高中数学人教A版第四章圆和方程 第四章单元检测

第四章单元检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．过点A(1,2)，且与两坐标轴相切的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝1答案：A解析：由图形易知满足此条件的圆有两个．2．在空间直角坐标系中，A(0,2,4)，B(1,4,6)，则|AB|等于()A．2B．2eq\r(2)\r(7)D．3答案：D解析：|AB|＝eq\r(1＋4＋4)＝3.3．若圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋1＝0对称，则a＋b等于()A．1B．－1\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案：C解析：∵圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋1＝0，∴a＋b＝eq\f(1,2).4．两圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0和x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．内切D．外切答案：C5．圆心为A(1，－2)且与直线x－3y＋3＝0相切的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝eq\r(10)B．(x－1)2＋(y＋2)2＝10C．(x＋1)2＋(y－2)2＝eq\r(10)D．(x＋1)2＋(y－2)2＝10答案：B解析：圆半径r＝eq\f(|1＋6＋3|,\r(1＋9))＝eq\r(10)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝10.6．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0，x2＋y2＋2x－12＝0相交于A、B两点，则直线AB的方程为()A．x－2y＋6＝0B．x＋y＝0C．x＋2y－6＝0D．x－y＋1＝0答案：A解析：会求过两圆交点的直线方程，注意运用简便方法．两圆方程相减即为公共弦的方程．7．如图，正方体OABC—O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点EA．(2,2,1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，\f(2,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，\f(1,3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，\f(4,3)))答案：D解析：易知B(2,2,0)，B1(2,2,2)，∴E的竖坐标z＝eq\f(2,3)×2＝eq\f(4,3)，∴E的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2，\f(4,3))).8．已知圆C1：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，直线l：3x－4y＋m＝0，圆上存在两点到直线l的距离为1，则m的取值范围是()A．(－17，－7)B．(3,13)C．(－17，－7)∪(3,13)D．[－17，－7]∪[3,13]答案：C解析：当圆心到直线的距离d满足r－1<d<r＋1时，圆上存在两个点到直线的距离为1，即满足1<eq\f(|2＋m|,5)<3.解得－17<m<－7或3<m<13.9．若直线过点(0,2)，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长等于2，则此直线的斜率等于()A．±eq\f(\r(3),2)B．±eq\f(\r(3),3)C．±eq\r(2)D．±eq\r(3)答案：B解析：当斜率不存在时，过点(0,2)的直线通过圆x2＋y2＝4的圆心，不合题意．当斜率存在时，直线方程为y－2＝kx，即kx－y＋2＝0.由已知，可得圆心到直线的距离为eq\r(3)，eq\f(|2|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，即1＋k2＝eq\f(4,3)，k＝±eq\f(\r(3),3).10．圆C：x2＋y2－2x－6y＋9＝0关于直线x－y－1＝0对称的曲线方程为()A．x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0B．x2＋y2－6x－2y＋9＝0C．x2＋y2－8x＋15＝0D．x2＋y2－8x－15＝0答案：C解析：圆(x－1)2＋(y－3)2＝1的圆心为(1,3)，r＝1，设圆心关于直线x－y－1＝0的对称点为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)－\f(y＋3,2)＝1,\f(y－3,x－1)＝－1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝0))，∴对称点(4,0)即为对称圆的圆心．又∵圆半径始终不变，∴圆C关于直线x－y－1＝0的对称曲线为(x－4)2＋y2＝1，即x2＋y2－8x＋15＝0.11．圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案：C解析：∵圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，∴圆心为(1，－2)，半径r＝3，又圆心在直线2tx－y－2－2t＝0上，∴圆与直线相交，故选C.12．直线y＝－x＋b与曲线y＝eq\r(4－x2)有且只有两个公共点，则b的取值范围是()A．1≤b＜2eq\r(2)B．2≤b＜2eq\r(2)C．－1＜b＜1D．－2eq\r(2)＜b≤－2答案：B解析：由图可知，2≤b＜2eq\r(2).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，若线段AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标为________．答案：(8，－6)解析：线段AB的垂直平分线x＋y－1＝0与线段AC的垂直平分线2x＋y－5＝0的交点为圆心(4，－3)，直径为10，易得D为(8，－6)．14．如果实数x，y满足等式(x－3)2＋y2＝4，那么eq\f(y,x)的最大值是________．答案：eq\f(2\r(5),5)解析：设eq\f(y,x)＝k，y＝kx，(x－3)2＋k2x2＝4，(1＋k2)x2－6x＋5＝0，Δ＝36－20(1＋k2)≥0，－eq\f(2\r(5),5)≤k≤eq\f(2\r(5),5).另可考虑斜率的几何意义来做．15．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．答案：(x＋1)2＋y2＝2解析：∵圆心C(－1,0)，半径为圆心C(－1,0)到直线x＋y＋3＝0的距离，即圆C的半径r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，∴圆C的方程为：(x＋1)2＋y2＝2.16．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．答案：eq\f(25,4)解析：因为点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，令x＝0得y＝eq\f(5,2)，令y＝0得x＝5，故S△＝eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5＝eq\f(25,4).三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)过圆x2＋(y－2)2＝4外一点A(2，－2)引圆的两条切线，切点为T1，T2，求直线T1T2的方程．解：设切点为(x1，y1)，(x2，y2)，则AT1的方程为x1x＋(y1－2)(y－2)＝4，AT2的方程为x2x＋(y2－2)(y－2)＝4，则2x1－4(y1－2)＝4,2x2－4(y2－2)＝4，∴2x－4(y－2)＝4，即x－2y＋2＝0.18．(12分)求过点A(1,6)和B(5,6)且与直线2x－3y＋16＝0相切的圆的方程．解：显然圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上设圆心为(3，b)，半径为r，则(x－3)2＋(y－b)2＝r2，得(1－3)2＋(6－b)2＝r2，而r＝eq\f(|6－3b＋16|,\r(13))，∴b＝3，r＝eq\r(13)∴(x－3)2＋(y－3)2＝13.19．(12分)已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0.(1)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程；(2)求它们的公共弦长．解：(1)x2＋y2－10x－10y＝0，①；x2＋y2＋6x－2y－40＝0，②；②－①得：2x＋y－5＝0为公共弦所在直线的方程；(2)弦长的一半为eq\r(50－20)＝eq\r(30)，公共弦长为2eq\r(30).20．(12分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4与直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8，当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m解：因为直线l可化为(2x＋y－8)＋m(x＋2y－7)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－8＝0，,x＋2y－7＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2.))即直线l恒过定点P(3,2)．所以|PC|＝eq\r(2)<2＝r，所以P(3,2)在圆C内部．因为当且仅当圆心(2,3)到直线l的距离最大，即直线PC与l垂直时，截得的弦长最短，所以kPC·kl＝－1，所以eq\f(－m＋2,2m＋1)×(－1)＝－1，所以m＝－1.21．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．解：(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径为eq\r(2).当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2).所以k＝2±eq\r(6)，即切线方程为y＝(2±eq\r(6))x.当切线不过原点时，设切线方程为x＋y＝a，则eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2).所以a＝－1或a＝3，即切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.所以切线方程为y＝(2＋eq\r(6))x或y＝(2－eq\r(6))x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)设P(x1，y1)．因为|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x21＋y21＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即直线PO的方程为2x＋y＝0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标(－eq\f(3,10)，eq\f(3,5))．22．(12分)如图，已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2,3)．(1)若点P(m，m＋1)在圆C上，求直线PQ的斜率以及直线PQ与圆C的相交弦PE的长度；(2)若M(x，y)是圆上任意一点，求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值．解：(1)∵点P(m，m＋1)在圆C上，代入圆C的方程，解得m＝4，∴P(4,5)故直线PQ的斜率k＝eq\f(5－3,4－－2)＝eq\f(1,3).因此直线PQ的方程为y－5＝eq\f(1,3)(x－4)．即x－3y＋11＝0，而圆心(2,7)到直线的距离d＝eq\f(|2－3×7＋11|,\r(10))＝eq\f(8,\r(10))＝eq\f(4\r(10),5)，所以PE＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(8－\f(32,5))＝eq\f(2\r(40),5)＝eq\f(4\r(10)