高中数学高考高考冲刺 公开课

2023年普通高等学校招生全国统一考试全国1卷数学试卷分析一．整体解读试卷紧扣考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，宽角度、多视点、有层次地考查了学生的数学理性思维能力、对数学本质的理解能力及数学素养和潜能的区分度，达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标。试卷所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。1、回归教材，注重基础2023年新课标卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理（理科）、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型。同时，在立体几何、导数等题目上进行了一些微创新，与我国古代《九章算术》中的著名题目相联系，这些题目的设计回归教材和中学教学实际。2、适当设置题目难度与区分度与往年新课标卷相对比，今年的选填难度仍然设置在选择题和填空题的最后两道。尤其以选择题第12题和填空题第16道为代表。有的同学平时此类型的题目见的较少，需要在考场紧张的状态下独自解决，这考查了同学在压力状态下分析问题，解决问题的能力。对此，我们之前给出的建议是，不要在这类型的题目花费过多的时间，从而压缩了后面解答题部分的答题时间，同时也影响考试情绪。3、布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在解答题部分，文、理两科试卷均对高中数学中的重点内容时行了考查。包括数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数五大版块和三选一问题。以知识为载体，立意于能力，让数方法和数学思统方式贯穿于整个试题的解答过程之中。4、命题考察的沿续性2023年新课标卷，在力求创新基础上，也有一些不变的东西。例如2023年新课标1卷理科选择题第7题与2023年新课标1卷文科第6题的命题方式基本完全一致。二．考点分布1.理科集合0复数5函数5向量5简易逻辑5程序框图5线性规划5二项式定理5解三角形10几何证明选讲10坐标系与参数方程10不等式选讲10数列12概率与统计17导数17立体几何22解析几何222.文科集合5复数5线性规划5向量5简易逻辑5程序框图5函数10数列10几何证明选讲10坐标系与参数方程10不等式选讲10解三角形17概率与统计17导数17立体几何22解析几何22三．试题及详解文科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合A={x|x=3n+2,nN},B={6,8,10（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A(0,1)，（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1,4）（3）已知复数z满足z-1（A）-2-i（B）-2+i（4）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）310（B）（C）（D）（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是（A）3（B）6（C）9（D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛（7）已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和，QUOTE则S8=4S4QUOTE，则a10=QUOTE（A）172（B）19（8）函数fx=cos⁡(ωx+φ)QUOTE的部分图像如图所示，则f(x)（A）(kπ-14（C）(k-14（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=，则输出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8（10）已知函数fx=2x-1-2,x≤1-log2x+1,x>1（A）-（B）-（C）-（D）-（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A）1(B)2(C)4(D)8（12）设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线（A）-1（B）1（C）2（D）4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）在数列{an}中，a1=2,an+1=2（14）已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(（15）x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y+1≤02x-y+2≥0,，则z=3x+y的最大值为（16）已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△（18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z(单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（（x1-）2（w1-）2（x1-）(y-)（w1-）(y-)5631469表中wi=i,，=i（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1）,（u2，v2）……，（un，vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（20）（本小题满分12分）已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2（1）求k的取值范围；（2）若·=12，其中O为坐标原点，求︱MN︱.（21）.（本小题满分12分）设函数fx（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；（Ⅱ）证明：当时，。请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。(22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，BC交⊙于点E。（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙的切线；（Ⅱ）若CA=CE，求∠（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:x=,圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求,的极坐标方程。（2）若直线C3的极坐标为=（ρR）,设C2与C3的交点为M，N（24）（本小题满分10分）选修4-已知函数f(x当a=1时，求不等式f(若f(x)的图像与x文科详解【解析】：考察集合的基本运算，因为集合A=2,5,8,14…,集合B=6,8,10,12,14,共同元素只有8，14两个。所以答案选D.2．A【解析】：考察向量的坐标运算，设Cx,y，x=-4+0=-4;y=-3+1=2,所以得C-4,2得BC=-4-3，-2-2=3．C【解析】：考察考察复数的乘除运算，原式的z=1+ii+1=4．C【解析】：考察古典概型，用列举法，5个数选3个数组合在一起总共有10种可能，能作为一组勾股数只能是3、4、5，所以概率为110.所以答案选5．B【解析】：考察椭圆的标准方程，以及通径，椭圆的焦点坐标为（2,0），所以C=2,a=4,b2=12过焦点且垂直于X轴的弦AB为通径，由AB=2b6．B【解析】：考察圆锥的体积，这题较新颖，活学活用，由弧长=8尺，再根据弧长公式L=αR,得，R=163尺，再根据圆锥体积公式V=13πR2h，米就有22斛.答案选B7．B【解析】：考察等差数列通项公式与求和公式，由s8=4s4，设an=a1+n-18．D【解析】：考察三角函数图像和单调性，由图像得T=2，所以ω=π，再代入点14，0，所以φ=π9．C【解析】:考察算法的循环结构，代入0,1,2可得到规律sn=1210．A【解析】:考察分段函数求值,由fa=-3,得a=7,所以11．B【解析】:考察三视图的还原、表面积运算，还原之后是一个半个圆柱和半个球的组合体，算得的表面积为4r2+2π12．C【解析】：考察指数函数与对数函数，易知点（x，y）关于y=-x对称的点的坐标为（-y，-x），把（-y，-x）代入y=2x+a得-x=，化简得y=a-log13．【解析】考察等比数列定义及其前Sn计算,由题知an为等比数列，q=2，由数列前Sn易知n=614．【解析】考察导数切线问题,求得切线斜率为，利用两点之间斜率等于切线斜率得a=115．【解析】考察线性规划最值问题，代入三个交点（1,1）、（0,2）、（-1,0）求最大值易知（1，1)为最优解416．【解析】考察双曲线最值问题,易知当左焦点F1和P、A三点共线时最小，解得P点为（-2，），所以-=-=-）=1217.【解析】（1）：由题设及正弦定理可得，又a=b,可得b=2c.由余弦定理可得。：由（1）知，因为，由勾股定理得。故，得.所以的面积为1.18.【解析】（1）为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以，故平面BED。又平面ABCD,所以平面平面BED.（2）设，在菱形ABCD中，由，可得。因为所以在中，可得由平面ABCD，知为直角三角形，可得。由已知得，三棱锥故。从而可得.所以的面积为3，。故三棱锥的侧面积为19.【解析】（1）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费x的回归方程类型。令先建立y关于w的线性回归方程。由于，所以y关于w的线性回归方程为因此y关于x的线性回归方程为。（3）（Ⅰ）由（2）知，当49时，年销售量y的预报值，年利润z的预报值（II）根据⑵的结果知，年利润z的预报值。所以当取得最大值。故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大。20.【解析】（1）由题设，可知直线为y=kx+1,因为直线与C交于两点，利用圆心到直线的距离小于r可知解得，所以k的取值范围为（，设M，N将y=kx+1代入方程整理得可知=所以直线为y=x+1，故圆心C在上，所以21.【解析】（I）的定义域为（0，+），，当时，，所以没有零点;当时，因为单调递增，单调递减，所以在（0，）单调递增。又，当b满足0<b<且b<时，，故当时，存在唯一零点。（II）由（I），可设在（0，+）存在唯一零点，当时，；当时，>0.故在（0，）单调递减，在（单调递增，所以当时取得最小值；由于，所以.故当时，.22.【解析】：（Ⅰ）连接，由已知的，，，在中，由已知可知，，故，连接，则又，，，是的切线（Ⅱ）设，，由已知得，由射影定理可得，，，即，则，因此23．【解析】（I）因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为II将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ由于C2的半径为1，所以∆C24．【解析】（1）时，化为当，不等式化为，无解；当，不等式化为，解得；当，不等式化为，解得所以得解集为（2）由题设可得，所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为三角形ABC的面积为由题设得，故所以的取值范围为理科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数z满足=i，则|z|=（A）1（B）（C）（D）2(2)sin20°cos10°-cos160°sin10°=（A）（B）（C）（D）（3）设命题P：nN，>，则P为（A）nN,>（B）nN,≤（C）nN,≤（D）nN,=（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A） （B） （C） （D）（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（A）（-，） （B）（-，）（C）（，）（D）（，）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛（8）函数fx=cos⁡(ωx+φ)QUOTE的部分图像如图所示，则f(x)（A）(kπ-1（C）(k-14（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=，则输出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8QUOTE（x²+x+y）5的展开式中，的系数为（A）10（B）20（C）30（D）60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A）1(B)2(C)4(D)8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）若函数f(x)=xln（x+）为偶函数，则a=（14）一个圆经过椭圆x216+y2（15）若x,y满足约束条件QUOTEx-1≫0,x-y≤0,x+y-4≤0,则QUOTExy的最大值为.（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是______三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）为数列的前项和.已知，（Ⅰ）求的通项公式：（Ⅱ）设，求数列的前项和（18）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（1）证明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z(单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（（x1-）2（w1-）2（x1-）(y-)（w1-）(y-)5631469表中wi=i,，=i（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1）,（u2，v2）……，（un，vn）,其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，请考生在第22、23、24题中任选一题作答(22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是⊙的直径，AC是⊙的切线，BC交⊙于点E。（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙的切线；（Ⅱ）若CA=CE，求∠（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:x=,圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求,的极坐标方程。（2）若直线C3的极坐标为=（ρR）,设C2与C3的交点为M，N（24）（本小题满分10分）选修4-已知函数f(x)（1）当a=1时，求不等式f(（2）若f(x)的图像与x理科详解1．【解析】依题意得，所以，故选A2．【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=，故选D3．【解析】:，故选C.4.【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=，故选A.5.【解析】依题意，，所以，所以，故选A6.【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷≈22，故选B.【解析】依题意,故选A8.【解析】：考察三角函数图像和单调性，由图像得T=2，所以ω=π，再代入点14，0，所以φ9.【解析】依题意，解出所以故选C10.【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选A.11.【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16+20，解得r=2，故选B.12.13.【解析】由题知是奇函数，所以=，解得=1.14.【解析】设圆心为（，0），则半径为，则，解得，故圆的方程为.15.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.17.【解析】：（Ⅰ）……………….①当时，，………②①-②可得：则，数列是首项为3，公差为2的差数列（Ⅱ）即设数列的前项和为18【解析】：（Ⅰ）连接，设，连接，，在菱形中，不妨设，由，可得由平面，，可知.又，所以在中，可知，故.在中，可得在直角梯形中，由，，，可知，，又，平面平面，平面平面.（Ⅱ）以为坐标原点，分别以、的方向为轴、轴的正方向，为单位长建立空间直角坐标系.由（Ⅰ）可得，，，，，.故直线与直线所成角的余弦值为19.【解析】：（Ⅰ）由散点图可知，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.（Ⅱ）令，建立关于的线性回归方程.则则关于的线性回归方程为，因此关于的线性回归方程为.（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）可知，当时，年销售量的预报值年利润的预报值.（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润的预报值当，即时，取得最大值.故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大.20.【解析】：（Ⅰ）由题设可得，，或，.又，故在处的导数值为，在点处的切线方程为，即.在处的导数值为，在点处的切线方程为，即.故所求切线方程为和.（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，将代入的方程得，.从而当时，有，则直线的倾角与直线的倾角互补故，点符合题意。21.【解析】（Ⅰ）设曲线与x轴相切于点，则，即，解得.因此，当时，x轴为曲线的切线.（Ⅱ）当时，从而故在无零点.当时，若则，，故是的零点.若，则故不是的零点.当时，.所以只需考虑在的零点个数.若或，则在无零点，故在单调.而，所以当时，在有一个零点；当时，在没有零点.若，则在单调递减，在单调递增，故在中，当时，取得最小值，最小值为.=1\*GB3①若即,在没有零点；=2\*GB3②若即，则在有唯一零点；=3\*GB3③若即，由于，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点.综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.22.【解析】（Ⅰ）连接，由已知的，，，在中，由已知可知，，故，连接，则又，，，是的切线（Ⅱ）设，，由已知得，由射影定理可得，，，即，则，因此23．【解析】（I）因为x=ρc