高中数学人教A版5证明不等式的基本方法一比较法

一比较法1．理解比较法证明不等式的依据．2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点)3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点)[基础·初探]教材整理1作差比较法阅读教材P21～P22例2，完成下列问题．1．理论依据：①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0.2．定义：要证明a＞b，转化为证明a－b＞0，这种方法称为作差比较法．3．步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论．若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则()A．ω＞u B．ω＜uC．ω≥u D.无法确定【解析】∵ω－u＝x2－xy＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)))eq\s\up10(2)＋eq\f(3y2,4)≥0，∴ω≥u.【答案】C教材整理2作商比较法阅读教材P22～P23“习题”以上部分，完成下列问题．1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔eq\f(a,b)＞1；②a＜b⇔eq\f(a,b)＜1；③a＝b⇔eq\f(a,b)＝1.2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明eq\f(a,b)＞1，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．下列命题：①当b＞0时，a＞b⇔eq\f(a,b)＞1；②当b＞0时，a＜b⇔eq\f(a,b)＜1；③当a＞0，b＞0时，eq\f(a,b)＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，eq\f(a,b)＞1⇔a＞b.其中真命题是()A．①②③B．①②④C．④D.①②③④【解析】由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，eq\f(a,b)＞1与a＞b不等价，④错．【答案】A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]作商比较法证明不等式已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab)eq\f(a＋b,2).【精彩点拨】eq\x(判断aabb与ab\s\up10(\f(a＋b,2))的正负)→eq\x(作商变形)→eq\x(与1比较大小)→eq\x(下结论)【自主解答】∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)eq\s\up10(eq\f(a－b,2))＞0，作商eq\f(aabb,ab\s\up10(\f(a＋b,2)))＝aaeq\s\up10(－\f(a＋b,2))·bbeq\s\up10(－\f(a＋b,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up10(eq\f(a－b,2)).∵a≠b，∴当a＞b＞0时，eq\f(a,b)＞1且eq\f(a－b,2)＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up10(eq\f(a－b,2))＞1，而(ab)eq\s\up10(\f(a＋b,2))＞0，∴aabb＞(ab)eq\s\up10(\f(a＋b,2)).当b＞a＞0时，0＜eq\f(a,b)＜1且eq\f(a－b,2)＜0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up10(eq\f(a－b,2))＞1，而(ab)eq\s\up10(\f(a＋b,2))＞0，∴aabb＞(ab)eq\s\up10(\f(a＋b,2)).综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab)eq\s\up10(\f(a＋b,2)).1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a＞b⇔eq\f(a,b)＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．[再练一题]1．已知m，n∈R＋，求证：eq\f(m＋n,2)≥eq\r(m＋n,mn·nm).【证明】因为m，n∈R＋，所以eq\f(m＋n,2)≥eq\r(mn)＝eq\r(m＋n,mn\s\up10(\f(m＋n,2)))，令ω＝eq\f(mn\s\up10(\f(m＋n,2)),mn·nm)＝meq\s\up10(\f(m－n,2))·neq\s\up10(\f(n－m,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,n)))eq\s\up10(\f(m－n,2))，则：①当m>n>0时，eq\f(m,n)>1，m－n>0，则ω>1.②当m＝n时，ω＝1.③当n>m>0时，0<eq\f(m,n)<1，m－n<0，则ω>1.故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.即eq\r(m＋n,mn\s\up10(\f(m＋n,2)))≥eq\r(m＋n,mn·nm)，所以eq\f(m＋n,2)≥eq\r(m＋n,mn·nm).比较法的实际应用甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．【自主解答】设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意有：eq\f(t1,2)m＋eq\f(t1,2)n＝s，eq\f(s,2m)＋eq\f(s,2n)＝t2.∴t1＝eq\f(2s,m＋n)，t2＝eq\f(sm＋n,2mn)，∴t1－t2＝eq\f(2s,m＋n)－eq\f(sm＋n,2mn)＝eq\f(s[4mn－m＋n2],2mnm＋n)＝－eq\f(sm－n2,2mnm＋n).其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．[再练一题]2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？【导学号：32750029】【解】设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))2，截面是正方形的水管的截面面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up10(2).∵π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))eq\s\up10(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up10(2)＝eq\f(l2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,π)－\f(1,4)))＝eq\f(4－πl2,16π).由于l＞0,0＜π＜4，∴eq\f(4－πl2,16π)＞0，∴π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2π)))eq\s\up10(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,4)))eq\s\up10(2).因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．[探究共研型]作差比较法探究作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？【提示】“作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0”，其一般步骤为“作差→变形→判号→定论”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等．当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式．已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.【精彩点拨】此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．【自主解答】法一∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．[再练一题]3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.【证明】∵a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．∵a＞b＞c，∴a－c＞0，a－b＞0，b－c＞0，∴(a－c)(a－b)(b－c)＞0，即a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.[构建·体系]比较法—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(作差法),—\x(作商法),—\x(实际应用)))1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是()A．t＞s B．t≥sC．t＜s ≤s【解析】s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.【答案】D2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是()【导学号：32750030】A．P＞Q B．P＜QC．P＝Q D.大小不确定【解析】P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1).当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜eq\f(a3＋1,a2＋1)＜1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，eq\f(a3＋1,a2＋1)＞1，∴logaeq\f(a3＋1,a2＋1)＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.综上总有P＞Q，故选A.【答案】A3．设a，b，m均为正数，且eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)，则a与b的大小关系是________．【解析】eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(b,a)＝eq\f(ma－b,aa＋m)＞0.又a，b，m为正数，∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.即a＞b.【答案】a＞b4．设a＞b＞0，x＝eq\r(a＋b)－eq\r(a)，y＝eq\r(a)－eq\r(a－b)，则x，y的大小关系是x________y.【解析】∵eq\f(x,y)＝eq\f(\r(a＋b)－\r(a),\r(a)－\r(a－b))＝eq\f(\r(a)＋\r(a－b),\r(a)＋\r(a＋b))＜eq\f(\r(a)＋\r(a＋b),\r(a)＋\r(a＋b))＝1，且x＞0，y＞0，∴x＜y.【答案】＜5．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.【证明】2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2