高中数学人教A版2本册总复习总复习 章末质量评估

第一章一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：∵y′＝2x＋a，∴曲线y＝x2＋ax＋b在(0，b)处的切线方程的斜率为a，切线方程为y－b＝ax，即ax－y＋b＝0.∴a＝1，b＝1.答案：A2．函数y＝x2cosx的导数为()A．y′＝2xcosx－x2sinx B．y′＝2xcosx＋x2sinxC．y′＝x2cosx－2xsinx D．y′＝xcosx－x2sinx解析：利用求导法则运算．答案：A3．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2 B．eC．eq\f(ln2,2) D．ln2解析：f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，f′(x0)＝lnx0＋1＝2⇒x0＝e.答案：B4．函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)解析：由f′(2)，f′(3)的几何意义知f′(2)>f′(3)>0，设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则kAB＝eq\f(f3－f2,3－2)，由图象知0<f′(3)<kAB<f′(2)．答案：B5．过曲线y＝eq\f(x＋1,x2)(x>0)上横坐标为1的点的切线方程为()A．3x＋y－1＝0 B．3x＋y－5＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0解析：∵y′＝eq\f(x2－2xx＋1,x4)＝eq\f(－x2－2x,x4)，∴该切线的斜率k＝y′|x＝1＝－3，则所求的切线方程为y－2＝－3(x－1)，即3x＋y－5＝0，故选B.答案：B6．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，则A．f(0)<f(6) B．f(0)＝f(6)C．f(0)>f(6) D．无法确定解析：f′(x)＝2x＋2f′(2)⇒f′(2)＝4＋2f′(2)⇒f′(2从而f(x)＝x2－8x＋3，其对称轴为x＝4，则f(0)>f(6)．答案：C7．如图，阴影部分的面积是()A．2eq\r(3) B．－2eq\r(3)C．eq\f(35,3) D．eq\f(32,3)解析：S＝eq\a\vs4\al(\i\in(,1,－3))(3－x2－2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,3)x3－x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(1,－3)＝eq\f(32,3).答案：D8．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是()A．(2,4) B．(－3，－1)C．(1,3) D．(0,2)解析：由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，当x∈(1,3)时，f′(x)<0，函数f(x)在(1,3)上为减函数，函数y＝f(x＋1)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y＝f(x＋1)的单调递减区间．故选D.答案：D9．函数f(x)＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n为()A．0 B．1C．2 D．4解析：f(x)＝x3－3x⇒f′(x)＝3x2－3＝0⇒x＝±1，不难判断m＝f(－1)＝(－1)3＋3＝2，n＝f(1)＝13－3＝－2，m＋n＝0.答案：A10．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F所作的功为()A．10J B．14JC．7J D．28J解析：W＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,3,))F(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,3,))(4x－1)dx＝(2x2－x)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(3,1)＝(2·32－3)－(2·12－1)＝14J.答案：B11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(解析：当1≤x≤2时，f′(x)≥0，则f(2)≥f(1)；而当0≤x≤1时，f′(x)≤0，则f(1)≤f(0)，从而f(0)＋f(2)≥2f(1答案：C12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则eq\f(f1,f′0)的最小值为()A．3 B．eq\f(5,2)C．2 D．eq\f(3,2)解析：f′(x)＝2ax＋b，有f′(0)>0⇒b>0.由于对于任意实数x都有f(x)≥0，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0，))得c>0，从而eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)＝1＋eq\f(a＋c,b)≥1＋eq\f(a＋c,2\r(ac))≥1＋eq\f(2\r(ac),2\r(ac))＝2，当且仅当a＝c时取等号．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋a≥0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在x∈[1，＋∞)上恒成立．而－3x2的最大值为－3，故只需a≥－3即可．答案：a≥－314．过点(2,0)且与曲线y＝eq\f(1,x)相切的直线的方程为________．解析：设所求切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y′＝－eq\f(1,x2)，∴y′|x＝x0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))，所求切线的方程为y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．∵点(2,0)在切线上，∴0－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(2－x0)，∴xeq\o\al(2,0)y0＝2－x0， ①又x0y0＝1， ②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝1，))∴所求直线方程为x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝015．已知函数f(x)为一次函数，其图象经过点(3,4)，且eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＝1，则函数f(x)的解析式为________．解析：设函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，因为函数f(x)的图象过点(3,4)，所以有b＝4－3a∴eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))f(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(ax＋4－3a)dx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ax2＋4－3ax))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,2)a＋4－3a＝1，∴a＝eq\f(6,5).∴b＝eq\f(2,5).∴f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5).答案：f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5)16．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,fn)))(n∈N*)的前n项和是________．解析：f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,a＝1.))则f(x)＝x2＋x，eq\f(1,fn)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，其和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).答案：eq\f(n,n＋1)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解析：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．方法二：由题意知，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)，又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．18．(本小题满分12分)物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v＝10t的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A走过的路程是多少(时间单位为：s，速度单位为：解析：设A追上B时，所用的时间为t0，依题意有sA＝sB＋5，即eq\a\vs4\al(∫t00)(3t2＋1)dt＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,t0,))10tdt＋5，∴teq\o\al(3,0)＋t0＝5teq\o\al(2,0)＋5，即t0(teq\o\al(2,0)＋1)＝5(teq\o\al(2,0)＋1)，t0＝5s，∴sA＝5teq\o\al(2,0)＋5＝130(m)．19．(本小题满分12分)某电视生产厂家有A，B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A，B型号电视机的价值分别为p，q万元，农民购买电视机获得的补贴分别为eq\f(1,10)p，eq\f(2,5)lnq万元．已知厂家把总价值为10万元的A，B两种型号电视机投放市场，且A，B两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值．(精确到，参考数据：ln4≈解析：设B型号电视机的价值为x万元(1≤x≤9)，农民得到的补贴为y万元，则A型号电视机的价值为(10－x)万元，由题意得，y＝eq\f(1,10)(10－x)＋eq\f(2,5)lnx＝eq\f(2,5)lnx－eq\f(1,10)x＋1，y′＝eq\f(2,5x)－eq\f(1,10)，由y′＝0⇒x＝4.当x∈[1,4)时，y′>0，当x∈(4,9]时，y′<0，所以当x＝4时，y取最大值，ymax＝eq\f(2,5)ln4－＋1≈.即厂家分别投放A，B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约为万元．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋cx＋d有极值．(1)求c的取值范围；(2)若f(x)在x＝2处取得极值，且当x<0时，f(x)<eq\f(1,6)d2＋2d恒成立，求d的取值范围．解析：(1)∵f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋cx＋d，∴f′(x)＝x2－x＋c，要使f(x)有极值，则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0有两个不相等的实数解，从而Δ＝1－4c>0，∴c<eq\f(1,4).(2)∵f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝4－2＋c＝0，∴c＝－2.∴f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2－2x＋d.∵f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，∴当x∈(－∞，－1]时，f′(x)>0，函数单调递增，当x∈(－1,2]时，f′(x)<0，函数单调递减．∴x<0时，f(x)在x＝－1处取得最大值eq\f(7,6)＋d，∵x<0时，f(x)<eq\f(1,6)d2＋2d恒成立，∴eq\f(7,6)＋d<eq\f(1,6)d2＋2d，即(d＋7)(d－1)>0，∴d<－7或d>1，即d的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞)．21．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a，(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解析：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．∵x∈(－1,3)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－1,3]上单调递增．又f(x)在[－2，－1)上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a＝20，解得a＝－2.故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.22．(本