高中数学苏教版第一章立体几何初步单元测试 市赛获奖

1．3空间几何体的表面积和体积1．空间几何体的表面积在人类的生存空间中存在着各种各样的几何体，有时为了工作，需要度量几何体的表面积和体积．如对建筑物装饰时，需要知道建筑物的表面积；为了计算建筑物的容纳量需计算建筑物的体积；又如在机械制造时，为了下料需计算物体的表面积等等．例如粉碎机的下料斗是正四棱台形(如右图所示)，它的两底面边长分别为80mm和440mm，高为2001．棱柱的侧面展开图是由平行四边形构成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形构成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形构成的平面图形．2．多面体的底面积与侧面积的和叫做多面体的表面积(又称全面积)．特别：①S柱体侧＝Ch(C是底周长，h是高)；②S锥体侧＝eq\f(1,2)Ch′(C为底周长，h′为斜高)；③S台体侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′(C′为上底周长，C为下底周长，h′为斜高)．3．圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形，圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．特别地：①S圆柱表＝2πR(R＋l)(R为底面圆的半径，l为圆柱的母线长)；②S圆锥表＝πR(R＋l)(R为底面圆的半径，l为圆锥的母线长)；③S圆台表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)(R为下底面圆的半径，r为上底面圆的半径，l为圆台的母线长)．,一、多面体与旋转体的侧面展开图①多面体：棱柱的侧面展开图是由平行四边形构成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形构成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形构成的平面图形．②旋转体：圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形，圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．特别地：多面体与旋转体的侧面展开图是计算其侧面积和表面积的基础，同学们在学习中一定要借助图形来加强理解和记忆．二、棱柱、棱锥、棱台的表面积①S直棱柱侧＝Ch(C是底周长，h是高)；②S正棱锥侧＝eq\f(1,2)Ch′(C为底周长，h′为斜高)；③S正棱台侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′(C′为上底周长，C为下底周长，h′为斜高)．我们知道表面积是侧面积与底面积的和，因此理解和记忆柱体、锥体、台体、球的表面积时，要学会将直棱柱、正棱锥、正棱台侧面展开在一个平面上，得到它们的侧面展开图；从各个侧面的多边形的几何特征上推导出公式．三、圆柱、圆锥、圆台的表面积公式①S圆柱表＝2πR2＋2πRl＝2πR(R＋l)(R为底面圆的半径，l为圆柱的母线长)；②S圆锥表＝πR2＋πRl＝πR(R＋l)(R为底面圆的半径，l为圆锥的母线长)；③S圆台表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)(R为下底面圆的半径，r为上底面圆的半径，l为圆台的母线长)．熟练掌握圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是记忆和应用公式的关键，要谨记：圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形，圆台的侧面展开图是由一大扇形截去一个小扇形所得到的一个扇环．四、球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径)记忆公式时要借助于球的截面圆进行记忆，即球面面积等于它的大圆面积的4倍，另外公式的推导中应用了“分割、求近似值、再由近似值转化为所求”的方法，这是一种重要的数学方法——割补法，同学们在学习中要深刻领会．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为________．解析：设长方体的长与宽分别为a、b，则a·b＝12且eq\r(a2＋b2)·2＝10，解得a＝4、b＝3，故长方体的侧面积为2×(4＋3)×2＝28.答案：282．(2023·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(D)A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．解析：将三视图还原为长方形与直三棱柱的组合体，再利用表面积公式求解．该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，直三棱柱的底面是直三角形，边长分别为3cm、4cm、5cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×3＋4×3＋2×\f(1,2)×4×3))＝99＋39＝138(3．已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2cm与4cm，侧棱长是eq\r(6)cm，则该三棱台的表面积为________．解析：三棱台的表面积即上、下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为eq\r(5)cm.答案：(5eq\r(3)＋9eq\r(5))cm24．如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面积是多少(解析：正方体的表面积为42×6＝96(cm2)，一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝(cm2)，则打孔后几何体的表面积为：96＋×6＝(cm2)．知识点二圆柱、圆锥、圆台的表面积5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积之比为(A)\f(1＋2π,2π)\f(1＋4π,4π)\f(1＋2π,π)\f(1＋4π,2π)解析：设圆柱的底面半径为r，则母线长为2πr，所以：eq\f(S全,S侧)＝eq\f(2πrl＋2πr2,2πrl)＝1＋eq\f(r,l)＝1＋eq\f(1,2π)＝eq\f(1＋2π,2π).6．将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为________．解析：由圆心角为120°知扇形面积是其所在圆面积的三分之一，故有，eq\f(1,3)πR2＝3π，所以R2＝9.∴l＝3×eq\f(2,3)π＝2π.∴r＝1.∴S圆锥表＝3π＋πr2＝4π.答案：4π7．圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8：3，求圆台的全面积．解析：如右图所示，设两底面半径分别为8r和3r，又圆台的高是12，母线长为13，可列式：(8r－3r)2＋122＝132，解得r＝1，故两底面半径分别为8和3，代入表面积公式：S圆台表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)＝216π.8．已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．解析：如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r、R，则有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2).所以R＝2r，l＝eq\r(2)R.所以eq\f(S圆柱表,S圆锥表)＝eq\f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq\f(4πr2,（\r(2)＋1）πR2)＝eq\f(4r2,（\r(2)＋1）4r2)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.故圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为(eq\r(2)－1)∶1.eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)综合点一几何体表面积公式的综合应用9．如下图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如下图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为________．解析：正方体的边长为eq\f(\r(2),2)a，新几何体的全面积为S全＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＋2×a×eq\f(\r(2),2)a＋2×a×eq\f(a,2)＝(2＋eq\r(2))a2.答案：(2＋eq\r(2))a210．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其正四棱台的高为________．解析：设其斜高为h′，高为h，则在如右图所示图形中作A1E⊥面ABCD，B1F⊥面ABCD，A1G⊥AB于点G，连接EG，∴A1G＝h′，A1E∵由题意得上、下两底面边长分别为3，6，∴4×eq\f(1,2)(3＋6)×h′＝32＋62.∴h′＝eq\f(5,2).在Rt△A1EG中，GE＝eq\f(6－3,2)＝eq\f(3,2)，∴h＝A1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝2.答案：2综合点二几何体侧面展开图的应用11．一圆柱形铁管的高是底面半径的5倍，其全面积为12πcm2