立体几何中的 截面问题

立体几何中的截面问题aS儿aS儿例3：已知A后分别是四楼柱血好的梭8、珈1和q上的点，且献与助不平行.求作过这三点的截面.作法：0)连接行并延长交必延长线于点兀Q)在平面正如内连接以交融于点乩⑶连接姑桃则四边形网掰即为所求.例三如图，五棱等”破7近中，三条倒棱上各有一已知点网餐乐求作过汽鼠厅的截面,作法工⑴将侧面以夙PBC.的伸展得到三棱链—酩工⑵在便J面呼内，连结并延长交展于冗⑶在仰面出『内.连结并延性的交融于L⑷在像］面尸$丁内,连结或分别交融、用于故M(5)连结目K磔则五边形制晒即为所求的截面例0已知宜四棱柱3勺，尸在面々的Q内，。在面网曲研内.E在棱组上」画出过人口用三点的截面口作法：⑴过户作印工3于点凡过◎作Q『JU。于Q,（幻在底面被N内连接肝*SQ,并交于反⑶由平行线8、股作平面8阮连接驱⑷在平面8即内过网作阳工面M⑶交球于鼠⑸由平杼线严.朋］作平面呼朋一则江必落在面刊"4］内⑹在面所池［内，连接加并延长文同］于必⑺在面/幽内，连接卸,并延长交叫于£⑻在面4比q内』连接组并延长交81于T.⑼连接四；周L则变边形乐的'即为所求。££例法在侧棱和高的夹角为仃的正四棱锥中，求你一个过底面顶点且与这点所对侧极垂直的殿面（立＜45,3作法；⑴在平面弥7中.作越工宓于点反⑵在底面忠切内过力作品力即。延长皱如分别交&于点岚M⑷连接勒；时分别交明、副于点仄取⑸连接砾则多边形就溺即为所求.类型的载面经过的三个已知点两两不在同一面内的枝上.例1・文上三点分别在直四棱柱的棱的■和池上.试画出过R◎.R三点的截面JVJV【注】如果G在平面内时,在平而4G内作辅助平面PQCB分割出直四棱柱且斗跳―QR0r，又回到基本题型，任求得3人斗两点后，易得截面ERFAH若F在校且4匕F.G分剂任不经过核且4的两个而（共楂的两个面或相对的两个面＞内,则作截面’的步躲，仍是先作一个适当的辅助平的।归结为基本题型IXIX例六：E在平•而4月内,F在平而旦「内,仃在平面区A内，求过E.EG的世面解：如图，先作辅助平面在0PT.得到直五楼柱A^RQCJ).-ATPCD.连接EF并延长交P0的延长桂于，.按某本题型方法作出截面KHLS鹏」：E产分别在正方体的横月氏上，G住正方体的内部.求过EF.G的截面解：过行作GE，平一面且并延长交平而4G于K.伟辅助平面及PQB,连接EG并延长交尸0『R,r连接EF,在平面HR内过式作:TS/EF,连接痣和尸S,则所求截面为TEF5【总结X①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线.②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点.④若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个已知点，则按平行平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线.⑤若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为楼上的点的问题；若已知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决.

轴截面上网鸟的血积为在△白B和轴截面上网鸟的血积为在△白B和△FCDH疝1仪在（0,力可'或得最£曲L此时截面面田的最大值为sin2^2sm——sina=sinaG-711^由i£sin2^)-sm(7co"截而CDRC的面积为S='1m—果见冉例13：三棱椎A-BCD中，截卸EFGH与对棱AC.BD都平行，且与AB.BC.CD.DA交干E.FQ.H.则E.EGH在何处时.截而EFCFH面积聚大船士由T•而EFGH.过的平而交平而EFGHFEF.EFf/AC同理Z7G〃aC\所KEF〃HG,同理可证E7/〃FG.故EFGH是平行四边形i己£FEH=e,由EFHHC叩疗B0可扣异面直线HC与BD所成角为£或斤一夕4FRF由于三核健金一BCD是给定的，则8是定值，ia—=.v.—=V,Wx+v=lABAS-FfrfEH//BDn△且E9sEH//BDn△且E9s△4RD0ACAB-^TTTJJIT—=—=x^EH=xABt故BDAB三工*B3csl口日24S£rQH=EF.EH.suid=s*£水二疝1例《作截而尸。员,交线段作截而尸。员,交线段BU于5.试确定5的具体位较c——6例1①如图.正四曲体HR8U」，P是线段工B卜单近上的三等分点,p是线段AD上靠近0的"等分点.R是线段CD的中点,81"l解：设IB=瓦4「=uAD=d,则F0三FJ+4p=—二方十;d3SIIhMIIMl・.QR=QD^DR=QD+-(AC-AD)=-d^-{c-d)=-TOC\o"1-5"\h\z-3—2由戟而尸。区交践段sr干s.则尸工尸60田其陶,于是存在唯一的实数人m,便得FS=乂尸p+〃。氏.记惑=＞品『则后=而+函=476一豆=4一2%+巨333彳.2S4—4—所以V]=>Z=yJJ--._V=—+于是月S=gEC\汗=彳"所以5是线段BC上的聒近.点r的五等分点.例20：姆防留校台的匕下底宙阖积分期为5s.平狎于底面眸域面4百6//分的ET的比票L=色，截面面积为5口，求证；疯『后*麻H0Hfnjjj+仃证明；过/作aM_L/'B'『N,与《为交于MHH6hi…mHB5MB『ZSiMMN凡H'，,,口in+ji…阳+m例21若台体的和I面积被平行底面的截面自上而下分成用：ft,则截而面积5口="叫""'tH+H证明:以正桂台为例，51产江"Y"三二m$OT网CMas5।1_$§l=坦=s©="店1+*$匕5卜网5卜-5口n，〃+"若吉体海体枳被平行底面的威而自上而下分成〃「：〃33则敏而面积5口满足$2=一-———二个而的切点恰为△且二个而的切点恰为△且CR二边的中点,例桀过iE方体乂以「0―4声£口出时角线助Z前鼓面面积为5反二和心分别为$的最火值和最小值，求学的值口i¥HBl解二设M寸分别为血、“；的中电身证截面后脸I是边长为军的菱形GE方体核长设为iL其面积.Sw二好，而戕面把M是矩脱其面积二正.则屋41J-例23.如图.已轮球曰是校长为1的正方体一姐⑦-4鼠G盘的内切球.则呼而/康醯球0的戢而冏积为解;平面月C&是边长为石的iE三柏形.」1球与以点。为公共点的故所求截面的陶积是该正二角形的内切圆的面积，则由图得.Airq内切圆的半挖是当血邺=理则所求的截面留的面积是篇（当＞近92666设两球的体枳之和为“=2.武足+/）=!7T设两球的体枳之和为“=2.武足+/）=!7T依+「）［（/?+「『11.'J26：在极长为1的正方体内,例两域外切-并且乂分别司而方的内叨当球的半程为多少时.两球的部积之和最小？解；球体与正方体内切从正方体的对用面截取，Mira月4。。为过I求心的对角而.且彳==J5.aq=器l设两球半径分别为凡『一则有mq=#R.所以五十产十JI（我十/）=点=＞夫+『=三上■例二1在长方体有一个公共顶点户的三条接上分别各取异石产的点且丘。.得到一个截fliAJ5C,求证：△ARC'为锐用三角形=>ZEAF=工6=>ZEAF=工6一三2irrAE==10ADAE二不，同理Z_RzLFTOC\o"1-5"\h\z散后的长为正.巴=更■雷,这样的弧共有3条369在平面4片却以上，交线为元.图为半役为£,3/EgG二三，所以前的长为立二二占定.2326尸RsA这样的弧也有&条.故所得曲线代为匕父工-：用+w父上二斤工土"966例29：已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别毂球面得两个圜.若两圆的公共弦长为L则两圆的圆心距等于(),、A.1E.72aED,2Z,?二一解析；O］与0工的公共弦为AE,球心为0,貂中点为匚/［，二\则四辿膨0105r为矩形,iqqHoe「』Od|=，1小””所以I卜lwr_Loc:|uc|=J3ftZc『n6Jx例31：如部正方体ABCD—耳目QR的校长为晨P内成的中点.q为线段Cqk的动点,过点MPA的平面平面正方正所得的得而记为己则下列命题正确的是©当0<f0式3时，£为四边形②当C2=亍时r5为等腰梯形③当。。二号时，S与匕口的交点R满足€[&=?4j④当之<C0《1时，S为六边形⑤当C0=1时，E的面枳为』5Iz率2卜解.：设截面与R。相交于「购dT*PQH.4T=2PQ=>=2CQ.时①*当0:《0<工、则0<DT<L所以截面S为四位形，且S为梯族所以为真.对②,当Cp=-,DT=1口与"重合j截而S为四边形"pR,所以4P=D©截郁为等腰梯形.所以为真.对③，盟（70=三二>。&；上.QT

、4对③，盟（70=三二>。&；上.QT

、4-411111对④，.力匕〈。0工1时一3mDT汇1族面3与线段AeEvDC]相交”所以四边形S为五边42出.所以为假.对⑤当Cg=I时，Q与C;重告截面S与线段相交于中点G1即为菱形/PGG3对角线长度分期为无和"S的面积为立.所以为真.2SA-A/\zSA-A/\z儿例32；月mcz)-4与gr内正方体，任伟平而女与对华疑金。聿国使得*与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截而多边形的卿积为九周长为L则A.3为定僮，/不为定值艮3不为定值.『为定值U£与/均为定值[>.$与/均小为定值解:将正方体切去两个正三棱锥X-W5Q与C-D宙'(？后，得到一个以平一行r面HBZ)与D'R'C为上、下底面的几何体匕f的每个恻面都是等腰直角三角膨，碰面多边形W的每一条边分别与「的底面上的一条边平•行，将V的窗而沿段剪开.展平在一张平面上,得到一个平行四边形HE耳儿.而旁边形田的冏界展开后便成为一条与H4平行的线段f如图5E&),墟然二E'Ee.故？为定值.当F位于dF中点时，多边形卜为正六边形，而当E'移至正处时,中为」E三角形,尸F易知周长为定值,的正六边形与正三角形面积分别为仝产与卷产’故s不为定值./!/!例前:如图4,在透明的塑料树成的长方体冠CD7B3包容㈱内讲进一些水,固定容器底而•边时于地面上，再将容器畅斜,I®在倾斜程度的不同，有下列四个箭题；其中正确的命题件马•是一^①水的部分始终呈棱柱状：水面EFGH