高中数学苏教版3第二章概率【省一等奖】

章末综合测评(二)概率(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．【解析】甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．所以所求概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)2．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010则T的数学期望E(T)＝________.【解析】由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率以频率估计概率得T的分布列为T25303540P从而E(T)＝25×＋30×＋35×＋40×＝32(分钟)．【答案】32分钟3．甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，则此密码能被译出的概率为________．【解析】三人都不能译出密码的概率为P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(2,5)，故三人能破译密码的概率是1－P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)4．已知X～N(0,1)，则P(－1＜X＜2)＝________.【解析】∵P(－1＜X＜1)＝，P(－2＜X＜2)＝，∴P(1＜X＜2)＝eq\f(1,2)－＝5.∴P(－1＜X＜2)＝＋5＝5.【答案】55．已知随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，则V(2X＋1)＝________.【导学号：29440064】【解析】V(2X＋1)＝22×V(X)＝4V(X)，V(X)＝6×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，∴V(2X＋1)＝4×eq\f(3,2)＝6.【答案】66．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨．他第一次失败，第二次成功的概率是________．【解析】电话号码的最后一个数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数，所以他第一次失败，第二次成功的概率为eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).【答案】eq\f(1,10)7．设随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝3，p＝eq\f(1,7)，则n＝________，V(X)＝________.【解析】∵E(X)＝np＝3，p＝eq\f(1,7)，∴n＝21，并且V(X)＝np(1－p)＝21×eq\f(1,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,7)))＝eq\f(18,7).【答案】21eq\f(18,7)8．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数ξ的均值是2，则p＝________.【解析】因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知ξ～B(6,1－p)，所以E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)9．一个袋子装有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．【解析】法一同时取出的2个球中含红球数X的概率分布为P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).E(X)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(6,10)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(6,5).法二同时取出的2个球中含红球数X服从参数N＝5，M＝3，n＝2的超几何分布，所以E(X)＝eq\f(nM,N)＝eq\f(6,5).【答案】eq\f(6,5)10．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为________．【解析】由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,6)C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20).所以ξ的概率分布为ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq\f(7,4).【答案】eq\f(7,4)11.将一个半径适当的小球放入如图1所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是eq\f(1,2)，则小球落入A袋中的概率为________．图1【解析】小球落入B袋中的概率为P1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2)))×2＝eq\f(1,4)，∴小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)12．某一部件由三个电子元件按图2方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．图2【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000，502)得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p＝eq\f(1,2).超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率p1＝1－(1－p)2＝eq\f(3,4)，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2＝p1×p＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是eq\f(3,5)；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为eq\f(4,3)；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为eq\f(2,5)；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为eq\f(26,27).其中所有正确结论的序号是________.【导学号：29440065】【解析】①恰有一个白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3)))，其方差为6×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,3)，故②正确；③设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5)，故③错；④每次取到红球的概率P＝eq\f(2,3)，所以至少有一次取到红球的概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))3＝eq\f(26,27)，故④正确．【答案】①②④14．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则下列比较正确的序号是________．①p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)；②p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)；③p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)；④p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)．【解析】随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：ξ112Peq\f(n,m＋n)eq\f(m,m＋n)ξ2123Peq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,m＋n))eq\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,m＋n))eq\f(C\o\al(2,m),C\o\al(2,m＋n))所以E(ξ1)＝eq\f(n,m＋n)＋eq\f(2m,m＋n)＝eq\f(2m＋n,m＋n)，E(ξ2)＝eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,m＋n))＋eq\f(2C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,m＋n))＋eq\f(3C\o\al(2,m),C\o\al(2,m＋n))＝eq\f(3m＋n,m＋n)，所以E(ξ1)<E(ξ2)．因为p1＝eq\f(m,m＋n)＋eq\f(n,m＋n)·eq\f(1,2)＝eq\f(2m＋n,2m＋n)，p2＝eq\f(C\o\al(2,m),C\o\al(2,m＋n))＋eq\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,m＋n))·eq\f(2,3)＋eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,m＋n))·eq\f(1,3)＝eq\f(3m＋n,3m＋n)，p1－p2＝eq\f(n,6m＋n)>0，所以p1>p2.【答案】①二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图3以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为,,,.从而P(X＝16)＝×＝；P(X＝17)＝2××＝；P(X＝18)＝2××＋×＝；P(X＝19)＝2××＋2××＝；P(X＝20)＝2××＋×＝；P(X＝21)＝2××＝；P(X＝22)＝×＝.所以X的分布列为X16171819202122P(2)由(1)知P(X≤18)＝，P(X≤19)＝，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×＋(19×200＋500)×＋(19×200＋2×500)×＋(19×200＋3×500)×＝4040；当n＝20时，E(Y)＝20×200×＋(20×200＋500)×＋(20×200＋2×500)×＝4080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.16．(本小题满分14分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为，且两人中至少有一人解出的概率为.(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的概率分布．【解】(1)设甲、乙分别解出此题的事件为A，B，则P(A)＝，P＝1－P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B))＝1－·P(eq\x\to(B))＝，解得P(eq\x\to(B))＝，∴P(B)＝.(2)P(X＝0)＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝×＝，P(X＝1)＝P(A)·P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))·P(B)＝，P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝×＝，∴X的概率分布为：X012P17.(本小题满分14分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率作物市场价格(元/kg)610概率(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的概率分布；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．【解】(1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝，P(B)＝，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝(1－×(1－＝，P(X＝2000)＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝(1－×＋×(1－＝，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝×＝，所以X的概率分布为X40002000800P(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝＋＝(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C33季中有2季的利润不少于2000元的概率为P(eq\x\to(C)1C2C3)＋P(C1eq\x\to(C)2C3)＋P(C1C2eq\x\to(C)3)＝3××＝，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为＋＝.18．(本小题满分16分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的概率分布；(2)求此员工月工资的期望．【解】(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4.P(X＝i)＝eq\f(C\o\al(i,4)C\o\al(4－i,4),C\o\al(4,8))(i＝0,1,2,3,4)，故X的概率分布为：X01234Peq\f(1,70)eq\f(8,35)eq\f(18,35)eq\f(8,35)eq\f(1,70)(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500，则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝eq\f(1,70)，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝eq\f(8,35)，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝eq\f(53,70)，所以E(Y)＝3500×eq\f(1,70)＋2800×eq\f(8,35)＋2100×eq\f(53,70)＝2280(元)．所以此员工工资的期望为2280元．19．(本小题满分16分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位：小时)和Y的概率分布分别为：X90010001100PY95010001050P试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？【解】由期望的定义，得E(X)＝900×＋1000×＋1100×＝1000，E(Y)＝950×＋1000×＋1050×＝1000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得V(X)＝(900－1000)2×＋(1000－1000)2×＋(1100－1000)2×＝2000，V(Y)＝(950－1000)2×＋(1