高中数学人教A版3第一章计数原理 第一章排列的简单应用

第一章计数原理排列与组合1.2.1排列第1课时排列的简单应用A级基础巩固一、选择题1．已知下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加一项活动；③从a，b，c，d4个字母中取出2个字母；④从1，2，3，44个数字中取出2个数字组成1个两位数．其中是排列问题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一列．答案：B2．计算eq\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝()A．12B．24C．30D．36解析：Aeq\o\al(6,7)＝7×6Aeq\o\al(4,5)，Aeq\o\al(5,6)＝6Aeq\o\al(4,5)，所以eq\f(Aeq\o\al(6,7)－Aeq\o\al(5,6),Aeq\o\al(4,5))＝eq\f(36Aeq\o\al(4,5),Aeq\o\al(4,5))＝36.答案：D3．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有()A．6种B．9种C．11种D．23种解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为：由此可知共有9种送法．答案：B4．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数字共有()A．238个 B．232个C．174个 D．168个解析：由0，1，2，3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3Aeq\o\al(3,3)＝18(个)，故共有192－18＝174(个)答案：C5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()A．24个B．30个C．40个D．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有Aeq\o\al(2,4)个，另一类是4作个位数，也有Aeq\o\al(2,4)个．因此符合条件的偶数共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,4)＝24(个)．答案：A二、填空题6．若Aeq\o\al(m,10)＝10×9×…×5，则m＝_________________________.解析：由10－(m－1)＝5，得m＝6.答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝1680(种)．答案：16808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有eq\f(2,3)，eq\f(2,5)，eq\f(2,7)，eq\f(3,5)，eq\f(3,7)，eq\f(5,7)，共6个．答案：126三、解答题9．求下列各式中n的值：(1)90Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)；(2)Aeq\o\al(4,n)Aeq\o\al(n－4,n－4)＝42Aeq\o\al(n－2,n－2).解：(1)因为90Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)，所以90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)．所以n2－5n＋6＝90.所以(n－12)(n＋7)＝0.解得n＝－7(舍去)或n＝12.所以满足90Aeq\o\al(2,n)＝Aeq\o\al(4,n)的n的值为12.(2)由Aeq\o\al(4,n)Aeq\o\al(n－4,n－4)＝42Aeq\o\al(n－2,n－2)，得eq\f(n！,（n－4）！)·(n－4)！＝42(n－2)！.所以n(n－1)＝42.所以n2－n－42＝0.解得n＝－6(舍去)或n＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．(1)能被5整除的四位数有多少个？(2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有Aeq\o\al(3,6)＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有Aeq\o\al(1,3)种排法，其他位上有Aeq\o\al(3,6)种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,6)＝360(个)．B级能力提升1．满足不等式eq\f(Aeq\o\al(7,n),Aeq\o\al(5,n))＞12的n的最小值为()A．12B．10C．9D．8解析：由排列数公式得eq\f(n！（n－5）！,（n－7）！n！)＞12，即(n－5)(n－6)＞12，解得n＞9或n＜2.又n≥7，所以n＞9.又n∈N*，所以n的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有Aeq\o\al(2,6)种．所以符合条件的直线有Aeq\o\al(2,6)＝30(条)．答案：303．用1，2，3，4四个数字排成三位数(允许数字重复使用)，并把这些三位数从小到大排成一个数列{an}．(1)写出这个数列