高中数学人教A版第四章圆和方程学业分层测评25

学业分层测评（二十五）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．(2023·温州高一检测)在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是()A．(－1,3，－5) B．(1,3,5)C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5)【解析】P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1,3,5)．【答案】B2．点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))到原点O的距离是()\f(\r(30),6) B．1\f(\r(33),6) \f(\r(35),6)【解析】|PO|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1.【答案】B3．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是()A．10x＋2y＋10z－37＝0B．5x－y＋5z－37＝0C．10x－y＋10z＋37＝0D．10x－2y＋10z＋37＝0【解析】由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A.【答案】A4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|ABA．3eq\r(3) B．3eq\r(6)C．2eq\r(3) D．2eq\r(6)【解析】|AB|＝eq\r(2a－12＋－7－a2＋－2＋52)＝eq\r(5a2＋10a＋59)＝eq\r(5a＋12＋54)，当a＝－1时，|AB|min＝eq\r(54)＝3eq\r(6).【答案】B5．如图4­3­3，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点图4­3­3\r(2)a \f(\r(2),2)aC．a \f(1,2)a【解析】由题意得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，则|EF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)a.【答案】B二、填空题6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.【导学号：09960148】【解析】点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)，∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.【答案】07．(2023·景德镇高一检测)在空间直角坐标系中，以O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．【解析】S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×|AB|2＝eq\f(\r(3),4)×8＝2eq\r(3)，故三棱锥的表面积S＝6＋2eq\r(3).【答案】6＋2eq\r(3)三、解答题8．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC的形状．【解】|AB|＝eq\r(－4＋102＋－1－12＋－9＋62)＝eq\r(49)，|BC|＝eq\r(－10＋22＋1＋42＋－6＋32)＝eq\r(98)，|AC|＝eq\r(－4＋22＋－1＋42＋－9＋32)＝eq\r(49).因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点M是B1C1的中点，点N是图4­3­4(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度；(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值．【解】(1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3)．(2)|MD|＝eq\r(1－02＋2－02＋3－02)＝eq\r(14)，|MN|＝eq\r(2－12＋1－22＋0－32)＝eq\r(11).(3)在xDy平面上，设点P的坐标为(2y，y,0)，y∈[0,1]，则|MP|＝eq\r(2y－12＋y－22＋0－32)＝eq\r(5y2－8y＋14)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(4,5)))2＋\f(54,5)).因为y∈[0,1]，所以当y＝eq\f(4,5)时，|MP|取最小值eq\r(\f(54,5))，即eq\f(3\r(30),5).[自我挑战]10．在平面直角坐标系Oxyz中，M与N关于xOy面对称，OM与平面xOy所成的角是60°，若|MN|＝4，则|OM|＝()A．4 B．1\f(4\r(3),3) D．2【解析】由题意知MN⊥平面xOy，设垂足为H，则|MH|＝|NH|＝eq\f(1,2)|MN|＝2，又OM与平面xOy所成的角为60°，则|OM|sin60°＝|MH|.∴|OM|＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).【答案】C11．已知直三棱柱ABC­A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB图4­3­5(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明．【解】(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2,0,0)，B(0,4,0)，设点P坐标为(1,2，m由|PA|＝|AB|得eq\r(1－22＋2－02＋m－02)＝eq\r(20).所以m2＝15.因为m∈[0,4]，所以m＝eq\r(15)，故平面ABB1A1内的点P(1,2，eq\r(15))，使得△ABP为等边三角形．(2)设MN上的点Q(0,2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，所以|QF|＝eq\f(1,2)|AB|，又F(