立体几何空间向量的计算

立体几何空间向量的计算【知识梳理】空间中任意两个向量必共面.空间中两向量的加减、数量积、数与向量积的运算及运算律与平面向量完全一样.共面向量定理和空间向量分解定理由“二维”扩充到“三维”.1.向量的有关概念：向量、向量的模、零向量、单位向量、相等（反）的向量、共线（平行）向量、共面向量、向量的夹角、向量的线性表示、法向量、方向向量.2．向量的运算及几何表示：（1）加法：；（_2_）_减_法_：；_（_3）_数_乘_向_量_：（4）向量的数量积：①定乂：ab=abcosa,①定乂：ab=abcosa,b;②cosa,b=IIIah用于求向量的夹角;个向量垂直.重要定理：（1共线向量定理：a//bo存在实数九使（）共面向量定理:向量（）共面向量定理:向量p与两不共线“a亍共面0存在实数对、，使推论：若、、不共线，OP=xOA+yOB］则pa共线O（）空间向量基本定理:若a、b、m不共面，则存在唯一的使p推论:若、、、不共面，OP=xOA+yOB+zOC贝U、、、共面O．空间向量的坐标运算：（）a±．空间向量的坐标运算：（）a±b=若a=(a,a,a),b=(b,b,b),则12,123；九a=_a_b=；；()a/ibo*_Lbo()模长公式：Ia1=TOC\o"1-5"\h\z―A-A()夹角公式cosa-b=()若A(x,y,z)，B(工,y,z)，(％y,z)则ab=1112233|AB|=；A中点P的坐标是；三角形的重心的坐标是求平面法向量的方法：设n=（x,y,z）是平面a的一个法向量，、是平面a内的两条相交直线，则nAB=0,nCD=0由此求出一个法向量

【经典例题】例、如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，设加1a,abb,adc,M,N,P分别是AA,BC,CD的中点，试用a,b,c表示以下各向量：(、)AP；(2)A1N；(3)MP+NC1练习：已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,设M,G分别是BC,1列各表达式,并标出化简结果向量：(1)AB+BC+CDAB+2(BD+B,)AG—2(AB+Af)例、已知点P(x,y,z)()点p(x,y,z)关于xoy平面的对称点为()点p(x,y,z)关于yoz平面的对称点为()点p(羽y,z)关于％oz平面的对称点为()点P(羽y,z)关于％轴的对称点为()点P(羽y,z)关于y轴的对称点为()点P(羽y,z)关于z轴的对称点为()点p(x,y,z)关于原点的对称点为例、设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,若点P满足向量关系OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)试问：P、A、B、C四点是否共面？例、()若A02—)B，，—)C-1—是平面a内三点，设平面a的法888向量axyz则X:y:Z()已知A(io)、B(,i)、C(,o)，则平面ABC的一个单位法向量是(写出一个即可)例、如图，在空间四边形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,/OAC=45,/OAB=60,求OA与BC的夹角的余弦值.00【课后作业】-Hr—>—&■-Hr―、在下列命题中：①若4、b共线，则4、b所在的直线平行；②若4、b所在的直线是异面直线，则4、b一定不共面；③若4、b、C三向量两两共面，则4、b、C三向量一定也共面；④已知三向量4、b、C，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=X4+yb+zc.其中正确命题的个数为()2、已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与A,B,C定共面的是OM=OM=OA+OB+OCOM=2OA—OB—OC(C)(C)OM=OA+1OB+1OC2>(D)OM=3OA；OB3CC—►—►—►3、已知向量4=(2,—1,3),b=(举,2,x)，使4±b成立的x与使4夕b成立的x分别为(),A．B.-10,66

3、已知4=(A．B.-10,66

3、已知4=(2—),b=(一10C.-6,—,66—►3,—),C=(710D.6,--,66,人)，若4、b、c三向量共面，则实数人等于A62B6377、已知^的三个顶点为(，中线长为64)，)，()657(05)，贝U边上的()6、若A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,—1,4),则4ABC的形状是()A.不等边锐角三角形B.直角三角形C钝角三角形D.等边三角形、在空间直角坐标系-Xyz中点在平面xOy内的射影的坐标为点关于平面xOy的对称点的坐标为8、已知点G是AABC的重心，O是空间中任一点，若OA+OB+OC6OG，则九的值为.上—9已知向量4=(1,1,0),b=(1,0,2),4在b方向上的射影是_.10、已知力F1=(12,3),F2=(-2,3,-1),Fj(3,-+5),若F1,F2,F3共同作用于同一物体上，使物体从M](0,-2,1)移到M2(3,1,2),则合力作的功为.

立体几何空间向量的应用【知识梳理】、四点共面的证明：、、、四点共面的充要条件是OP=xOA+yOB+zOC（x+y+z=1）.、直线l,l的方向向量是a,b，平面a,p的法向量是n,n,平面a内不共线向量c,d,12①ll12①llo12②l±lo123、空间的角的计算：；__l1/_/a_o_la

_^^^_^1；a>Po_aPo①线线角：求方向向量的夹角或其补角，②线面角：-Ia-nI②线面角：0「1।IaIInI1③二面角：求法向量的夹角或其补角小10③二面角：4、空间的距离的计算：（平面a的法向量为n）①两点间的距离的计算：基向量法或两点间的距离（坐标）公式：②点到平面的距离的计算:直线与平面②点到平面的距离的计算:直线与平面a交于点In•AnBI,则点到平面a的距离hInnI③异面直线的距离的计算：若a、b是两异面直线，n是a和b的法向量，点E£a,F£b,则异面直线a与b之间的距离是,In•EFId=——InI④直线到平面的距离和平面与平面间的距离的求法：转化成点面距离»【典型例题】一»0例、如图所示，已知点P在正方体ABCD-A’B‘C‘D’的对角线BD,上NPDA

求DP与CC’所成角的大小求DP与平面AA’D’D所成角的大小

03，例、在三棱锥S—ABC中，AABC是边长为的正三角形，平面SAC，平面ABC,3，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示求点B到平面CMN的距离例、如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AFiM是线段EF的中点求证：()AM〃平面BDE；()AM，平面BDF【能力提升】例4如图，四边形ABCD为正方形，PD，平面ABCD,PD//QA,QA=AB=|PD.(1)证明：平面PQC，平面DCQ；求二面角一一的余弦值.例、如图，四棱锥P—ABCD中，PA，底面ABCD.四边形ABCD中AB±AD,AB+AD=4,CD=2,NCDA=45°.(1)求证：平面PAB，平面PAD；(2)设AB=AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长;②在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到P、B、由．例、如图1—6,在四棱锥P—ABCD中，PA，平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,ZBAD=60°.(1)求证：BD，平面PAC；(2)若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦