立体几何五 夹角的计算

空间向量在立体几何中的应用一：两直线的夹角：TOC\o"1-5"\h\zL当两条直线/与/共面时，我们把两条直线交角中，范围在「0,兀］内的角叫122作两直线的夹角.当直线/与/是异面直线时，在直线/上任取一点A作M〃/,1212我们把直线/和直线AB的夹角叫作异面直线I与/的夹角.112(一1异面直线的夹角的范围是.I2」2.直线夹角的向量计算方法：已知空间两条直线a,b，且A，C是直线a上不同的两点，B,D是直线b上不同的两点，设直线a，b的夹角9由向量AC,BD确定，满足COS6=।A。BD।IACI•IBDI要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补用作为两异面―*直线所成的角.>直线所成的角.例1.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面三二是矩形，，底面的中点，已知，求异面直线与所成的角的大小.的中点，已知，求异面直线与所成的角的大小.AC=BC，D为BB1【变式2】如图，直三棱柱ABC-ABC中，AA=AB=2,的中点，若异面直线ABAC=BC，D为BB1要点二：平面间的夹角TOC\o"1-5"\h\z.平面间的夹角的定义：平面兀与兀相交于直线/，12点R为直线/上任意一点，过点R，在平面兀上作直线/±11/，在平面兀上作直线l，/，则ll=R。我们把直线2212l和l的夹角叫做平面兀与兀的夹角1212.平面间夹角的向量计算方法:设平面兀与兀的法向量分别为〃和〃，平面兀与兀的夹角为0，则121212cos0=cosn，n=nJn2,两平面的夹角范围是。丁12nnL2.2“平面间的夹角”不同于“二面角”（1）二面角的有关概念部分可记部分可记都叫半平面.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.如图，作二面角a一a书或a一AB邛.（2）区别：（2）区别：构成范围表示法平面间的夹角二面角面-线-面半平面-线-半平面L。，;〕［。，兀］语言叙述语言叙述或符号表示例2.如图，在五面体ABCDEF中，E4，平面ABCD，AD〃〃庄，A5，AD,1一—一一一一，，…，，…、一AF=AB=BC=FE=AD,求平面ACD和平面CDE的夹角的余弦值.2变式：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱尸。，底面,OE,PD=DC,点E是PC的中点，作EF±PB交PB于点F.⑴求证：PB，平面EFD；⑵求平面与平面的夹角的大小.三：直线和平面的夹角.斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.如图，l是平面a的一条斜线，斜足为O，OA是l在平面a内的射影，ZPOA就是直线l与平面a的夹角.（1）直线和平面所成角的范围是「0—二2（2）最小角定理：斜线和射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角；.线面角的向量计算方法设直线l的方向向量为。，平面a的法向量为u，直线与平面所成的角为9，a与u的角为①，则有sin9=lcos6=例3.如图，在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角.变式：四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，NABC=45,AB=2,BC=22，侧面SBC1底面ABCD.SA=SB=3.0(I)证明SA1BC；(II)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值.S变式：如图，四棱锥P-ABCD中，AB=AP，PA，底面ABCD，四边形ABCD中，AB±AD，AB+AD=4，CD=2,/CDA=45。.若直线PB与平面PCD所成的角为30。，求线段AB的长.习题1：如图，在AABC中，/ABC60,/BAC=90。,是8。上的高，沿AD把ABD折起，使/助。=90。.设石为6。的中点，求与。6夹角的余弦值.习题习题2：如