:B9.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积为
(
)A.
B.
C.8
D.12参考答案:C10.某人有3个电子邮箱,他要发5封不同的电子邮件,则不同的发送方法有(
)A.8种B.15种C.35种D.53种参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点(1,2)且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是__________.参考答案:x+2y﹣5=0考点:直线的一般式方程与直线的平行关系.专题:计算题.分析:设过点(1,2)且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程为x+2y+m=0,把点(1,2)代入直线方程,求出m值即得直线l的方程.解答:解:设过点(1,2)且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+m=0,把点(1,2)代入直线方程得,1+4+m=0,m=﹣5,故所求的直线方程为x+2y﹣5=0,故答案为:x+2y﹣5=0.点评:本题考查用待定系数法求直线方程的方法,设过点(1,2)且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程为x+2y+m=0是解题的关键12.设是椭圆上的一点,则的最大值是
.参考答案:13.已知与之间的一组数据x0123y1357则与的线性回归方程为必过点
参考答案:
14.如图,一个三棱锥的三视图的轮廓都是边长为1的正方形,则此三棱锥外接球的表面积
.参考答案:15.设(1+i)sinθ-(1+icosθ)对应的点在直线x+y+1=0上,则tanθ的值为________.参考答案:略16.函数的单调增区间是
参考答案:17.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.过点作一直线,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积.参考答案:解:设直线为交轴于点,交轴于点,
得,或
解得或
,或为所求。19.某同学参加学校自主招生3门课程的考试,假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p<q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立,记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为ξ0123pxy(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p,q的值;(Ⅱ)求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ.参考答案:【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式.【分析】(Ⅰ)由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的对立事件是ξ=0,由此能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率,再由P(ξ=0)=,P(ξ=3)=,p<q,列出方程组,能求出p,q.(Ⅱ)由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出Eξ.【解答】解:(Ⅰ)由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率:P=1﹣P(ξ=0)=1﹣=.∵P(ξ=0)=,P(ξ=3)=,p<q,∴,解得p=,q=.(Ⅱ)由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=3)=,P(ξ=1)=++=,P(ξ=2)=+=,∴Eξ==.【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,在历年高考中都是必考题型之一.20.(本题满分12分)已知函数().(Ⅰ)若函数在区间上是单调递增函数,试求实数的取值范围;(Ⅱ)当时,求证:().参考答案:(1)因为…………1分,若函数在区间上是单调递增函数,则恒成立,即恒成立,所以.………………2分又,则,所以.…4分(2)当时,由(Ⅰ)知函数在上是增函数,……5分所以当时,,即,则.……8分令,则有,………………9分当时,有,因此在上是增函数,所以有,即可得到.………11分综上有().
………………12分21.已知圆O:x2+y2=1的切线l与椭圆C:x2+3y2=4相交于A,B两点.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;(Ⅱ)求证:OA⊥OB;(Ⅲ)求△OAB面积的最大值.参考答案:【考点】椭圆的简单性质.【分析】(Ⅰ)由题意可得椭圆的a,b,c,由离心率公式可得所求值;(Ⅱ)讨论切线的斜率不存在和存在,设出直线方程,联立椭圆方程,运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示,化简整理,即可得证;(Ⅲ)因为直线AB与圆O相切,则圆O半径即为△OAB的高.讨论当l的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知|AB|=2.则S△OAB=1.当l的斜率存在时,运用弦长公式和点到直线的距离公式,运用基本不等式可得面积的最大值.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知a2=4,,即有.则.故椭圆C的离心率为;(Ⅱ)证明:若切线l的斜率不存在,则l:x=±1.在中,令x=1得y=±1.不妨设A(1,1),B(1,﹣1),则.可得OA⊥OB;同理,当l:x=﹣1时,也有OA⊥OB.若切线l的斜率存在,设l:y=kx+m,依题意,即k2+1=m2.由,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣4=0.显然△>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,.所以.所以=====.所以OA⊥OB.综上所述,总有OA⊥OB成立.
(Ⅲ)因为直线AB与圆O相切,则圆O半径即为△OAB的高.当l的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知|AB|=2.则S△OAB=1.当l的斜率存在时,由(Ⅱ)可知,====.所以=,(当且仅当时,等号成立).所以.此时,.综上所述,当且仅当时,△OAB面积的最大值为.22.(本题满分10分)某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:,,,,.(1)
求图中a
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