高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程 第2章

2．1圆锥曲线[学习目标]1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．[知识链接]1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答：不是，是线段F1F2.2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答：是双曲线一支．[预习导引]1．椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．3．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．4．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．要点一椭圆定义的应用例1在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sinB，sinA，sinC成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sinB，sinA，sinC成等差数列，得sinB＋sinC＝2sinA．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.规律方法本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪演练1已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．证明设MB＝r.∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10(大于AB)．∴圆心M的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．要点二双曲线定义的应用例2已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．解由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．规律方法设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r，得到点M的关系式．注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C1与圆C2相切于点(－1,0)，所以M的轨迹不过(－1,0)．跟踪演练2在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设BC＝m，且|sinC－sinB|＝eq\f(1,2)sinA，则顶点A的轨迹是什么？解因为|sinC－sinB|＝eq\f(1,2)sinA，由正弦定理可得|AB－AC|＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)m，且eq\f(1,2)m<BC，所以点A的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC的两交点)．要点三抛物线定义的应用例3已知动点M的坐标(x，y)满足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，试确定动点M的轨迹．解方程可变形为eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)))＝1，∵eq\r(x－12＋y－12)表示点M到点(1,1)的距离，eq\f(|x＋y＋6|,\r(2))表示点M到直线x＋y＋6＝0的距离，又由eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋6|,\r(2)))＝1知点M到定点(1,1)的距离等于点M到直线x＋y＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．规律方法若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．跟踪演练3点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，则动点P的轨迹是__________________．答案椭圆或线段或不存在解析当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．2．已知△ABC的项点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A、B为焦点的双曲线的右支解析如图，AD＝AE＝＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．3．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________________．答案以O、A为焦点的椭圆解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆．4．到定直线x＝－2的距离比到定点(1,0)的距离大1的点的轨迹是________________．答案以(1,0)为焦点的抛物线解析到定点(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以点的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线．1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线．2．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.3．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．4．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线．一、基础达标1．已知定点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点轨迹是________．答案椭圆解析因为MF1＋MF2＝10，且10>F1F2，所以动点M轨迹是椭圆．2．已知点M(x，y)的坐标满足eq\r(x－12＋y－12)－eq\r(x＋32＋y＋32)＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距离为4eq\r(2)，由定义知动点M的轨迹是双曲线．3．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是__________．答案两条射线解析MF1－MF2＝±6，而F1F2＝6，轨迹为两条射线．4．若点M到F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹表示的曲线是________．答案抛物线解析由题意知M到F的距离与到x＝－4的距离相等，由抛物线定义知，M点的轨迹是抛物线．5．下列说法中正确的有________(填序号)．①已知F1(－6,0)、F2(6,0)，到F1、F2两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆；②已知F1(－6,0)、F2(6,0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；③到点F1(－6,0)、F2(6,0)两点的距离之和等于点M(10，0)到F1、F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到点F1(－6,0)、F2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．答案③解析椭圆是到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．①中F1F2＝12，故到F1、F2两点的距离之和为常数12的点的轨迹是线段F1F2.②中点到F1、F2两点的距离之和8小于F1F2，故这样的点不存在．③中点M(10,0)到F1、F2两点的距离之和为eq\r(10＋62＋02)＋eq\r(10－62＋02)＝20>F1F2＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．故正确的是③.6．△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2,0)，(2,0)，中线AD的长度为3，则A点的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案x2＋y2＝9(y≠0)解析∵B(－2,0)，C(2,0)，∴BC的中点为D(0,0)．设A(x，y)，又∵AD＝3，∴eq\r(x2＋y2)＝3(y≠0)，∴A点的轨迹方程是x2＋y2＝9(y≠0)．7．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，判断动圆圆心M的轨迹．解设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、能力提升8．已知动点M的坐标满足方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线解析把轨迹方程5eq\r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|写成eq\r(x2＋y2)＝eq\f(|3x＋4y－12|,5).∴动点M到原点的距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．9．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点．若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是__________．答案抛物线的一部分解析点P到直线C1D1的距离就是点P到点C1的距离，所以动点P的轨迹就是动点到直线BC与到点C1的距离相等的点的轨迹，是抛物线的一部分．10．已知点A(－1,0)、B(1,0)．曲线C上任意一点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))2－eq\o(PB,\s\up6(→))2＝4(|eq\o(PA,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))|)≠0.则曲线C的轨迹是______．答案椭圆解析由eq\o(PA,\s\up6(→))2－eq\o(PB,\s\up6(→))2＝4(|eq\o(PA,\s\up6(→))|－|eq\o(PB,\s\up6(→))|)≠0，得|eq\o(PA,\s\up6(→))|＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝4，且4>AB.故曲线C的轨迹是椭圆．11．已知动圆与圆C：(x＋2)2＋y2＝2相内切，且过点A(2,0)，求动圆圆心M的轨迹．解设动圆M的半径为r，∵圆C与圆M内切，点A在圆C外，∴MC＝r－eq\r(2)，MA＝r，∴MA－MC＝eq\r(2)，又∵AC＝4>eq\r(2)，∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支．12．如图所示，已知点P为圆R：(x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直