高中数学北师大版1第二章圆锥曲线与方程 第2章4

第二章§2一、选择题(每小题5分，共20分)1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－8解析：由y＝ax2，得x2＝eq\f(1,a)y，eq\f(1,4a)＝－2，a＝－eq\f(1,8).答案：B2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值等于()A．－2 B．2C．－4 D．4解析：椭圆右焦点为(2,0)，所以eq\f(p,2)＝2，p＝4.答案：D3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()\f(3,4) B．1\f(5,4) D．eq\f(7,4)解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).答案：C4．若抛物线y2＝2px上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则焦点到准线的距离为()\f(1,2) B．1C．2 D．4解析：利用抛物线的定义，由y2＝2px可知准线方程x＝－eq\f(p,2)，横坐标为4的点到准线的距离为4＋eq\f(p,2)，所以4＋eq\f(p,2)＝5，得p＝2.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线y2＝2px，过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．解析：y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点(－5,2eq\r(5))到焦点的距离是6，则抛物线的方程是________．解析：因为点(－5,2eq\r(5))在第二象限，且以原点为顶点，x轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y2＝－2px，把(－5,2eq\r(5))代入得p＝2，故所求方程为y2＝－4x.答案：y2＝－4x三、解答题(每小题10分，共20分)7．在平面直角坐标系xOy中，拋物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求拋物线C的标准方程；(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．解析：(1)由题意，可设拋物线C的标准方程为y2＝2px，因为点A(2,2)在拋物线C上，所以p＝1.因此，拋物线C的标准方程为y2＝2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又直线OA的斜率为eq\f(2,2)＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x＋y－eq\f(1,2)＝0.8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．解析：方法一：设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))2)＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2eq\r(6).抛物线的焦点为(－2,0)，准线方程为x＝2.方法二：设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，准线方程为x＝eq\f(p,2)，根据抛物线的定义，点M到焦点的距离等于5，也就是点M到准线的距离为5，则3＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝4，因此，抛物线方程为y2＝－8x，又点M(－3，m)在抛物线上，于是m2＝24，∴m＝±2eq\r(6).故抛物线的焦点为(－2,0)，准线方程为x＝2.eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，宽度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为y＝ax2(a＜0)，则点A(10，－2)在抛物线上，∴－2＝a·102，∴a＝－eq\f(1,50).∴抛物线方程为y＝－eq\f(1,50)x2(－10≤x≤10)．让货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－eq\f(1,50)×82＝－(米)，