高中数学人教A版第二章平面向量平面向量的实际背景及其基本概念 获奖作品

课时提升作业从位移、速度、力到向量一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2023·汉中高一检测)下列命题中,正确的是()A.两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同B.若a,b是两个单位向量,则a=bC.若向量a和b共线,则向量a,b的方向相同D.零向量的长度为0,方向是任意的【解析】选D.两个向量相等,只要长度相等,且方向相同即可,起点可以不同,故A不正确;两个单位向量的方向不一定相同,所以它们不一定相等,故B不正确;方向相同或相反的向量为共线向量,故C不正确;零向量的长度为0,其方向是任意的,故D正确.2.(2023·潍坊高一检测)设O是正△ABC的中心,则向量AO→,OB→,OC→是A.有相同起点的向量 B.平行向量C.模相等的向量 D.相等向量【解析】选C.向量AO→,OB→,OC→分别是以三角形的顶点和中心为起点和终点的向量,因为O是正三角形的中心,所以O到三个顶点的距离相等,即|AO→|=|OB→3.下列三个说法正确的个数是①零向量是长度为0的向量,所以零向量与非零向量不平行.②若非零向量AB→与CD→是共线向量,则A,B,C,D③因为向量AB→∥CD→,所以AB∥CD.( 【解析】选A.零向量与任意向量都平行,故①错误;方向相同或相反的向量为共线向量,若AB→与CD→无公共点,则A,B,C,D四点不一定共线,故②错误;当向量AB→∥CD→,AB与CD平行或共线,故③4.四边形ABCD中,如果AB→=DC→,且|AC→|=|BD→|,则四边形ABCDA.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【解题指南】由AB→=DC→,可得四边形ABCD为平行四边形,再由|AC→|=|BD→|,【解析】选C.四边形ABCD中,如果AB→=DC→,则四边形ABCD为平行四边形.再由|AC→|=|BD→|,可得平行四边形的对角线相等,四边形ABCD5.如图,设ABCD是菱形,下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是()A.AB→和CD→ B.ADC.AD→和CD→ D.AD【解析】选B.由菱形的性质知:AD→和BC→大小相等,方向相同,【误区警示】本题容易出现因概念不清而错选的情况.“用同一条有向线段表示”即“两个向量相等”.6.如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不成立的是()A.|AB→|=|EF→| B.AB→C.BD→与EH→共线 D.CD【解析】选C.由题目条件可知AB=EF,AB∥CD∥FG,CD=FG,但是∠DEH≠∠BDC,故BD与EH不平行,所以A,B,D成立,C不成立.二、填空题(每小题4分,共12分)7.把所有单位向量的起点集中于一点O,则它们终点的轨迹是.【解析】如图所示,轨迹是以O为圆心,半径为1的圆.答案:以O为圆心,以1为半径的圆8.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点,则这些向量的终点构成的图形是.【解析】由于这些向量平行于同一条直线,故这些向量为共线向量,当把这些向量的起点移到同一起点时,终点在过定点与已知直线平行的直线上.答案:直线9.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中:(1)与AO→相等的向量有(2)与AO→共线的向量有(3)与AO→的模相等的向量有(4)向量AO→与CO→(填“相等”“【解析】因为O是正方形ABCD对角线的交点且四边形OAED,OCFB都是正方形.(1)结合相等向量的定义可知与AO→相等的向量有BF→.(2)结合共线向量的定义可知与AO→共线的向量有DE→,BF→,CO→.(3)与AO→的模相等的向量有AE→,DO→,CF→,DE→,BF→,答案:(1)BF→(2)DE→,BF→,CO→(3)AE→,DO→,CF→,DE→,【误区警示】解此类题目时一定要分清相等向量、共线向量等概念的区别.三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2023·锦州高一检测)如图是4×5的矩形(每个小方格都是正方形),试作出与AB→相等的向量,要求向量的起点和终点都在方格的顶点处【解析】如图CD→,EF→,GH11.如图,四边形ABCD与ABDE都是平行四边形,则:(1)与向量AB→共线的向量有哪些(2)若|AB→|=,求|CE【解题指南】(1)根据共线向量的定义,方向相同或相反的向量为共线向量,故在同一直线上或平行直线上的向量都是共线向量.(2)利用向量共线的充要条件将CE→用BA→表示,【解析】(1)ED→,DC→,EC→,DE→,CD→(2)由平行四边形的性质|AB→|=|ED→|=|故|CE→|=2|AB一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2023·合肥高一检测)已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列命题中错误的是()⊆A ∩B={a}⊆B ∩B⊇{a}【解析】选B.与a共线的向量是与其方向相同或相反的向量,所以C⊆A,故A对;A∩B={a,-a},故B错;因为B中的向量与a的长度相同,方向任意,故C⊆B,故C对;A∩B={a,-a},所以{a}⊆A∩B,故D对.故选B.2.在长方体ABCD-A′B′C′D′的棱所在向量中,与向量AA'→模相等的向量有(个 个 个 个【解题指南】利用长方体的性质和向量的模相等即可得出.【解析】选C.如图,与向量AA'→模相等的向量有BB'→,B'B→,CC'→,C'C→,DD'→,D'D→,A'A【误区警示】本题容易漏掉A'A→而误选B,解题时应紧扣题意,全面考察3.在四边形ABCD中,AB→=DC→,则相等的向量是(A.AD→与CB→ B.OBC.AC→与BD→ D.AO【解析】选D.由题意可知四边形ABCD是平行四边形,由AD→=BC→知A不正确,由OB→=DO→知B错误.显然选项C错误,由AO→=OC4.下列说法中,正确的是()A.单位向量都共线B.任意向量与0平行C.平行向量不一定是共线向量D.向量就是有向线段【解析】选选项,单位向量间不一定共线;B正确;C选项,平行向量一定是共线向量;D选项混淆了向量与有向线段,故选B.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2023·烟台高一检测)如图所示,△ABC和△A′B′C′是在各边的13处相交的两个正三角形,△ABC的边长为a,图中列出了长度均为a3的若干个向量(1)与向量GH→相等的向量是(2)与向量EA→平行的向量是【解题指南】(1)在图形中找出与向量GH→相等的向量,即找出和已知向量大小相等,方向相同的向量(2)与向量EA→平行的向量,是指所有与已知向量方向相同或相反的向量,图中很多,要做到不重不漏【解析】(1)与向量GH→相等的向量是HC→和(2)与向量EA→平行的向量是EF→,FB→,HA'→,答案:(1)HC→,(2)EF→,FB→,HA'→,6.在如图所示的向量a,b,c,d,e中(小正方形的边长为1)(1)是共线向量的有.(2)模相等的向量有.【解析】(1)因为向量a与d,b与e方向相反,故共线.(2)向量a,d,c的模相等.答案:(1)a与d,b与e(2)a,d,c三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2023·太原高一检测)某人从A点出发向西走了10m,到达B点,然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点,最后又向东走了10m到达D点.(1)作出向量AB→,BC→,CD→(用1cm长的线段代表(2)求|DA→【解析】(1)如图.(2)因为AB→=DC→,故四边形ABCD为平行四边形,所以|BC→【拓展延伸】向量相等在判断图形性质中的应用向量相等指两个向量的方向相同,模相等,若两个向量所在的边不共线,则两个边平行且相等,这个特性往往作为判断平行四边形的依据.向量相等还具有判定平行的功能,解题时要注意应用.8.如图,在以长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为5的所有向量.(3)试写出与AB→相等的所有向量【解题指南】(1)根据单位向量的定义及已知条件可得答案.(2)通过计算可得答案.(3)由相等向量的定义可得答案.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的向量AA1→,A1A→,BB1→,B1B→,CC1→,C(2)由