高中数学北师大版本册总复习总复习 模块综合测试（a）

模块综合测试(A)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10＝()A．100 B．210C．380 D．400答案：B1．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于()A．45 B．75C．180 D．300解析：∵a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴由已知得5a5＝450，∴a5＝90∴a2＋a8＝2a5＝180.答案：C2．在△ABC中，若b＝2asinB，则角A为()A．30°或60° B．45°或60°C．120°或60° D．30°或150°解析：根据正弦定理sinB＝2sinAsinB，所以sinA＝eq\f(1,2)，所以A＝30°或150°.答案：D3．a∈R，且a2＋a＜0，那么－a，－a3，a2的大小关系是()A．a2＞－a3＞－a B．－a＞a2＞－a3C．－a3＞a2＞－a D．a2＞－a＞－a3解析：由a2＋a＜0得－1＜a＜0，∴－a＞a2＞－a3.答案：B4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6 B．7C．8 D．9解析：a4＋a6＝2a5＝－6，∴a5＝－3，∴d＝eq\f(a5－a1,5－1)＝2，∴Sn＝－11n＋eq\f(nn－1,2)·2＝n2－12n.故n＝6时Sn取最小值．答案：A5．△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为eq\f(3,2)，那么b＝()\f(1＋\r(3),2) B．1＋eq\r(3)\f(2＋\r(3),2) D．2＋eq\r(3)解析：2b＝a＋c，S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(3,2)，∴ac＝6.又∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴b2＝(a＋c)2－2ac－2accos30°.∴b2＝4＋2eq\r(3)，即b＝1＋eq\r(3)，故选B.答案：B6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()A．－eq\f(1,2) \f(1,2)C．－1 D．1解析：根据正弦定理，由acosA＝bsinB，得sinAcosA＝sin2B，∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1，故选D.答案：D7．若数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg(x101＋x102＋…＋x200)的值为()A．102 B．101C．100 D．99解析：由lgxn＋1＝1＋lgxn得eq\f(xn＋1,xn)＝10，∴数列{xn}是公比为10的等比数列，又x101＝x1·q100，x102＝x2·q100，…，x200＝x100·q100，∴x101＋x102＋…＋x200＝q100(x1＋x2＋…＋x100)＝10100·100＝10102.∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝102.答案：A8．在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0,x－y＋4≥0,x≤1))表示的平面区域面积是()A．3 B．6\f(9,2) D．9解析：如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC边界及其内部的部分，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,x－y＋4＝0))可得A(1,5)，同理可得B(－2，2)，C(1，－1)，故AC＝6，△ABC的高h＝3，所以S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·h＝9.答案：D9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝an－2(a为常数且a≠0)，则数列{an}()A．是等比数列B．当a≠1时是等比数列C．从第二项起成等比数列D．从第二项起成等比数列或等差数列解析：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2n＝1，,an－1a－1n≥2，))当a≠0，n≥2，an＝an－1(a－1)，a≠1是等比数列，当a＝1，是等差数列．答案：D10．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x均成立，则()A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)＜a＜eq\f(1,2)解析：∵(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，∴不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x成立，即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x成立，即使x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2)，故选C.答案：C11．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为eq\f(5,4)，则S5＝()A．35 B．33C．31 D．29解析：设公比为q，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2·a3＝a\o\al(2,1)q3＝2a1,a4＋2a7＝a1q3＋2a1q6＝\f(5,2)))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3＝2,a1q3＋2a1·q3·q3＝\f(5,2)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,2),a1＝16))，故S5＝eq\f(16×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝31.答案：C12．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是()A．0＜a＜3 \f(3,2)≤a＜3C．2＜a≤3 D．1≤a＜eq\f(5,2)解析：∵三角形为钝角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋a＋1＞a＋2,－\f(1,2)≤\f(a2＋a＋12－a＋22,2aa＋1)＜0，))解得eq\f(3,2)≤a＜3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝________.解析：因为cosC＝eq\f(1,3)，得sinC＝eq\f(2\r(2),3).因为S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×b×eq\f(2\r(2),3)＝4eq\r(3)，所以b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)14．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．解析：设{an}的首项，公差分别是a1，d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝16,20a1＋\f(20×20－1,2)×d＝20))，解得a1＝20，d＝－2，∴S10＝10×20＋eq\f(10×9,2)×(－2)＝110.答案：11015．设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图像上运动，则9x＋3y的最小值为________．解析：∵y＝4－2x，∴9x＋3y＝9x＋34－2x＝9x＋eq\f(81,9x)≥2eq\r(81)＝18.答案：1816．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0,2x＋y－6≤0,x－y＋m≤0))表示的平面区域是一个三角形，则实数m的取值范围是________．解析：先画部分可行域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0,2x＋y－6≤0))，设直线x－y＋m＝0与x轴的交点为(－m,0)，另外A(3,0)，B(0,6)，由图形可知：当m∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)．答案：(－∞，－3]∪[0,6)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝eq\f(n[1＋3－2n],2)＝2n－n2.由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.18．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc.求∠A的大小及eq\f(bsinB,c)的值．解析：∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac.又∵a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，∴∠A＝60°.在△ABC中，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)，∵b2＝ac，∠A＝60°，∴eq\f(bsinB,c)＝eq\f(b2sin60°,ca)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).19．(本小题满分12分)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.解析：若a＝0，原不等式可化为－x＋1＜0，解得x＞1；若a＜0，原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0解得x＜eq\f(1,a)或x＞1；若a＞0，原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0，其解的情况应由eq\f(1,a)与1的大小关系确定，当a＝1时，解得x∈∅；当a＞1时，解得eq\f(1,a)＜x＜1；当0＜a＜1时，解得1＜x＜eq\f(1,a).综上所述，当a＜0时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞1))))；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a)))))；当a＝1时，解集为∅；当a＞1时，解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1))))20．(本小题满分12分)已知x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0.))求：(1)4x－3y的最大值和最小值；(2)x2＋y2的最大值和最小值．解析：(1)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0，))表示的平面区域如下图所示，其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)．设z＝4x－3y，直线4x－3y＝0经过原点(0,0)，作一组与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝z，当l过C点时，z值最小；当l过B点时，z值最大．∴zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u＝x2＋y2，则eq\r(u)为点(x，y)到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B到原点的距离最大，而当(x，y)在原点时，距离为0.∴(x2＋y2)max＝(－1)2＋(－6)2＝37；(x2＋y2)min＝0.21．(本小题满分12分)已知不等式x2－3x＋t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}．(1)求t，m的值；(2)若函数f(x)＝－x2＋ax＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x的不等式loga(－mx2＋3x＋2－t)＜0的解集．解析：(1)∵不等式x2－3x＋t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＝3,m＝t))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2,t＝2)).(2)∵f(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋4＋eq\f(a2,4)在(－∞，1]上递增，∴eq\f(a,2)≥1，a≥2.又loga(－mx2＋3x＋2－t)＝loga(－2x2＋3x)＜0，由a≥2，可知0＜－2x2＋3x＜1，由2x2－3x＜0，得0＜x＜eq\f(3,2)，由2x2－3x＋1＞0得x＜eq\f(1,2)或x＞1.所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\