高中数学苏教版1第3章导数及其应用3．3导数在研究函数中的应用 学业分层测评18

学业分层测评(十八)极大值与极小值(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.函数y＝2－x2－x3的极大值为________；极小值为________.【解析】∵y′＝－2x－3x2＝－x(3x＋2)，由y′＝0得x＝0或x＝－eq\f(2,3).函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))，(0，＋∞)上都递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))上递增，所以函数的极大值为f(0)＝2，极小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(50,27).【答案】2eq\f(50,27)2.函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx(x＞0)的极小值为________.【解析】∵f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx(x＞0)，∴f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x).由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数.∴x＝2为f(x)的极小值点，所以函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx的极小值为f(2)＝1＋ln2.【答案】1＋ln23.若函数f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取得极值，则a＝________.【导学号：24830086】【解析】f′(x)＝eq\f(x2＋2x－a,x＋12)(x≠－1)，又y＝f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝0，解得a＝3.【答案】34.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图3­3­6所示，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于________.图3­3­6【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(2,3)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).【答案】eq\f(8,3)5.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极大值为______.【解析】y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值.【答案】56.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数图象如图3­3­7所示，则函数f(x)的极小值是________.图3­3­7【解析】由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f(x)在x＝0时取得极小值c.【答案】c7.若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________.【解析】令f(x)＝0得a＝3x－x3，于是y＝a和y＝3x－x3有3个不同交点，画出y＝3x－x3的图象即可解决.结合下图，可知－2＜a＜2.【答案】－2＜a＜28.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图3­3­8所示，给出下列判断：图3­3­8①函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))内单调递增；②函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－eq\f(1,2)时，函数y＝f(x)有极大值.则上述判断中正确的是________(填序号).【解析】从图象知，当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))内不单调，同理，函数y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))内也不单调，故①②均不正确；当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增，故③正确；由于f′(2)＝0，且在x＝2的左、右两侧的附近分别有f′(x)＞0与f′(x)＜0，所以当x＝2时函数y＝f(x)取得极大值，而在x＝－eq\f(1,2)的左、右两侧的附近均有f′(x)＞0，所以x＝－eq\f(1,2)不是函数y＝f(x)的极值点，即④⑤均不正确.故填③.【答案】③二、解答题9.求函数f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)－2的极值.【解】函数的定义域为′(x)＝eq\f(2x2＋1－4x2,x2＋12)＝－eq\f(2x－1x＋1,x2＋12)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值由表可知，当x＝－1时，函数取得极小值f(－1)＝－3.当x＝1时，函数取得极大值f(1)＝－1.10.已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数y的极小值.【导学号：24830087】【解】(1)y′＝3ax2＋2bx，当x＝1时，y′＝3a＋2b＝0，又因为y＝a＋b＝3，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋2b＝0，,a＋b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝9.))(2)y＝－6x3＋9x2，y′＝－18x2＋18x，令y′＝0，得x＝0或x＝1.∴当x＝0时，函数y取得极小值0.[能力提升]1.若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________.【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)2.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.其中正确结论的序号是________.【解析】∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依题意，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图象与x轴有三个不同的交点，故f(1)f(3)＜0，即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)＜0，∴0＜abc＜4，∴f(0)＝－abc＜0，f(1)＝4－abc＞0，f(3)＝－abc＜0，故②③正确.【答案】②③3.若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b【解析】f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b＜1.当0＜x＜b时，f′(x)＜0；当b＜x＜1时，f′(x)＞0，符合题意.所以实数b的取值范围是0＜b＜1.【答案】0＜b＜14.设函数f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)当m≤0时，确定函数g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)零点的个数.【解】(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝lnx＋eq\f(e,x)，则f′(x)＝eq\f(x－e,x2)，∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋eq\f(e,e)＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)＝eq\f(1,x)－eq\f(m,x2)－eq\f(x,3)(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－eq\f(1,3)x3＋x(x＞0).设φ(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x(