广东省云浮市罗镜第三高级中学2019年高三数学理月考试题含解析

广东省云浮市罗镜第三高级中学2019年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值．【详解】对于函数且，令，求得，，可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，，则，故选：C．2.已知,且，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A∵∴∵∴，则.∵∴故选A.

3.函数的零点为（

）A.1,2

B.±1,-2

C.1,-2

D.±1,2参考答案：C由得，即，解得或，选C.4.设U＝R，M＝{x|x2－2x>0}，则?UM＝()A．[0,2]B．(0,2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)参考答案：A5.已知数列{}的前n项和=-1（a是不为0的常数），那么数列{}

（

）

A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.或者是等差数列或者是等比数列

D.既不是等差数列也不是等比数列参考答案：C略6.已知函数（其中）的一个对称中心的坐标为，一条对称轴方程为．有以下3个结论：①函数的周期可以为；②函数可以为偶函数，也可以为奇函数；③若，则可取的最小正数为10．其中正确结论的个数为A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：C7.已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且(4a-b)·(a+3b)＝2，则向量a，b的夹角θ为A．

B．

C．

D．参考答案：A8.设，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C9.已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】可以看出，f（x）是偶函数，并且在[0，+∞）上单调递增，从而得出，并且可以得出，从而由f（x）在[0，+∞）上的单调性即可得出a，b，c的大小关系．【详解】f（x）是偶函数，在[0，+∞）上单调递增；∴b＝f（log0.23）＝f（﹣log0.23）；∵50.2＞50＝1，；∴；∴；∴b＜c＜a．故选：A．【点睛】本题考查偶函数的定义，对数函数的单调性，指数函数的单调性，以及增函数的定义．10.已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（）A． B．2 C．4 D．8参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF.=，=，由于=（3，1），=（1，3），=6．可得==.=．由于S平行四边形DEQF==8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为λμ=λ+μ，利用基本不等式的性质可得λ+μ≥4．由（1＜λ≤a，1＜μ≤b），可得，于是x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．即可得出．【解答】解：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF．=，=，=（3，1），=（1，3），=6．∴=，∴==．∴==．∴S平行四边形DEQF==（λ﹣1）（μ﹣1）×=8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为（λ﹣1）（μ﹣1）=1，∴λμ=λ+μ≥，可得λμ≥4，∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．∵（1＜λ≤a，1＜μ≤b），∴==（1，﹣1）+λ（3，1）+μ（1，3），∴，∵1＜λ≤a，1＜μ≤b，∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．∴a+b≥λ+μ≥4，∴a+b的最小值为4．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的最大值是

参考答案：略12.已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为

．参考答案：13.如图，茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数，其中有一个被污损，若乙的中位数恰好等于甲的平均数，则·的值为_________．

参考答案：【分析】乙的中位数为，设的值为，则，可得的值．【详解】解：乙的中位数为，设的值为，所以，解得，故填：．【点睛】通过茎叶图考查学生对中位数和平均数的理解，简单的计算问题，属于简单题．14.经过圆的圆心，并且与直线垂直的直线方程是

．参考答案：试题分析：由题设可知圆心的坐标为,所求直线的斜率为,则所求直线的方程为,即.考点：直线与圆的方程．15.设为等比数列，其中，，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出结果为

▲

．参考答案：4 16.将函数y=sin（x﹣），x∈R的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的解析式为．参考答案：y=sin（x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（x﹣），x∈R的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x﹣）的图象；再向左平移个单位，所得函数的解析式为y=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣），故答案为：y=sin（x﹣）．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．17.已知实数a，b满足，则a＋b最大值为

．参考答案：由得，由基本不等式得，则可发现，解得，所以a＋b最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直三棱柱中，，，是棱的中点.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.参考答案：(1)取中点，联结，，∵，，∴，又∵是直三棱柱，建立如图空间直角坐标系，根据题意得，，，，，∴，，，∴，，∴平面，∴平面平面.(2)设平面的法向量为，则，即，令，则，，于是，同理，得平面的法向量，∴，即二面角的余弦值是.19.(本小题满分12分)如图，在正方体中，分别为棱的中点。

（Ⅰ）试判截面的形状，并说明理由；

（Ⅱ）证明：平面平面。参考答案：

解：（Ⅰ）截面MNC1A1是等腰梯形，……1分

连接AC，因为M、N分别为棱AB、BC的中点，

所以MN//AC，MN≠AC又是梯形，…4分易证是等腰梯形………………6分

（Ⅱ）正方体ABCD—A1B1C1D1中，……………8分，…………10分∴平面MNB⊥平面BDDB……12分略20.设函数．(l)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递增区间．参考答案：（1）

（2）由

解得

所以的单调递增区间为略21.已知函数，其中，，，，且的最小值为，的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，的图象关于原点对称.（1）求函数的解析式和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，求.参考答案：（1）f（x）＝2sin（x+），递增区间为:；（2）【分析】（1）由题意可求f（x）的A和周期T，利用周期公式可求，利用正弦函数的对称性可求，可得f（x）的解析式和单调递增区间；（2）由余弦定理，结合已知条件，求出B,代入f（x）化简求值即可.【详解】（1）∵函数，其中，，，函数的最小值是-2，∴A＝2，∵的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴T＝，解得：.又∵的图象关于原点对称，f（x）的图象关于对称.∴，解得：，又∵，解得：．可得：f（x）＝2sin（x+）．因x+，，，所以f（x）的递增区间为:.（2）在中，满足，由余弦定理得，化简，所以=，且，=2sin（+）=【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，正弦函数的值和单调区间，也考查了余弦定理，属于中档题．22.已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间[0,+∞)上只有一个零点，求a的取值范围．参考答案：（1）；（2）【分析】（1）求函数导数，由可得极值点，进而得极值；（2），令，得，，讨论两根的大小关系进而得函数的单调性，从而可得函数有唯一零点时的条件.【详解】（1）当时，，定义域为，，令，得．当时，；当时，．所以，函数