简单逻辑联结词、全称量词与存在量词 教案

简单逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理.全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“V”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“m”表示.(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题.“对M中任意一个X，有p(x)成立"用符号简记为：Vx€M,P(x).(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题.“存在M中元素x0,使P(x0)成立"用符号简记为：3x0€M,P(x0)..含有一个量词的命题的否定命题命题的否定Vx€M,p(x)3x0€M,-p(x0)3x0€M,p(x0)Vx€M,-p(x).命题p八q,pVq,「p的真假判定pqpAqpVq-p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真.确定pAq,pVq,-p真假的记忆口诀如下：pAq一见假即假，pVq一见真即真，p与-p一真假相反..“pVq”的否定是“(-p)A(-q)”；“pAq”的否定是“(-p)V(-q)”..“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理..含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”..命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则-q"，否命题是“若「p，则.命题p：“Vx€N*，©x《"的否定为（Vx枷*，3x€N*，A.Vx€NVx枷*，3x€N*，C.3x枷*，^2）x>2D.答案D解析全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D..如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么()A.命题p一定是真命题.命题q一定是真命题C.命题q一定是假命题D.命题q可以是真命题也可以是假命题答案D解析...-p是真命题，，p是假命题，又pAq是假命题，，q可真可假，故选D.3.若命题"3x0€R，x2+3-1)x0+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是()[-1,3]B.(-1,3)C.(-8，-1]U[3，+8)D.(-8，-1)u(3，+8)答案D解析因为命题“三%0ER,%0+3-1)/+1<0”等价于“%2+(。-1)/+1=0有两个不等的实根”，所以/=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.4.命题。甲的数学成绩不低于100分，命题q:乙的数学成绩低于100分，贝IJpV(-q)表示()A.甲、乙两人数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C甲、乙两人数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分答案D解析因为命题q:乙的数学成绩低于100分，所以命题-q表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题PV(-q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分.故选D.5．下列说法正确的是()A.命题“若I%1=5,则%=5”的否命题为“若I%1=5,则%W5”"%=-1”是“%2-5%-6=0”的必要不充分条件C.命题“3%0€R,3%2+2%0-1>0”的否定是“V%€R,3%2+2%-1<0”D.命题“若％=y，则sin%=siny”的逆否命题为真命题答案D解析A中，命题“若I%1=5,则％=5”的否命题为“若I%IW5,则%W5”，故A不正确；B中，由%2-5%-6=0,解得%=-1或％=6,所以“%=-1”是“%2-5%-6=0”的充分不必要条件，故B不正确；C中，“3%0€R,3%2+2%0-1>0”的否定是“V%€R,3%2+2%-1W0”，故C不正确；D中，命题“若%=y,则sin%=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确，故选D.6.已知命题P：不等式a%2+a%+1>0的解集为R,则实数a€(0,4)，命题q:“%2-2%-8>0”是“%>5”的必要不充分条件,则下列命题正确的是()A.pAqB.pA(-q)(-p)A(-q)D.(-p)Aq答案D[a>0,解析命题p：a=0时，可得1>0恒成立；aW0时，可得｛，八解得0<a<4,综上，可得〔/=a2-4a<0,实数a€[0,4)，因此p是假命题，则-p是真命题；命题q:由%2-2%-8>0解得%>4或%<-2.因此“%2-2%-8>0”是“%>5”的必要不充分条件，是真命题，故(-p)Aq是真命题.故选D.核心考向突破考向一含有逻辑联结词命题真假的判断例1(1)在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次.设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为()A.(-p)V(-q)B.pV(-q)C.(-p)A(-q)D.pVq答案A解析命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”.故选A.(2)(2020.安庆模拟)设命题p：3%0€(0，+8)，%0+1>3,命题q:V%€(2,+-),%2>2%，则下列命%0题为真的是()A.pA(-q)B.(-p)AqC.pAqD.(-p)Vq答案A解析命题p：3%0€(0，+8)，%0+%1>3，当%0=3时，%0+1=¥>3，命题p为真；命题q:V%€(2,+-)，%2>2%，当%=4时，42=24,命题q为假，所以pA(-q)为董，故选A.触类旁通4判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式.(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性.(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p和"真假相反"，作出判断.［即时训练］1.已知命题0：3x>e,g)x>lnx；命题q:Va>1,b>1,logab+2logba三22,则下列命题中为真命题的是()A.(-p)AqB.pAqC.pA(-q)D.pV(-q)答案ATOC\o"1-5"\h\z解析因为Vx>e,©x<1<lnx，因此命题p是假命题；因为Va>1,b>1,logab>0,logba>0,所以logJb22+2logba=logab+logb三2logab•logb=22，当且仅当logab=2时取等号.因此q是真命题.则为真命题的是(-p)Aq.故选A.a2.设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为2；命题q:函数V=cosx的图象关于直线％=；对称.则下列判断正确的是.①p为真②-q为假③pAq为彳假④pVq为真⑤(-p)A(-q)为真⑥-(pVq)为真.答案③⑤⑥解析p,q均为假，故pAq为假，pVq为假，(-p)A(-q)为真，」(pVq)为真.精准设计考向，多角度探究突破考向二全称命题、特称命题角度1全称命题、特称命题的否定例2(1)(2019•贵州联考)已知命题p:Vx>0,总有(x+1)ex>1,则-p为()3xoW0,使得(x0+1)exo<13x0>0,使得(x0+1)ex0W1Vx>0,总有(x+1)exW1VxW0,总有(x+1)exW1答案B解析命题p：Vx>0,总有(x+1)ex>1的否定为3x0>0,使得(x0+1)ex0W1,故选B.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数答案B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”.一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论.如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定.[即时训练]3.命题“V%€R,MWN*，使得〃力2”的否定形式是()Vx€R,m〃€N*，使得Vx€R,V〃€N*，使得3x0€R,m〃€N*，使得〃<与3x0€R,V〃€N*，使得答案D解析先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论.故选D.4.命题“奇数的立方是奇数”的否定是.答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”.角度2全称命题、特称命题真假的判断例3以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数%，使％2W0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数％，使]>2答案B解析选项A中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A是假命题；选项B中，当％=0时，％2=0,所以B既是特称命题又是真命题；选项C中，因为2+(-2)=0不是无理数，所以C是假命题；选项D中，对于任意一个负数％，都有[<0,不满足1>2,所以D是假命题.故选B.触类旁通4全称命题与特称命题真假性的两种判断方法错误!未指定书签。不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真[即时训练]5.(2020.江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.Vx€R,f(-x)Wf(x)B.Vx€R,f(-x)W-f(x)C.3x0€R,f(-x0)Wf(x0)D.3x0€R,f(-x0)W-fx0)答案C解析设命题P：Vx€R,f(xx)=f(-x),「fx)不是偶函数，，p是假命题，贝卜p是真命题，又「p：3x0€R,f(-x0)Wfx0),故选C.考向三利用复合命题的真假求参数范围例4(1)(2019。山西大同质检)已知命题p:“Vx€[0,1],aNex"；命题q：“3x°€R,使得x2+4x0+a=0”.若命题“pAq”是真命题，则实数a的取值范围为()A.[1,4]B.[1,e]C.[e,4]D.[4,+8)答案C解析若命题“pAq”是真命题，那么命题p,q都是真命题.由Vx€[0,1],aNex,得aNe;由3x°€R，使号+4x0+a=0,知/=16-4aN0,则aW4,因此eWaW4.则实数a的取值范围为[e,4].故选C.(2)(2019。金华联考)已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若“pVq”为真命题，“pAq”为假命题，则实数m的取值范围是.

答案(1,2]U[3,+8)[A=mi-4>0,解析P为真命题，有八解得机>2.[-m<0,q为真命题，有/=[4(机_2)]2_4X4XkO,解得1vwv3.由“P'q”为真命题，“PM”为假命题，知P与夕一真一假.,fm>2,、当P真9假时，由得机三3；〔机W1或机三3,仇W2,当P假9真时，由得kmW2.ll<m<3,综上，实数机的取值范围是(1,2]U[3,+8).触类旁通4根据命题真假求参数的方法步骤错误!未指定书签。(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况；本例(2)中有两种情况).错误!未指定书签。(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围.错误!未指定书签。(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.[即时训练]6.已知命题p关于％的不等式ax>1(a>0,aW1)的解集是{xIx<0},命题q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R,如果pVq为真命题，pAq为假命题，则实数a的取值范围为.答案(0,[u[1,+8)解析由关于x的不等式ax>1(a>0,aW1)的解集是{xIx<0},知0<a<1；由函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为区，知不等式ax2-x+a>0的解集为R,则.>0，解得a>1.〔/=1-4a2<0,2因为pVq为真命题，pAq为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或"p真q假a三a三1,引1a>20<a<1,或<1aW2,解得a三1或0<a<1,故实数a的取值范围是(0,[u[1,+8).课时作业1.命题“3x0€[rQ,x3€Q”的否定是()A.3x0建[rQ,x0€QB.3x0€〕rQ,x0€QC.Vx4rQ,x3€QD.Vx€〕rQ,x3+Q答案D解析该特称命题的否定为“Vx€[rQ,x3+Q”..(2019.梅州质检)下列命题中的假命题是()A.Vx€R,ex-1>0B.Vx€N*,(x-1)2>0C.3x€R,Inx<1D.3x€R,tanx=2答案B解析因为当x=1时，(x-1)2=0,所以B为假命题，故选B..(2020.河北保定模拟)命题“Vx€R,fx).g(x)W0”的否定是()

V%€R,f(x)=0且g(x)=0Vx€R,f(x)=0或g(x)=03x0€R,fx0)=0且g(x0)=03x0€R,fx0)=0或g(x0)=0答案D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“Vx€R,fx)g(x)W0”的否定是“3x0€R，fx0)=0或g(x0)=0”.故选D..下列命题的否定是真命题的是()A.有些实数的绝对值是正数.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D.3是方程x2-9=0的一个根答案B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A,C,D是真命题，B是假命题.故选B.5.设非空集合P,。满足PnQ=?，则()A.Vx€Q，有x€PB.Vx+Q，有xqPC.3x0+Q，使得x0€PD.3x0€P,使得x0建Q答案B解析因为PnQ=P,所以P&Q，所以Vxq。，有xqp,故选B.(2019U西太原模拟)已知命题p:3x0€R,x2-x0+1三0；命题q:若a<b，贝|，则下列命题中为真命题的是()A.pAqB.pA(-q)C.(-P)AqD.(-p)A(-q)答案B解析x2-x+1=Q-2)2+4三4>0,所以3x0€区，使x2-x0+1N0成立，故p为真命题，-p为假命题，又易知命题q为假命题，所以「q为真命题，由复合命题真假判断的真值表知pA(-q)为真命题，故选B..下列命题中的假命题是()B.3x€R,cosx=1D.B.3x€R,cosx=1D.Vx€R,2x>0C.Vx€R,x2>0答案C解析因为log21=0,cos0=1,所以选项A,B均为真命题，又02=0,所以选项C为假命题，故选C..命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A.对任意实数x，都有x>1B.不存在实数x，使xW1C.对任意实数x，都有xW1D.存在实数x，使xW1答案C解析由特称命题的否定为全称命题，可知原命题的否定为对任意实数x，都有xW1..(2019・南宁模拟)已知命题p：Vx>0,ln(x+1)>0；命题q:若a>b，则a2>b2,下列命题为真命题的是()A.pAqB.pA(「q)C.(-p)AqD.(-p)A(-q)答案B解析由x>0时x+1>1,知p是真命题，由-1>-2,(-1)2<(-2)2可知q是假命题，即p,-q均是真命题.故选B..(2019・淮北模拟)命题p：若向量a•b<0,则a与b的夹角为钝角；命题q:若cosa•cos胃=1,则sin(a+份=0.下列命题为真命题的是()A.pB.qC.pAqD.pVq答案D

解析若a,b共线且方向相反时，a•b<0,但a与b夹角为n,故p是假命题.若cosa•cosB=1,则|cosa=1,|cosa=-1,j或1「.sina=sinB=0,.’.sin(a+B)=sinacosB+cosasinB=0,故q是真命题，p,〔cosB=11cosB=-1,-q,pAq均为假命题，pVq为真命题，故选D.11.短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一〜六名)，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q,“丙得第三名”为r，若pVq是真命题，pAq是假命题，(-q)Ar是真命题，则选拔赛的结果为()A.甲第一、乙第二、丙第三B.甲第二、乙第一、丙第三C.甲第一、乙第三、丙第二D.甲第一、乙没得第二名、丙第三答案D解析(-q)Ar是真命题意味着-q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；pVq是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与pAq是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名.故选D.(2019・衡水中学模拟)已知fx)=ln(x2+1)，g(x)=&x-m，若Vx1w[0,3],3x2€[1,2]，使得1]4_D.1—8,一1f(x1)三g(x2)1]4_D.1—8,一1a.[4，+8)C,1，+8)答案A解析当x解析当x€[0,3]时，fx)min=f(0)=0,当x€[1,2]时，g(x)min=g⑵=4一m，由f(x入/g(xLn，得0/-m，所以m三4.故选A..已知命题p:Vx€R,2x<3x，命题q：3x€R，x2=2-x，若命题(-p)Aq为真命题，则x的值为.答案-2解析因为「p：3x€R,2x三3x，要使(-p)Aq为真，所以「p与q同时为真.由2x三3x得(1)x三1,所以xW0.由x2=2-x得x2+x-2=0，所以x=1或x=-2.又x忘0，所以x=-2.TOC\o"1-5"\h\z.(2019•福建三校联考)若命题：“3x0€R，使得3x2+2ax0+1<0”是假命题，则实数a的取值范围是.答案[-3，3]解析命题“3x0€R，使得3x2+2ax0+1<0”是假命题，即“Vx€R,3x2+2ax+1三0”是真命题，故/=4a2-12W0,解得-3Wa&3.即实数a的取值范围为[-3，3]..已知命题p：x2+4x+3三0,q：x€Z，且“pAq”与“-q”同时为假命题，则x=.答案-2解析若p为真，则x三-1或xW-3,因为“-q”为假，所以q为真，即x€Z，又因为“pAq”为假，所以p为假，故-3<x<-1.由题意，得x=-2.