立体几何大题

第第页(共30页)第第27页（共30页）则4(0,-2,4),B(0,-2,0),D(0,2,2),E(2g,0,0).于是丽=(-273,2,2),扇=(-2次,-2,4),丽=(-273,-2,0).设平面E4D则4(0,-2,4),B(0,-2,0),D(0,2,2),E(2g,0,0).于是丽=(-273,2,2),扇=(-2次,-2,4),丽=(-273,-2,0).设平面E4D的法向量为为二(%1,yi,zi)，则「缶1-兀+24=0,[-V3%1+y1+z1=0.取Z1=2,则％=«3,1,2),设平面BDE的法向为后=(%2,y2,z2),则产%2+丫2=0,-V3%2+y2+z2=0.取第2=1，则元2=(1,-V3,2V3).cos伍•几〉=，3-0+1，3=显,112V8.V164即二面角4-DE-B的平面角的余弦值为鱼.423.(1)作4P1CD于点P,如图，分别以4B,系.4P,40所在直线为％,y,z轴建立空间直角坐标则4（0,0,0），B（1。。），P（04。），D—事），。（。。2），MS。1）,'（1-9+0）,设平面0CD的法向量为五=（%,y,z）,则五・OP=0，力・。。=0,取z=V2,解得力=（0,4,72）.&y-2z=0,即2__、一返％+返&y-2z=0,即2__、一返％+返y-2z=0.22•••MN〃平面OCD.(2)设AB与MD所成角为仇-AB=(1,0,0)，MD=(-应，应，-1),22...cose=睥%=匕|ab|-|md|2・•.e=n，AB与MD所成角的大小为；.(3)设点B到平面OCD的距离为由则d为5B在向量力=(0,4,夜)上的投影的绝对值，由丽=(1,0,-2)，得4=臂!=2，所以点B到平面OCD的距离为j.(1)方法一：由题意可知二面角D-AC-B的平面角为ND0B,即ND0B=0.D当0=90。时，即ND0B=90。，分别取DC,BD的中点M,N,连接OM,MN,ON,•••0M〃AD,MN〃BC,.ZOMN为异面直线AD与BC所成的角或其补角，在^OMN中，OM=2,MN=2,ON=V6,coszOMN=1，即异面直线AD与BC所成角的余弦值为144方法二：如图建立空间直角坐标系O-%yz,由题意可知A(2,0,0),D(0,0,2V3),B(0,2V3,0),C(-2,0,0),.AD=(-2,0,26),BC=(-2,-2低0),・•.cos(AD,BC)=4,即异面直线AD与BC所成角的余弦值为：(2)方法一：当0=60。时，即ZDOB=60。，由题意可知AC1平面DOB,ADOB为等边三角形，

取OB的中点则有。“1平面ABC,且川7=3,.••/A,c=VCARD^即1sA4“•0//=；5人4所・4(其中4为点0到平面48°的距离)，DABCCABD3AABC3MABDd=^V13,即直线BC与平面DAB所成角的正弦值-^-713.1313方法二：如图建立空间直角坐标系0xyz,题意可知4(2,0,0),£)(0,V3,3),8(0,275,0),C(2,0。,AD=(2,V3,3),AB=(2,2遮,0),前=(2,273,0).设平面4BD的法向量为五=(%,y,z),2x+V3y2x+V3y+3z=0,2x+2V3y=0,即可得n=(3,V3,1),设直线BC与平面DAB所成的角为cp.贝ijsincp=\n'B£\=%全■,|n|-|BC|13即直线BC与平面DAB所成角的正弦值-2-V13.13(1)设BE的中点为0,连接40,DO,因为4B=AE,BO=OE,所以401BE,同理。O1BE.又平面4BE1平面BCOE,平面4BEA平面BCDE=BE,所以401平面BCDE,由题意，BE2=2AB2=2DB2,所以ZB=BD=DE=a,0),不妨设04=a,以。为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系。％yz,则4(0,0,a),5(0,C(a,2a,0),D(a,0,0),E(0,a,0).a,0),所以AB=(0,—a,—a),DE=(-a,a,0),因为coslAB,DE)="竺二--a2_=—1,\AB\\DE\弋2a72a2所以AB与DE的夹角为120°,所以异面直线AB与DE所成角为60。.(2)设平面ACE的法向量为^=(.%^,2),因为AE=(0,a,—a),EC=(a,—3a,0),所以兀♦AE=0,五•EC=0,所以y=z且x=3y,取y=z=1,得x=3,所以平面ACE的一个法向量为兀