福建省龙岩市初三数学上册期中测试卷含答

第31页福建省龙岩市2023初三数学上册期中测试卷(含答案解析)福建省龙岩市2023初三数学上册期中测试卷(含答案解析)一、选择题〔本大题共11小题，每题4分，共40分〕1．抛物线y=〔x﹣1〕2+2的顶点是()A．〔1，﹣2〕B．〔1，2〕C．〔﹣1，2〕D．〔﹣1，﹣2〕2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，假设∠ABC=40°，那么∠AOC的度数为()A．20°B．40°C．60°D．80°3．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量到达为720吨．假设平均每月增长率是x，那么可以列方程()A．500〔1+2x〕=720B．500〔1+x〕2=720C．500〔1+x2〕=720D．720〔1+x〕2=5004．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，那么a的取值范围是()A．a＞﹣B．a≥﹣C．a≥﹣且a≠0D．a＞且a≠05．如图，以下图形中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．6．以下事件是随机事件的为()A．度量三角形的内角和，结果是180°B．经过城市中有交通信号灯的路口，遇到红灯C．爸爸的年龄比爷爷大D．通常加热到100℃时，水沸腾7．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=〔x﹣h〕2+k的形式，结果为()A．y=〔x+1〕2+4B．y=〔x﹣1〕2+4C．y=〔x+1〕2+2D．y=〔x﹣1〕2+28．一个圆锥的侧面积是150π，母线为15，那么这个圆锥的底面半径是()A．5B．10C．15D．209．将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为()A．y=x2﹣2B．y=x2+2C．y=〔x+2〕2D．y=〔x﹣2〕210．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦〔不是直径〕，AB⊥CD于点E，那么以下结论正确的选项是()A．AE＞BEB．=C．∠AEC=2∠DD．∠B=∠C．11．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点〔P与A、C不重合〕，点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．那么以下图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()A．.B．.C．.D．.二、填空题〔本大题共7小题，每题3分，共21分〕12．⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线L的距离为3.5cm，那么直线L与⊙O的位置关系是__________．13．如果扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是__________cm2，弧长__________cm．14．一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是__________．15．如下图，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是__________．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过平移得到抛物线y=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影局部的面积为__________．17．假设a、b〔a＜b〕是方程2x2﹣7x+3=0的两根，那么点〔a，b〕关于x轴的对称点的坐标是__________．18．如下图，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，那么AP+PB的最小值__________．三、解答题〔本大题共8题，共89分〕19．二次函数y=x2+2x﹣1．〔1〕写出它的顶点坐标；〔2〕当x取何值时，y随x的增大而增大；〔3〕求出图象与x轴的交点坐标．20．设点A的坐标为〔x，y〕，其中横坐标x可取﹣1、2，纵坐标y可取﹣1、1、2．〔1〕求出点A的坐标的所有等可能结果〔用树状图或列表法求解〕；〔2〕试求点A与点B〔1，﹣1〕关于原点对称的概率．21．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农〞优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，这种产品的本钱价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y〔千克〕与销售价x〔元/千克〕有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．〔1〕求w与x之间的函数关系式．〔2〕该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？〔3〕如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？22．如图，二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，交y轴于点C．〔1〕求直线BC的解析式；〔2〕点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．23．如下图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A〔﹣2，3〕，B〔﹣6，0〕，C〔﹣1，0〕．〔1〕请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标；〔2〕将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，求A点经过的路径长；〔3〕请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．24．如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．〔1〕求证：ON是⊙A的切线；〔2〕假设∠MON=60°，求图中阴影局部的面积．〔结果保存π〕25．〔13分〕关于x的一元二次方程kx2+〔3k+1〕x+3=0〔k≠0〕．〔1〕求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；〔2〕假设二次函数y=kx2+〔3k+1〕x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．解：26．〔14分〕如下图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙Oˊ与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC．CD是半⊙Oˊ的切线，AD⊥CD于点D．〔1〕求证：∠CAD=∠CAB；〔2〕抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点，AB=10，AC=2BC．①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由．福建省龙岩市2023初三数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案及试题解析：一、选择题〔本大题共11小题，每题4分，共40分〕1．抛物线y=〔x﹣1〕2+2的顶点是()A．〔1，﹣2〕B．〔1，2〕C．〔﹣1，2〕D．〔﹣1，﹣2〕【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写成顶点坐标．【解答】解：因为抛物线y=2〔x﹣1〕2+2是顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为〔1，2〕．应选B．【点评】抛物线的顶点式的应用．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，假设∠ABC=40°，那么∠AOC的度数为()A．20°B．40°C．60°D．80°【考点】圆周角定理．【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，假设∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．应选：D．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比拟简单，注意掌握数形结合思想的应用．3．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量到达为720吨．假设平均每月增长率是x，那么可以列方程()A．500〔1+2x〕=720B．500〔1+x〕2=720C．500〔1+x2〕=720D．720〔1+x〕2=500【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×〔1+增长率〕，如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．【解答】解：设平均每月增率是x，二月份的产量为：500×〔1+x〕；三月份的产量为：500〔1+x〕2=720；故此题选B．【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；此题考查求平均变化率的方法．假设设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，那么经过两次变化后的数量关系为a〔1±x〕2=b〔当增长时中间的“±〞号选“+〞，当降低时中间的“±〞号选“﹣〞〕．4．如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，那么a的取值范围是()A．a＞﹣B．a≥﹣C．a≥﹣且a≠0D．a＞且a≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足以下条件：〔1〕二次项系数不为零；〔2〕在有实数根的情况下必须满足△=b2﹣4ac≥0．【解答】解：依题意列方程组解得a≥﹣且a≠0．应选C．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．如图，以下图形中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，只有A符合；B，C，D不是中心对称图形．应选；A．【点评】此题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．6．以下事件是随机事件的为()A．度量三角形的内角和，结果是180°B．经过城市中有交通信号灯的路口，遇到红灯C．爸爸的年龄比爷爷大D．通常加热到100℃时，水沸腾【考点】随机事件．【分析】随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，依据定义即可作出判断．【解答】A、是必然事件，选项错误；B、正确；C、是不可能事件，选项错误；D、是必然事件，选项错误．应选B．【点评】解决此题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=〔x﹣h〕2+k的形式，结果为()A．y=〔x+1〕2+4B．y=〔x﹣1〕2+4C．y=〔x+1〕2+2D．y=〔x﹣1〕2+2【考点】二次函数的三种形式．【分析】此题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．【解答】解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=〔x﹣1〕2+2．应选：D．【点评】二次函数的解析式有三种形式：〔1〕一般式：y=ax2+bx+c〔a≠0，a、b、c为常数〕；〔2〕顶点式：y=a〔x﹣h〕2+k；〔3〕交点式〔与x轴〕：y=a〔x﹣x1〕〔x﹣x2〕．8．一个圆锥的侧面积是150π，母线为15，那么这个圆锥的底面半径是()A．5B．10C．15D．20【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可．【解答】解：∵母线为15，设圆锥的底面半径为x，∴圆锥的侧面积=π×15×x=150π．解得：x=10．应选：B．【点评】此题考查了圆锥的计算，熟练利用圆锥公式求出是解题关键．9．将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为()A．y=x2﹣2B．y=x2+2C．y=〔x+2〕2D．y=〔x﹣2〕2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】存在型．【分析】直接根据“左加右减〞的原那么进行解答即可．【解答】解：由“左加右减〞的原那么可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y=〔x+2〕2．应选C．【点评】此题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法那么是解答此题的关键．10．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦〔不是直径〕，AB⊥CD于点E，那么以下结论正确的选项是()A．AE＞BEB．=C．∠AEC=2∠DD．∠B=∠C．【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】根据垂径定理和圆周角定理判断即可．【解答】解：∵AB⊥CD，CD过O，∴AE=BE，弧AD=弧BD，连接OA，那么∠AOC=2∠ADE，∵∠AEC＞∠AOC，∴∠AEC=2∠D错误；∵AB不是直径，∴根据不能推出弧AC=弧BD，∴∠B和∠C不相等，即只有选项B正确；选项A、C、D都错误；应选A．【点评】此题考查了垂径定理和圆周角定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．11．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点〔P与A、C不重合〕，点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．那么以下图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是()A．.B．.C．.D．.【考点】动点问题的函数图象．【分析】过点P作PF⊥BC于F，假设要求△PBE的面积，那么需要求出BE，PF的值，利用条件和正方形的性质以及勾股定理可求出BE，PF的值．再利用三角形的面积公式得到y与x的关系式，此时还要考虑到自变量x的取值范围和y的取值范围．【解答】解：过点P作PF⊥BC于F，∵PE=PB，∴BF=EF，∵正方形ABCD的边长是1，∴AC==，∵AP=x，∴PC=﹣x，∴PF=FC=〔﹣x〕=1﹣x，∴BF=FE=1﹣FC=x，∴S△PBE=BE?PF=x〔1﹣x〕=﹣x2+x，即y=﹣x2+x〔0＜x＜〕，∴y是x的二次函数〔0＜x＜〕，应选D．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，和正方形的性质；等于直角三角形的性质；三角形的面积公式．对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．二、填空题〔本大题共7小题，每题3分，共21分〕12．⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线L的距离为3.5cm，那么直线L与⊙O的位置关系是相交．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合3.5＜4，即可解决问题．【解答】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线L的距离为3.5，而3.5＜4，∴直线L与⊙O相交．故答案为：相交．【点评】该题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用问题；假设圆的半径为λ，圆心到直线的距离为μ，当λ＞μ时，直线与圆相交；当λ=μ时，直线与圆相切；当λ＜μ时，直线与圆相离．13．如果扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是3πcm2，弧长2πcm．【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，再根据弧长公式计算出其弧长即可．【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为3cm，∴S扇形==3π〔cm2〕；l==2π〔cm〕．故答案为：3π，2π．【点评】此题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．14．一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：白白红白〔白，白〕〔白，白〕〔红，白〕白〔白，白〕〔白，白〕〔红，白〕红〔白，红〕〔白，红〕〔红，红〕所有等可能的情况有9种，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有5种，那么P〔颜色不同〕=．故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．如下图，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是8．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】如图，连接OA；首先求出OE的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA；OE=OC﹣CE=5﹣2=3；∵OC⊥AB，∴AE=BE；由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，∵OA=5，OE=3，∴AE=4，AB=2AE=8．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题；作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=经过平移得到抛物线y=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影局部的面积为4．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】确定出抛物线y=x2﹣2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影局部的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵y=x2﹣2x=〔x﹣2〕2﹣2，∴平移后抛物线的顶点坐标为〔2，﹣2〕，对称轴为直线x=2，当x=2时，y=×22=2，∴平移后阴影局部的面积等于如图三角形的面积，×〔2+2〕×2=4．故答案为：4．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影局部面积相等的三角形是解题的关键．17．假设a、b〔a＜b〕是方程2x2﹣7x+3=0的两根，那么点〔a，b〕关于x轴的对称点的坐标是〔，﹣3〕．【考点】解一元二次方程-因式分解法；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】计算题．【分析】利用因式分解法求出方程的解确定出a与b的值，即可得出〔a，b〕关于x轴的对称点坐标．【解答】解：方程2x2﹣7x+3=0，分解因式得：〔2x﹣1〕〔x﹣3〕=0，解得：x1=，x2=3，∴a=，b=3，那么〔，3〕关于x轴的对称点坐标为〔，﹣3〕，故答案为：〔，﹣3〕【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键．18．如下图，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，那么AP+PB的最小值．【考点】垂径定理；轴对称-最短路线问题．【专题】动点型．【分析】此题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故答案为：．【点评】此题结合图形的性质，考查轴对称﹣﹣最短路线问题．其中求出∠BOA′的度数是解题的关键．三、解答题〔本大题共8题，共89分〕19．二次函数y=x2+2x﹣1．〔1〕写出它的顶点坐标；〔2〕当x取何值时，y随x的增大而增大；〔3〕求出图象与x轴的交点坐标．【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【分析】〔1〕配方后直接写出顶点坐标即可；〔2〕确定对称轴后根据其开口方向确定其增减性即可；〔3〕令y=0后求得x的值后即可确定与x轴的交点坐标；【解答】解：〔1〕y=x2+2x﹣1=〔x+1〕2﹣2，∴顶点坐标为：〔﹣1，﹣2〕；〔2〕∵y=x2+2x﹣1=〔x+1〕2﹣2的对称轴为：x=﹣1，开口向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；〔3〕令y=x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+，∴图象与x轴的交点坐标为〔﹣1﹣，0〕，〔﹣1+，0〕．【点评】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的有关性质．20．设点A的坐标为〔x，y〕，其中横坐标x可取﹣1、2，纵坐标y可取﹣1、1、2．〔1〕求出点A的坐标的所有等可能结果〔用树状图或列表法求解〕；〔2〕试求点A与点B〔1，﹣1〕关于原点对称的概率．【考点】列表法与树状图法；关于原点对称的点的坐标．【分析】列举出所有情况，让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：〔解法一〕〔1〕列举所有等可能结果，画出树状图如下由上图可知，点A的坐标的所有等可能结果为：〔﹣1，﹣1〕、〔﹣1，1〕、〔﹣1，2〕、〔2，﹣1〕、〔2，1〕、〔2，2〕，共有6种，〔2〕由〔1〕知，能与点B〔1，﹣1〕关于原点对称的结果有1种．∴P〔点A与点B关于原点对称〕=〔解法二〕〔1〕列表如下﹣112﹣1〔﹣1，﹣1〕〔﹣1，1〕〔﹣1，2〕2〔2，﹣1〕〔2，1〕〔21，2〕由一表可知，点A的坐标的所有等可能结果为：〔﹣1，﹣1〕、〔﹣1，1〕、〔﹣1，2〕、〔2，﹣1〕、〔2，1〕、〔2，2〕，共有6种，〔2〕由〔1〕知，能与点B〔1，﹣1〕关于原点对称的结果有1种．∴P〔点A与点B关于原点对称〕=．【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数．21．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农〞优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，这种产品的本钱价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y〔千克〕与销售价x〔元/千克〕有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．〔1〕求w与x之间的函数关系式．〔2〕该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？〔3〕如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】〔1〕根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式；〔2〕用配方法将〔1〕的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；〔3〕把y=150代入〔2〕的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值．【解答】解：〔1〕由题意得出：w=〔x﹣20〕?y=〔x﹣20〕〔﹣2x+80〕=﹣2x2+120x﹣1600，故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600；〔2〕w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2〔x﹣30〕2+200，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．〔3〕当w=150时，可得方程﹣2〔x﹣30〕2+200=150．解得x1=25，x2=35．∵35＞28，∴x2=35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．【点评】此题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．22．如图，二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点〔点A在点B的左侧〕，交y轴于点C．〔1〕求直线BC的解析式；〔2〕点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】〔1〕利用y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，抛物线y=x2﹣4x+3交y轴于点C，即可得出A，B，C点的坐标，将B，C点的坐标分别代入y=kx+b〔k≠0〕，即可得出解析式；〔2〕设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．【解答】解：〔1〕设直线BC的解析式为：y=kx+b〔k≠0〕．令x2﹣4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，那么A〔1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，3〕，将B〔3，0〕，C〔0，3〕，代入y=kx+b〔k≠0〕，得解得：k=﹣1，b=3，BC所在直线为：y=﹣x+3；〔2〕设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．∵直线BC为y=﹣x+3，∴设过D点的直线为y=﹣x+b，∴，∴x2﹣3x+3﹣b=0，∴△=9﹣4〔3﹣b〕=0，解得b=，解得，，那么点D的坐标为：〔，﹣〕．【点评】此题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．23．如下图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A〔﹣2，3〕，B〔﹣6，0〕，C〔﹣1，0〕．〔1〕请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标；〔2〕将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，求A点经过的路径长；〔3〕请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【考点】作图-旋转变换；平行四边形的性质．【分析】〔1〕直接写出点A关于原点O对称的点的坐标即可．〔2〕根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B′的坐标，根据弧长公式列式计算即可得解；〔3〕根据平行四边形的对边平行且相等，分AB、BC、AC是对角线三种情况分别写出即可．【解答】解：〔1〕点A关于原点O对称的点的坐标为〔2，﹣3〕；〔2〕△ABC旋转后的△A′B′C′如下图，点A′的对应点的坐标为〔﹣3，﹣2〕；OA′==，即点A所经过的路径长为=；〔3〕假设AB是对角线，那么点D〔﹣7，3〕，假设BC是对角线，那么点D〔﹣5，﹣3〕，假设AC是对角线，那么点D〔3，3〕．【点评】此题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边平行且相等的性质，弧长公式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于〔3〕分情况讨论．24．如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．〔1〕求证：ON是⊙A的切线；〔2〕假设∠MON=60°，求图中阴影局部的面积．〔结果保存π〕【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】〔1〕首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；〔2〕由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案．【解答】〔1〕证明：过点A作AF⊥ON于点F，∵⊙A与OM相切于点B，∴AB⊥OM，∵OC平分∠MON，∴AF=AB=2，∴ON是⊙A的切线；〔2〕解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，∴∠OEB=30°，∴AF⊥ON，∴∠FAE=60°，在Rt△AEF中，tan∠FAE=，∴EF=AF?tan60°=2，∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF?EF﹣×π×AF2=2﹣π．【点评】此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．25．〔13分〕关于x的一元二次方程kx2+〔3k+1〕x+3=0〔k≠0〕．〔1〕求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；〔2〕假设二次函数y=kx2+〔3k+1〕x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．解：【考点】根的判别式；抛物线与x轴的交点．【专题】证明题．【分析】〔1〕先计算判别式得值得到△=〔3k+1〕2﹣4k×3=〔3k﹣1〕2，然后根据非负数的性质得到△≥0，那么根据判别式的意义即可得到结论；〔2〕先理由求根公式得到kx2+〔3k+1〕x+3=0〔k≠0〕的解为x1=﹣，x2=﹣3，那么二次函数y=kx2+〔3k+1〕x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值．【解答】〔1〕证明：△=〔3k+1〕2﹣4k×3=〔3k﹣1〕2，∵〔3k﹣1〕2，≥0，∴△≥0，∴无论k取何值，方程总有两个实数根；〔2〕解：kx2+〔3k+1〕x+3=0〔k≠0〕x=，x1=﹣，x2