整式的乘除及因式分解备课资料

整式的乘除及因式分解备课资料2011.11.07一、整式内容的特点：内容简洁、脉络清晰、操作性强在学习这张内容之前，学习了《整式的加减》、在学习这章内容之后，要学习《分式》《二次根式》《一元二次方程》和《二次函数》，这是承上启下的一章。二.教参对于本章的要求幂的运算了解整数指数幂的意义和基本性质能合理选择幂的性质解决简单问题整式的乘法及整式的四则运算理解整式乘法的运算法则，会四个以内单项式的乘法运算、一个单项式与一个多项式的乘法运算、两个一次（二项）式的乘法运算会简单的整式加减乘除的混合运算能灵活选用恰当的方法进行相应的代数式的变形平方差公式和完全平方公式会推导平方差公式、完全平方公式，了解其几何背景会推导平方差公式、完全平方公式，了解其几何背景根据需要进行相应的代数式的变形因式分解了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系会用提公因式法、公式法进行因式分解（指数是正整数）能运用因式分解的知识进行代数式的变形，解决有关问题三、对教参的解读下面我们结合教参，来看这一章具体的教学要求：（1） .使学生掌握同底数（正整数）幕的乘法、幕的乘方、积的乘方运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.理解法则中字母的广泛含义,培养学生对式子结构的变形能力。（2） .使学生掌握单项式乘以单项式、多项式乘以单项式以及多项式乘以多项式的法则，并运用它们进行运算。是本章的重点，类比数的运算，最终落到培养学生对式子结构的变形能力。在变形的过程（计算）体现转化.（3） .使学生能熟练地运用乘法公式（平方差公式和完全平方公式）进行乘法运算；理解乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生不易掌握，运用时容易混淆，乘法公式的灵活运用是本部分的难点。.因式分解既是本章的重点又是本章的难点。(分组分解法与十字相乘法讲不讲？到什么程度？)四、 总体课时安排(可酌情)整式的乘法 4课时乘法公式 2课时整式的除法 2课时因式分解 3课时数学活动及小结 2课时五、 具体课时安排第一部分：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方。(2课时)探索并归纳出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算性质同底数幂的乘法引入：(教材)一种电子计算机每秒可以运行1012次运算，它工作103秒可以进行多少次运算？幂的乘方引入：(教材)根据乘方的意义和同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律：(53)2=? (a3)2=? (am)2=?积的乘方引入：(教材)看看运算过程中用到哪些运算律？运算结果有什么规律？(ab)2=? (ab)4=(ab)・(ab)・(ab)・(ab)(2a3)4=(2a3)•(2a3).(2a3)•(2a3)能用代数式和文字语言正确地表述这些性质练习中常涉及的数学思想：负号的奇数次方和偶数次方、＞y与丫口的整体思想、形如2a的整体思想、形如2a与4.的转化思想、公式逆用的转化思想、已知结果引出的方程思想同底数幕的分层练习练习一：25x22= 5mx55= a3•a2=X2•(一x5)=一2x24x23= xm•x3m+1=练习二：(x-y)4•(X-y)3=(3a-b)5•(b-3a)3=(m-n)4•(n-m)•(n-m)3=练习三：1、 x3•xa•x2a+1=x31,求a.2、 2m=4,2n=16，求2m+n.3、 x3=m,x5=n，用含有m、n的代数式表示x14.练习四：

1、 an+1-am+2=a7且m-2n=1,求mn.2、 计算(-x)2n+1-(-x)2n3、 计算(y-x)2n+1-(x-y)2n幕的乘方分层练习例1：(1)(103)5 (2)[(3)3]4 (3)[(一6)3]4(4)(x2)5 (5)—(础)7 (6)—(as)3(7)(x3) 4・X2 (8) 2 (x2) n—(xn) 2 (9) [ (x2) 3】7例21.3(a2)4•(a3)3—(—a)・(34)4+(—2a4)2•(—a)3•(32)3(X4)2+(X2)4—X•(X2)2.X3—(—X)3•(—乂2)2•(—x)(Xm+n)2(-Xm-n)3+X2m-n(-X3)m 4[(y-X)3]4—[(x-y)4]3例31,计算 23x42x83 2.若(X2)m=X8，则m=3若[(X3)m]2=X12，则m=4若Xm・X2m=2，求X9m的值。5若a2n=3,求(a3n)4的值。积的乘方分层练习例1计算：(1)(—3x)3 (2)(—5ab)2(3)(Xy2)2 (4)(—2Xy3z2)4例2计算：(1)a3•a4•a+(32)4+(—34)2(2)2(X3)2.X3—(3X3)3+(5x)2.X7(2)(3)(anb3n)2+(a2b6)nC.C.1.2.并能正确、灵活地运用三个幂的运算性质解决相关的计算和化简问题(—)2011x(1.5)2012x(-1)2011/1、C(―—)2009X82009

口。注重拓展的适当性(公式的逆向变形)比较2皿和璀的大小已知为正数n且/=W=支试比较功大小已知/=2■质=3,求决心的值如果丁=3"求岌的值若A=23333,B-32222,C-51111.则A、B、C按大小排序为6.若a=78,b=87，则5656=(用a、b的代数式表示);7.已知2x+5y-3=0,求4，-32，的值;Eo注意稿点(3)x3+x3=/⑴a(3)x3+x3=/⑷苏/=/⑺(-出y=-a 2b4 2第二部分：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.(2课时)目标：学生主动参与探索过程中去，逐步形成独立思考，培养思维的批判性、严密性。探索并掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算.教学的关键是要学好单项式与单项式相乘，这是学好单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘的基础，并且后者可转化为前者的应用。本节教学重点是多项式与多项式相乘。多项式乘以多项式，也是运用乘法分配律转化为单项式乘以单项式。同时，也是学习乘法公式的前提，为学生经历由一般到特殊打下坚定地基础。一、单项式乘以单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幕的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算计算下列各题：, 1 、，…、，7、(1)4y-(-2xy2)②(-_a3)2-(-4ab2)(1)4y-(-2xy2)1 1 、⑶(__X105)2.(9X103)3 (4)(-2Xn+1yn+2)3.(-Xny2)23 8判断下列运算是否正确，错误的指出错的原因并给予改正。(1(1)9y7-9y7=18y14(2)3a2-2a3=6a6(3)2x3-4x5=8x8(4)(-(3)2x3-4x5=8x8 ,、3.已知代数式(-2ab2c)3-(—ab)2-(—a3c5)-(a2b2c2)4,2 22一…3 求当a=3,b=-3.5,c=7时这个代数式的值。二、单项式乘以多项式以数形结合的思想引入：以数形结合的思想引入：单项式与多项式相乘法则：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.【说明】(1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用.在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘每一项带着前面的符号乘下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？3a(b-c+a)=3ab-c+a-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2mTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument",C f1 )1化简计算.(1)(X3y-2X2y2+5xy3-6y4)--^x2y-2xy^x2-xy)k2 )-2xy^x2-xy)(2)-5x2f1xy-y2k3 )3a23a2b3)a=—,b=-1.2ab(3-b)一2ab-—b2

k2)3.解下列方程：2x(3x+6)-5x(x+2)=x(x—1)-82.先化简，再求值:4.当x=2时，代数式ax3+bx-7的值为5,则x=-2时，这个代数式的值为.设m2+m-1=0，求m3+2m2+2004的值.要使x(x2+a)+3x-2b=x3+5x+4成立，则a,b的值分别为多少？若n为自然数，试说明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的倍数.三、多项式乘以多项式：以数形结合的思想引入： (m+b)(n+a)=mn+ma+bn+ba多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想.(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.计算时是首先把(a+b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算计算：(1)(3x+1)(x—2) (2)(工-8y)(x-y)⑶(2n2+1)(2n+2)—(3n2+1)(n—1)先化简再求值。⑴(3a-b)(5+b+3a)，其中a=—1，b=—3.,A1 1 2(2)(3xy—3(-xy+只)，其中x=-，y=-3.(1)解方程：x(x2+x+D—x(x+1)2=(x+1)(3—x)(2)解不等式：(3x+4)(4x―5)v2x(6x+5)4.要使多项式x3—2x2+3x—7与2x2+ax+b的积不含x3项和x项，则a=b=5.(2x6一3x5+4x4一7x3+2x一5)(3x5一x3+2x2+3x一8)展开式中x8与x4的系数分别为 6.比大小A=(x+2)2 ,B=(x+1)(x+3),三个连续的偶数，中间一个是a,他们的积为()借助书148页2题和150页12题找规律：(。1+b)(cx+d)=(ac)x2+(ad+bc)x+(bd)2-奸其；(D (2)(3＞。+4)3-2)]w(＞-5)缶一3).由上的升算的的H携略.瑰暮岩国，＜«：；(工+p)(H+q)=( )h+(第三部分：乘法公式(2课时，平方差、完全平方各一节)目标：经历探索乘法公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力.会探究乘法公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算.平方差公式的探究计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(x+1)(x—1)=；(m+2)(m—2)=；(2x+1)(2x—1)=.上面各式中，相乘的两个多项式之间有什么特点？它们相乘的结果有什么规律？完全平方公式的探究计算下列各式，你能发现什么规律？(p+1)2=(p+1)(p—1)=；(m+2)2=；(p—1)2=(p—1)(p—1)=；(m—2)2= .上面各式中，相乘的两个多项式之间有什么特点？它们相乘的结果有什么规律？掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算.平方差公式(a+b)(a—b)=a2—b2(—a+b)(—a—b)=()2—()2(b+a)(—b—a)=()2—()2

(b—a)(—b—a)=()2—()2完全平方公式(a(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2一2ab+b2或合并为：(a或合并为：(a土b)2=a2±2ab+b2了解乘法公式的几何背景，体会数形结合的思想方法④添括号法则，体会整体思想a+(b+c)=a+b+c；a—(b+c)=a—④添括号法则，体会整体思想a+(b+c)=a+b+c；a—(b+c)=a—b—c.(1)(a+b+c)(a-b-c)=?(2)3 3(x+2y--)(x-2y+MA A3) a+b+c)2.⑤围绕下述变形方式的典型考题a2+b2=£+b22ab=a-b2+2ab+b2-1-b2=4ab(1)x-y=4,xy=2,求x+y(2)已知x2-3x+1=0，求x2+—和x4+—X2 x4一、平方差公式1.运用平方差公式计算下列各题(3x+5j)(3x-5j)(1)(2)(4x+7J2)(4x-7)2)(3)(2x3-3j4)(3j4+2x3)(4)(一ab+2)(-2-ab)(5)(x+5)(x-5)(x2+25)(6)(a—b+c)(-b—a—c)(7)(7)(3x2+J2)(J2-3x2)-9x2(J+x)(x-J)2.计算下列各题(1)10001x(1)10001x99991 1(2)900—x899—⑵ 2 23)(5a3+b2)2-(5a3-b2)2(4)(a+氐2+9)3-a扃+a4)(4)(a+氐2+9)3-a扃+a4)-6561(5)求值：1V1W1\

-II1-42J32人I・1V92人二、完全平方公式运用完全平方公式计算(1)(3x-5)2 (2)「-—a2b-—12V5 2)运用完全平方公式计算：(3)(2m一3n+5c)2(1)100.42(2)-79.92(3)20052-4010x2006+20062, 13.(1)已知a2+ka+^是一个完全平方式，求k的值(2)已知a2-a+k是一个完全平方式，求k的值(3)已知ka2+12a+9是一个完全平方式，求k的值注意公式的结构特征，避免公式运用的混淆：(1)(a+b)2与(—a—b)2相等吗？(2)(a—b)2与(b—a)2相等吗?(3)(a+b)2与a2+b2相等吗？(4)(a―b)2与a2―b2相等吗？利用公式计算⑴(2x-3)(2x+3)(4x2—9) ⑵(x—3y2)(3y2+x)2(3)(a-3b+2c)(—a—2c+3b) (4)(5x—2y)2-(5x+2y)26、 完全平方公式涉及的分类讨论思想m为何值时，x2-4x+m2是完全平方式？m为何值时，4x2-mx+9是完全平方式？m、x为何值时，完全平方式4x2-mx+1等于1？7、 配方法(1)填空：x2+6x+=(*；y2—4y+=()2；m2—10m+二(；n2+2n+二(规律:(2)a2—6am+9m2+|2m—b|+,'b——=0，求.3 ab2（3）x2+y2一10x+12y+61=0,求x+y.代数式X2-4x-5有最大或是最小值吗？说明x2+x+1>0.(6)已知：a、b、c是AABC的三边，且满足。2+b2+c2=ab+bc+ac,求证：AABC为等边三角形.三・乘法公式提高练习：已知x-y=3,xy=2,求x2+y2、(x+y)2的值。已知实数a,b满足(a+b)2=1,(a-b)2=25,求a2+b2+ab的值；如果二次三项式x2-6x+m2是一个完全平方式，那么m的值是多少？若(xT)(x+3)(x-4)(x-8)+m是完全平方式，求m的值；已知代数式x2+y2-6x+4y+20，试问x、y为何值时，这个代数式取最小值，并求出这个最小值试说明：对一切实数，x2+2x+3>0若 则xy的值等于多少？y2+4y+4+、;x+y-1=0计算:3(22+1)(24+1)(28+1)+1；化简G2+2x+1)-(2x+1)(x+1)2+x2][(x+1>+x4.求B、C的值，使下面的恒等式成立：x2+3x+2=(x—1)2+B(x—1)+C第四部分：整式的除法(2课时)一、知识点同底数幂的除法若a丰0,m,〃都是正整数，且m>〃，则am+an=am—n.零指数幂a0=1(a丰0).单项式的除法法则(略)多项式除以单项式的法则(略)二、课标要求

11考点11课标要求1 11 知识与技能目标 11 , , , 11 1 1 1 11了解1理解|掌握|灵活应用1111 11零指数 11 11V11 11VI1 11I111整式1的1 11同底数幕的除法法则 11 11111 1IVI1 11VI11 111 111除法111单项式除以单项式、多项11式除以单项式的法则 11 1111IIII1 1VII11111 1 11加、减、乘、除、乘方的|1简单混合运算 11 111111 1IIIVI1 11II 1三、知识梳理能熟练地运用幂的除法运算性质进行计算同底数幂的除法公式是进行除法运算的基础，也是中考的必考内容，运算时要注意符号问题，同时系数、指数也要分清.灵活地进行整式的混合运算整式的混合运算是考查的重点,・多项式除以单项式通常转化为单项式除以单项式.整式的乘除要与整式的加减区分开来，切勿混淆.因此要牢记运算法则.零次幂理解零次幂的意义,会判定零次幕的底数的取值范围,会求非零代数式的零次幂.乘法和除法的转化思想四、练习1、（1）（兀—3.14）0=。（2）函数y=（x—4）0+姨+!自变量取值范围是?2、4、2、4、5、若(a—4)0=1，则a.已知am=5,an=7,则am+n=若3m=6,9n=2,求32m-4n+1的值.3、若32x-1=1,则x=am-n=25、^x2 •x2—x5—6、6、8a3b5cv(-2ab)37.4(a+b*—-(a+b)33(3x2(3x2y-xy2+-xy)：(-—xy)(4a3b-6a2b2+2ab2)v(-2ab)10、1210、12、其中x—10，y—[(x-y)2+(x+y)(x-y)]m2x. 11、5ab2-{2a2b-〖3ab2-(ab2-2a2b)〗m(-1ab)}2125先化简，再求值ky+2)(y-2)-2x2y2+12513、 已知2x-y=10^（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）〗m4y的值。14、 已知一个多项式除以6x2+3x-5,商为4x-5，余数为-8，求这个多项式。

第五部分：因式分解（3课时）一、 知识点因式分解的意义。因式分解的方法：提公因式法;运用公式法.二、 中考课标要求考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用因式分解因式分解的意义V与整式乘法的区别与联系V因式分解的方法提公因式法VV运用公式法VV三、中考知识梳理区分因式分解与整式的乘法它们的关系是意义上正好相反,结果的特征是因式分解是积的形式，整式的乘法是和的形式,抓住这一特征，就不容易混淆因式分解与整式的乘法.因式分解的两种方法的灵活应用对于给出的多项式,首先要观察是否有公因式,有公因式的话，首先要提公因式，然后再观察运用公式还是分组.分解因式要分解到不能分解为止.（分组分解法与十字相乘法讲不讲？到什么程度？）四、易错点（1）公因式提得不彻底:（2）提公因式时漏项或者符号出错:察运用公式还是分组.分解因式要分解到不能分解为止.（分组分解法与十字相乘法讲不讲？到什么程度？）四、易错点（1）公因式提得不彻底:（2）提公因式时漏项或者符号出错:卜6axy+3ay2)2+2axy+ay23x2+5xy+x=x3x+5y'（3）a3b-ab分解不彻底： =aba2-1）（4）概念不清，部分分解：a%b2+1=（a+b）（a-b）+1（5）概念不清，分解完又乘开五、典型题目1、下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

B.a2-a-2=a(a-1)-2D.xB.a2-a-2=a(a-1)-2D.x2-4x-5=(x-2)2-9C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b);TOC\o"1-5"\h\z2、 若x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是( )(A)20 (B)10 (C)士20 (D)±103、 已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是()A、3个B、4个 C、6个 D、8个4、 若xi+kx—6有一个因式是(x—2)，则k的值是；5、若xz+mx+n能分解成(x+2)(x-5)，则m= ,n= ;6、 因式分解(1)(1)27a2—75(2)4x2y2一16xy2+16y2(3)m2(x+y)-n2(x+y)(4)4x4—8x2+4⑸2(⑸2(x2+y2)2—8X2y2(6)10a(x-y)2—5b(y—x)(7).an+1(7).an+1—4an+4an-1(8).x2(2x—y)—2x+y(9).x(6x—1)—(9).x(6x—1)—1(10).2ax—10ay+5by+6x(11).1—a2—ab—1b2(12).(x2+x)(x2+x—3)+21717、已知x+y=1,那么21x2+xy+2y2的值为8、若|m-1|+(*5)2=0,则m=,n=此时将mx2-ny2分解因式得mx2-ny2= .9、 已知a+b=5,ab=3,求代数式a3b-2a2b2+ab2的值.因式分解(ac+bd)-(bc+ad)利用(1)题，求(567x565+562x561)-(562x565+567x561)之值已知m2=n+2，n2=m+2(m。n)，求m3—2mn+n3.Iu.在球范胴内分解因式：⑴^-21 ⑵3T

II柬HL省股是整数叶.再个连续奇败的平方羞6+1并一⑵一】)「是&的嵌.I，某待产品的原料费价-因而厂家决危时产品ii行舅拼.现有三种方案：方案M第一次危份P%.第乙次提价4用.肯案幻瘟一次提情q始.蛰二次提价夕％・方案&第一.二次寞价均为学肱.其tp•噂是不相等的正数.三伸方案哪稗赛价最多？(提示:因为p/%3—打二莉一E如+/>0.所Ui/+/>2pq.>阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3上述分解因式的方法是 ？ ，共应用了？次.若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x'X+1" ，则需应用上述方法 ？次，结果是？・ 一 (x+丹―…分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1y+…+x (n为正整数)=？ .将51995-1分解成三个整数之积，且每一个因数都大于5100。六：分组分解法：a2-1+b2-2ab.x2+2xy+y2+2x+2y+1； a2-4a+4-b2已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ca+c+a=3，求(a+1)(b+1)(c+1)的值。七、简单的十字相乘法(或者拓展？)2+3+4危4~找=0+#)既+时， Q割刑①式可设将某些二此项底数是1的二次三项武命解面乳.例祀丁+阮+N存解因瓦.分蔬=，+讣+2中的二次硕慕敷是：L赏敝更2=1X2,—次:®系技3『1+Z,这是■-小必+(#十如探十如型式r予，群：SM+Z=(h+1海+2)“请利用①克格下列多顼式分解困式:mf+t卫+is (2)图① 图②C3J寸一彩+12； W