高中物理教科版4第一章机械振动 第1章2单摆

2．单摆学习目标知识脉络1.知道什么是单摆．2．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动．(重点)3．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算．(重点、难点)单摆的简谐运动eq\o([先填空])1．单摆(1)组成：小球和细线．(2)单摆是一种理想模型，实际摆可视为单摆的条件：①细线形变要求：细线的长度形变可以忽略．②质量要求：细线质量与小球质量相比可以忽略．③细线长度要求：球的直径与细线的长度相比可以忽略．④受力要求：与小球受到的重力及线的拉力相比，空气对它的阻力可以忽略不计．⑤摆角要求：单摆在摆动过程中要求摆角小于5°(选填“大于”“小于”或“等于”)．2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－eq\f(mg,l)x.(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动．eq\o([再判断])1．单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的．(√)2．单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略．(√)3．单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略．(√)4．单摆回复力不符合简谐运动．(×)eq\o([后思考])1．单摆做简谐运动的条件是什么？【提示】单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在5°以内．2．单摆做简谐运动的回复力是否等于小球所受的合力？【提示】小球的重力沿圆弧切线方向上的分力提供回复力，而不是小球所受的合力．1．运动特点(1)摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内做变速圆周运动．(2)摆球以最低点为平衡位置做简谐运动．2．摆球的受力(1)一般位置：如图1­2­1所示，G1＝Gsinθ，G2＝Gcosθ，G1的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力，F－G2为摆球做圆周运动提供的向心力．图1­2­1(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G1＝0，回复力F回＝0；G2＝G，F－G的作用是提供向心力．(3)单摆的简谐运动在θ很小时(小于5°，θ的单位为弧度)，sinθ≈θ＝eq\f(x,l)，G1＝Gsinθ＝eq\f(mg,l)x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－eq\f(mg,l)x＝－kx.因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律，图像是正弦或余弦曲线．(4)单摆的圆周运动F向＝F－G2＝F－mgcosθ＝eq\f(mv2,l).1．振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力、合力及加速度的说法中正确的是()A．回复力为零B．合力不为零，方向指向悬点C．合力不为零，方向沿轨迹的切线D．回复力为零，合力也为零E．加速度不为零，方向指向悬点【解析】单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力和向心加速度，方向指向悬点(即指向圆心)．【答案】ABE2．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是()【导学号：18640004】A．摆球受重力、摆线的张力作用B．摆球的回复力最大时，向心力为零C．摆球的回复力为零时，向心力最大D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大E．摆球的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向【解析】单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A对；重力垂直于摆线的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力；在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D、E错，B、C对．【答案】ABC3．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的eq\f(1,2)，则单摆摆动的频率________，振幅变________．【解析】单摆的周期和频率由摆长和当地的重力加速度决定，与摆球的质量和速度无关；另外由机械能守恒定律可知，摆球经过平衡位置的速度减小了，则摆动的最大高度减小，振幅减小．【答案】不变小对于单摆的两点说明1．所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置．实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡．2．回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力．单摆做简谐运动的周期eq\o([先填空])1．测量单摆周期把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动．以摆球通过平衡位置时开始计时，用停表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，因为单摆完成一个周期的振动，经过平衡位置两次，所以有t＝eq\f(n,2)T，T＝eq\f(2t,n).用米尺量出悬线长度l′，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长l＝l′＋eq\f(d,2).2．探究单摆周期T与摆长l的关系(1)改变单摆的摆长，测出不同摆长单摆的周期，自己设计一个表格，把所测数据填入表中．(2)根据表中数据，在坐标纸上描点，以T为纵轴，l为横轴，画出T－l图像．(3)根据表中数据，在坐标纸上描点，以T的平方为纵轴，l为横轴，画出T2－l图像．分析T2－l图像，可得周期的平方与摆长成正比．(4)惠更斯研究了单摆的振动，发现在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关，并且确定了如下的单摆周期的公式T＝2πeq\r(\f(l,g)).eq\o([再判断])1．单摆的振幅越大，周期越大．(×)2．摆动幅度越大，周期越长．(×)3．单摆的周期与摆球的质量无关．(√)4．摆长应是从悬点到摆球球心的距离．(√)eq\o([后思考])1．由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？【提示】不是．摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a∝eq\f(F,m)，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T＝2πeq\r(\f(l,g))决定，与摆球的质量无关．2．把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？【提示】两极处重力加速度大于赤道处重力加速度，由T＝2πeq\r(\f(l,g))知，应增大摆长，才能使周期不变．1．周期公式的成立条件(1)T＝2πeq\r(\f(l,g))是单摆做简谐运动的周期公式，它必须是在小角度摆动的条件下才成立，理论上一般θ角不超过5°，但在实验中，摆角很小时单摆运动的细节不易观察清楚，带来的测量误差反而会大，因此实验中一般认为θ角不超过10°.(2)在摆角很小时，角度的弧度值、正弦值、正切值可认为相等，这是物理中常用的一个数字近似．(3)弹簧振子的周期与振子的质量有关，单摆的周期与摆球的质量无关．2．摆长摆长l是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度或摆线长度加小球半径长．如图1­2­2所示[(b)、(c)、(d)图中小球均视作质点]：图1­2­2图(a)中，摆长l＝l0＋eq\f(d,2)，单摆周期T(a)＝2πeq\r(\f(l0＋d/2,g)).图(b)中，摆球只能在垂直纸面平面内摆动，摆长l＝l0sinθ，单摆周期T(b)＝2πeq\r(\f(l0sinθ,g)).图(c)中，若摆球在纸面平面内摆动，摆长l＝l0，单摆周期T(c)＝2πeq\r(\f(l0,g))；若摆球在垂直纸面平面内摆动，摆长l＝l0(1＋sinθ)，单摆周期T(c)＝2πeq\r(\f(l01＋sinθ,g)).图(d)中，O′处为一钉子，摆线摆到竖直位置时，摆球做圆周运动的圆心就由O变为O′，摆球做简谐运动时，半个周期摆长为l，另半个周期摆长为l－eq\f(1,3)l＝eq\f(2,3)l，则其周期T(d)＝eq\f(T1,2)＋eq\f(T2,2)＝πeq\r(\f(l,g))＋πeq\r(\f(2l/3,g)).3．重力加速度g在实际问题中，g不一定为m/s2，而要由单摆所处的空间位置和摆球的运动情况、受力情况决定．(1)如果单摆处在向上加速的系统中，摆球将处于超重状态，设向上的加速度为a，则系统中的等效重力加速度g′＝g＋a，因为系统中重力加速度增大，单摆的周期将变短，如正向上加速运动的航天器中的单摆．但单摆如果在轨道上正常运行的航天器内，摆球将完全失重，等效重力加速度g′＝0，单摆的周期无穷大，即单摆不摆动．(2)如图1­2­3所示，单摆的周期T＝2πeq\r(\f(l,gsinθ)).因为单摆的等效重力为摆球重力沿斜面向下的分力mgsinθ，故此场景中的等效重力加速度g′＝gsinθ.图1­2­34.如图1­2­4所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T，则下列说法正确的是()图1­2­4A．把摆球的质量增加一倍，其周期不变B．摆球的振幅变小时，周期也变小C．此摆由O→B运动的时间为eq\f(T,4)D．摆球由B→O时，动能向势能转化E．摆球由O→C时，动能向势能转化【解析】单摆的周期与摆球的质量无关，A正确；单摆的周期与振幅无关，B错误；此摆由O→B运动的时间为eq\f(T,4)，C正确；摆球B→O时，势能转化为动能，O→C时，动能转化势能，D错误，E正确．【答案】ACE5．如图1­2­5所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)．图1­2­5让小球在纸面内振动，周期T＝________.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝________.【解析】让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2πeq\r(\f(l,g))；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为(eq\f(\r(3),4)l＋l)，周期T＝2πeq\r(\f(\f(\r(3),4)＋1l,g)).【答案】2πeq\r(\f(l,g))2πeq\r(\f(\f(\r(3),4)＋1l,g))6．一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方处有一钉子P(如图1­2­6所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期．图1­2­6【解析】释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动．摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和．小球在左边的周期为T1＝2πeq\r(\f(l,g))小球在右边的周期为T2＝2πeq\r(\f,g))则整个单摆的周期为T＝eq\f(T1,2)＋eq\f(T2,2)＝πeq\r